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1、第2章 解析函数 第1页，本讲稿共23页第一章.掌握v概念v基本运算v复平面和二维实平面上的方程(或函数)转换.z与(x,y):f(z)-F(x,y)vxoy平面映射到uov平面.(x,y)z-w=f(z)-wuov第2页，本讲稿共23页作业讲解vp.32.12(3)第3页，本讲稿共23页1解析函数的概念解析函数的概念l一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1、导数的定义、导数的定义2、例题：、例题：例例1；例；例2 3、连续、导数、微分、连续、导数、微分二、解析函数的概念二、解析函数的概念 1、定义、定义 2、例题：、例题：例例3；例；例43、定理、定理返回第4页，本讲稿共23页存
2、在，则称在z0处可导。记为在D上有定义，。若设返回1、导数的定义、导数的定义：注:f为复值函数,F为实值函数第5页，本讲稿共23页解：返回例例1 设设第6页，本讲稿共23页例例2 证明证明 在任意点处不可导。在任意点处不可导。所以导数不存在。Proof:返回第7页，本讲稿共23页3.连续、可导、可微连续、可导、可微在点0的微分与一元函数一样，因此可导与可微是等价的。可导必定连续，连续不一定可导。可导与连续（1）可微与可导（2）（3）求导法则与一元函数一样。返回第8页，本讲稿共23页定义定义1、定义1：若在的邻域内处处可导，则称及处解析。在解析函数（全纯函数、正则函数）。2、定义2：若在D内处处
3、解析，则称是D内的在处解析可导可导解析在解析可导内3、定义3：若在处不解析，则称为的奇点。无意义的点，是奇点。注：使返回第9页，本讲稿共23页例例3 讨论下列函数的解析性，可导性。讨论下列函数的解析性，可导性。定理*：解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。2、在复平面上处处可导，处处解析。解：1、解：在复平面上处处不可导,处处不解析3、解：外处处可导，处处解析。，除4、解：外处处可导，处处解析。，除返回第10页，本讲稿共23页所以除外处处不可导，故处处不解析。解（1）所以在处可导；（2）设例例4 证明证明 在在 处可导，但不解析。处可导，但不解析。返回第11页，本讲稿共23页2 解
4、析函数的充要条件解析函数的充要条件l一、预备定理一、预备定理1、定理、定理12、例题：例、例题：例1 l二、解析函数的充要条件二、解析函数的充要条件1、定理、定理12、定理、定理23、例题：例、例题：例2，例，例3，例，例4返回第12页，本讲稿共23页1、定理、定理1 (必要条件必要条件)设设在区域D内有定义，or，且满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件：，。且在点z处可导，则返回下一页第13页，本讲稿共23页Proof:在处可导，则:下一页上一页注:可导,则沿任意方向的导数相同第14页，本讲稿共23页：沿y轴方向沿沿x轴方向轴方向所以：且：返回上一页第15页，本讲稿共23页2、
5、定理、定理1的逆不一定成立，即的逆不一定成立，即f(z)在在z处满足处满足C-R条件但不一定可导。条件但不一定可导。例例1验证验证 在在 处满足处满足C-R条件，但不可导。条件，但不可导。Proof:令所以同理即满足C-R条件；所以不存在。,000lim)0,0()0,(lim00)0,0(=D-=D-D=DDxxuxuxuxx返回第16页，本讲稿共23页1、定理、定理2 在区域内有定义，则在内一点处可导的充要条件是在处可微，且满足C-R条件。设：返回在内解析的充要条件是在内可微，且满足C-R条件。注:D内解析等同于D内可导注注:复变函数在某点复变函数在某点(区域内区域内)的可微性的可微性 等
6、同于等同于 对应对应的两个二元实函数在的两个二元实函数在的可微性的可微性 外加外加CR第17页，本讲稿共23页例例2 用用C-R条件判断函数条件判断函数 的解析性。的解析性。由C-R条件，解：所以处处不解析。返回注:上节已有用定义判断的相同例子.第18页，本讲稿共23页例例3 判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。解：（1）由：处可导，故处处不解析。所以只在下一页第19页，本讲稿共23页（2）解：方法一、除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处处解析。上一页下一页第20页，本讲稿共23页方法二方法二除（0,0）外处处可导，所以除（0,0）外处解析。解：由C-R条件有返回上一页第21页，本讲稿共23页例例4若若在在D内处处为内处处为0，则在，则在D内为一个常数。内为一个常数。所以u,v关于x为常数所以u,v关于y为常数Proof:在D内为一个常数。故作 业第22页，本讲稿共23页作业作业nP66 2(1,3)3(1,3)4(1)810(1)返回第23页，本讲稿共23页