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1、20XX20XX 年沈阳市高中三年级教学质量监测（四）年沈阳市高中三年级教学质量监测（四）数数学学(理科理科)命题：东北育才双语学校命题：东北育才双语学校 王海涛王海涛沈阳市第沈阳市第 120120 中学中学 董贵臣董贵臣东北育才学校东北育才学校侯雪晨侯雪晨沈阳市第沈阳市第2020中学中学李蕾蕾李蕾蕾沈阳市第沈阳市第1111中学中学孟媛媛孟媛媛沈阳市第沈阳市第4 4中学中学韩韩娜娜主审：沈阳市教育研究院主审：沈阳市教育研究院 王孝宇王孝宇本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 1 至至 3 3 页页,第卷第卷 3 3至至 6
2、 6 页。满分页。满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1.1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡指定区域。指定区域。2.2.第卷每小题选出答案后，用第卷每小题选出答案后，用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本
3、试题卷上作答无效。书写作答，在本试题卷上作答无效。3.3.考试结束后，考生将答题卡交回。考试结束后，考生将答题卡交回。第卷第卷(共共 6060 分分)一、选择题：一、选择题：(本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的)1.能正确表示右图中阴影部分的选项为A.CUMC.MNB.CUMND.MNNCUMN开始输入x是NCUM2.已知a,bR R，则“a 0”是“abi为纯虚数”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既非充分也非必要条件
4、3.执行右面的程序框图，如果输入的x2,2，则输出的y属于x1否11A,5B（,522C,41y()x2输出y结束y 4 log2x121D（,424.已知Sn是等差数列an的前n项和，下列选项中不可能是关于n,Sn的图象的是S Sn n3 32 21 14 43 32 21 11 12 23 34 4S Sn n4 43 32 21 11 12 23 34 4S Sn n4 43 32 21 1S Sn nO On n11223322-1-1O On n22O O111 12 23 34 4n nO O1122331 1112 23 34 4n nA AB BC CD D5.在一个装满水的容
5、积为1 升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这个容器中随机取出 0.1 升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为A.0.10B.0.09C.0.19D.0.1996.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表：第一种钢板第二种钢板A规格21B规格12C规格13今需要A、B、C三种规格的成品各 15、18、27 块，所需两种钢板的张数分别为m、n，则mn的最小值为A.11B.12C.13D.147.设点Px0,y0是函数y tan x与y xx 0的图象的一个交点，则x0211cos2x0的值为A.2B.2+2C.2+3D.因为x0不
6、唯一，故不确定8.如图，各棱长都为 2 的四面体ABCD中,CE ED,AF 2FD，则向量BE CF A AF FB BE EC CD D1111A.B.C.D.3322229.双曲线yx21a 0,b 0的两条渐近线与抛物线y x21有四2ab个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是A.(1,5)B.(1,10.函数fx55)C.(,)D.(5,)2212sinx在区间2,4上的所有零点之和等于1 xA.2B.6C.8D.10322x 3x 1,x 011.若函数fxa x在区间2,2上的最大值为 2，则实数a的取值范围e,x 0111 B.0，ln2C.,0D.-，ln2A.ln2，22
7、212.四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为 12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为A.6 5B.12C.6 3D.6 2第卷第卷(共共 9090 分分)二、填空题：二、填空题：(本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分把答案填在答题纸上分把答案填在答题纸上.).)13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱长的值为 .y y2 2P P1 12 23 3120120O Ox xP P0 0(4(4，-3)-3)（第 13 题图）（第 14 题图）14.如图，以摩天轮中心为原点，水平方向为x轴建立平面直
