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1、第2章 解析函数,By 付小宁,1.1.1复变函数的导数定义1 设函数 在包含 的某区域 内有定义，当变量 在点 处取得增量 时，相应地，函数 取得增量若极限 （或 ） （2.1）存在，则称 在点 处可导，,1 解析函数的概念,此极限值称为 在点 处的导数，记作 或 ，即 如果函数 在区域 内每一点都可导，则称 在 内可导. 如果函数 在曲线 L上每一点都可导，则称 在 L上可导.,例1 求函数 的导数（ 为正整数）.解 因为 所以，由导数定义有,例2,解,1.1.2 可导与连续的关系 若函数 在点 处可导，则 在点 处必连续. 当w为常数时,连续函数可导.证因为 知 ，故 在点 处连续.,由
2、于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.,求导公式与法则:,1.1.3 导数运算法则,例3 求下列函数的导数.（1） （2） 解 （1） （2）,例4 设 .解 因为 所以,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,定义2,1.1.4 复变函数的微分,特别地,1. 2 解析函数的概念,1.2.1 解析函数的定义,1.2.2 奇点的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析
3、与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,解,由本节知识可知:,例6,解,例7,解,课堂练习,答案,处处不可导,处处不解析.,定理,以上定理的证明, 可利用求导法则.,根据定理可知:,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,2 函数解析的充要条件2. 1 回顾解析函数 2.1.1 如果函数 不仅在点 处可导，而且在点 的某邻域内的每一点都可导，则称 在点 处解析，并称点 是函数的解析点；如果函数 在区域 内每一点都解析，则称 在区域 内解析或称 为区域 内的解析函数，区域 称为的 解析区域.,如果 在点 处不
4、解析，但在 的任一邻域内总有 的解析点,则称 为 的奇点. 问题：有函数在曲线上解析、曲线外不解析？,2.1.2. 解析函数的运算性质：（1）若函数 和 在区域 内解析，则 、 、 在 内也解析；（2）若函数 在区域 内解析，而 在区域 内解析，且 ，则复合函数 在 内也解析，且.,.,2.2 函数解析的充要条件定理一 设函数 在区域 内有定义，则 在 内解析的充分必要条件为 在 内任一点 处（1）可微； （2）满足上式称为柯西黎曼（Cauchy-Riemann）条件（或方程），简称CR条件（或方程）.,定理1的证明（必要性）：,定理1的证明（充分性）：,定理二 函数 在区域 内解析的充要条件
5、为（1） 在 内连续；（2） 在 内满足CR条件 ，,例1 讨论下列函数的可导性和解析性：,解,例3,证,参照以上例题可进一步证明:,证,根据隐函数求导法则,根据柯西黎曼方程得,一、指数函数,1.指数函数的定义:,2.3 初等函数,指数函数的定义等价于关系式:,2. 加法定理,证,例5,解,例6,解,求出下列复数的辐角主值:,例7,解,二、对数函数,1. 定义4,其余各值为,特殊地,例8,解,注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,例9,解,例10,解,2. 性质,证 (3),证毕,三、乘幂 与幂函数,1. 乘幂的定义,注意:,特殊情况:,例11,解,答
6、案,课堂练习,例12,解,2. 幂函数的解析性,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,四、三角函数和双曲函数,1. 三角函数的定义,将两式相加与相减, 得,现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.,例13,解,有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式,正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,(注意：这是与实变函数完全不同的),其他复变数三角函数的定义,例14,解,例15,解,例16,解,2. 双曲函数的定义,它们的导数分别为,并有如下公式:,它们都是以 为周期的周期函数,例17,解,五、反三角函数和反双曲函数,1
7、. 反三角函数的定义,两端取对数得,同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:,2. 反双曲函数的定义,例18,解,六、小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:,1. 指数函数具有周期性,2. 负数无对数的结论不再成立,3. 三角正弦与余弦不再具有有界性,4. 双曲正弦与余弦都是周期函数,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中,放映结束，按Esc退出.,