8、角坐标系.动点初始位于点P04,3处，现将其绕原点O逆时针旋转 120角到达点P处，则点P的纵坐标为.C为圆心，2)的直线l与圆C:(x 3)2(y 4)2 25交于A、15.过点M(1当ACBB两点，最小时，直线l的方程是.16.数列an的通项为an1e（其中e为自然对数的底数），则该数列各项取值最大、最小两项值的和为 .三、解答题：三、解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置位置.).)17.（本小题满分 12 分）小华参加学校创意社团，上交一份如图所示的作品：边长为 2 的正方形中作
9、一内切圆O，在O内作一个关于正方形对角线对称的内接“十”字形图案.OA垂直于该“十”字形图案的一条边，点P为该边上的一个端点.记“十”字形图案面积n为S，AOP=.试用表示S，并由此求出S的最大值.P PO OA A18.（本小题满分 12 分）9 粒种子分别种在甲、乙、丙3 个坑内，每坑3 粒，每粒种子发芽的概率为 0.5.若一个坑内至少有 1 粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子.（1）求甲坑不需要补种的概率；（2）记3 个坑中恰好有 1 个坑不需要补种的概率为P1，另记有坑需要补种的概率为P2，求P1 P2的值.19.（本小题满分 12 分）如图，l1、l2是互相垂直的
10、异面直线，MN是它们垂线段，点A、B、M在l1上，点C、N在l2上，C C的 公l l1 1A AMMB BN Nl l2 2AM MB MN 1.（1）证明：AC BN；（2）若ACB 60，求直线BN与平面ABC所成角的余弦值.x2y220.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：221a b 0.四ab（3,点333）（3,）（2,0）、中有三点在椭圆C上.（1,）222（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l过点A2,0，与y轴交于点R，与椭圆C交于点Q（Q不与A重合）.过原点O作直线l的平行线m，直线m与椭圆C的一个交点记为P.问：是否存在常数使得AQ、OP、AR成
11、等比数列？若存在，请你求出实数的值；若不存在，请说明缘由.21.（本小题满分 12 分）已知函数f(x)x3 x2，数列xn xn 0的第一项x11，以后各项按如下方式取定：曲线y f(x)在点xn1,fxn1处的切线与经过0,0和xn,fxn两点的直线平行.（1）求函数fx的极值；11（2）当nN+时，求证：xn2 xn 3xn12 2xn1；()n1 xn()n2.22请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。在答题卡题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题，选答区域指定位置答题，并用并用铅笔
12、在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的2B2B 题号必须与所涂题目的题号一致题号必须与所涂题目的题号一致。22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，正方形ABCD边长为 2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E.（1）求证：AE EB；（2）求EF FC的值.23.（本小题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程E EF FA AD DB BO OC Cx 1在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为y 42t2（t为参数）.再以原点为极点，以2t2x正半轴为极轴建立
13、极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位.在该极坐标系中圆C的方程为 4sin.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为2,1，求MA MB的值.24.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知fx 2x 35 2x.44（1）关于x的不等式fx a2a恒成立，求实数a的取值范围；（2）设m,nR，且m n 1，求证：2m12n1 2fx.20XX20XX 年沈阳市高中三年级教学质量监测（四）年沈阳市高中三年级教学质量监测（四）数学（理科）参考答案与评分参考数学（理科）参考答案与评分参考一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212
14、小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分题号题号答案答案1 1D D2 2C C3 3B B4 4D D5 5C C6 6B B7 7A A8 8A A9 9B B1010C C1111D D1212A A4.提示：等差数列前n项和公式的函数性质.P(B)=0.1，5.记：则P(A)=0.1，A=取出的水中有草履虫 a，B=取出的水中有草履虫b，小杯中发现草履虫为事件A B，则P(A B)P(A)P(B)P(AB)=0.1+0.1-0.1=0.19.2m n 15m 2n 186.约束条件为,目标函数为z mn,当m 4,n 8时,zmin12.m3n 27m,nN+12
15、C C108A AA A:(3.60,7.80):(3.60,7.80)D DD D:(4.00,8.00):(4.00,8.00)64250 051015207.由题意得tan x0 x0，代入所求得x2011cos2x0tan x011cos2x02 sin2x0211 2cos x012cos x012cos2x0 22cos x08.提示：连结BF，用空间基向量表示得解.9.提示：求出相切时渐近线的斜率为2，注意到双曲线焦点在y 轴上，故55a，从而e(1,).2 e 22b10.提示：如下左图.A AE EB BMMO OO O1 1F FD DC C11.如图,函数在 y 轴左侧(
16、-1,2)处已经满足函数在区间-2,2上的最大值为2,y 轴左侧不应该超过点(2,2)即可.86425A A251015412.提示：如上右图，球心 O 为高线的靠近下底面的四等分点，E、F 所在中截面圆心 O1为高线的中点，在OO1M 内计算球心到线 EF 的距离，最后由垂径定理求解.(这里只列出其中的一种解法.)二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13.2 3 14.3 4 311 15.x y 3 0 16.222ee13.提示：右图，通过解直角三角形或应用余弦定理求解.120120 0 014.提示：记xOP0
17、=，则cos43，sin，55OP 为120的终边，运用和角公式计算sin120得解.15.提示：由kMC1，得kAB 1可解.1n1(n为偶数）e16.提示：ann11e(n为奇数）3 32 21 1111122y yO O1 12 23 34 45 56 67 7 x x考虑相应函数，如右图三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7070 分分.17.解：正方形边长为2P POP 1，PAsin，OA cos2 分故十字形面积S 2cos2sin+22sin(cos-sin)=8sincos-4sin2(0,O OA A)6 分4S 4sin2-2(1-cos2)8 分1 2sin+co
18、s-2=2 5sin2+-2=4sin2+2cos2-2=2555其中 cos=25，sin=15，(0,)10 分4当 2+=时，S取最大，最大值为2 5-2.12 分231118.解：（1）甲坑内3 粒种子都不发芽的概率为1=2 分2817甲坑不需要补种的概率为1=.4 分88122117（2）3 个坑恰有 1 个坑不需要补种的概率为P7 分 C()13885127由于三个坑都不需要补种的概率是()38 分87169则有坑需要补种的概率为P21()3=10 分8512所以P1 P22116995.12 分=512512256MN Ml2平面ABN19.解：（1）证明：l2 l1，l2 MN
19、且l1而BN 平面ABNl2 BN又AM MB MN 1BN AN2 分又知l1AN NBN 平面ANC4 分又AC 平面ACNAC BN6 分方法二：还可以采用坐标法，提示：建系前需要说明充当三条坐标轴的直线的垂直关系.（2）如图，以N为原点，建立空间直角坐标系N-ABC则由条件可知各点坐标分别是：Az zC C2,0,0、B 0,2,0、C 0,0,28 分x xA AMMB Bl l1 1N Nl l2 2平面ABC的法向量可取为n 1,1,110 分而且NB 0,2,0cos n,NB 1311 分2y y6 1 故直线BN与平面ABC所成角的余弦值为1.12 分333320.解：（1
20、）由于椭圆是对称图形，所以点、3,3,必在椭圆上，22于是有若点3312 分22a4b2,0在椭圆上，则a 2，这样有3321，矛盾3 分24b319所以点在椭圆上，即3,1222a4bx2y2由解得a 4，b 3.即14322y yR RQ QP PO OB B5 分(2)设直线l：y k(x 2)A Ax x直线m：y kx联立得：34k2x216k2x16k212 06 分AQ 1 k2162k243 4k216k2123 4k21 k21448 分3 4k2又由可得R0,2k，故AR 2 1k2；方程联立消去y得：3 4k2x212 02 OP 1 k24123 4k23 4k2OP
21、1 k2123 4k23 4k210分2要使得AQ、OP、AR成等比数列，只需AQAR=OP，即212 3 4k1221 k2=2 1 k1 k2223 4k3 4k2整理得2 2，所以存在，2.12 分注意：由于两直线平行，所以本题也可以直接利用线段在x 轴上的投影长度计算.221.解：（1）定义域为R，其导数f x=3x2 2x，令f x=0 x 或 02 分32 22x-，-0-0，0-，333f xfx+增0极大值-减0极小值+增24y极大值=f=；y极小值=f0=0.4 分327（2）f x=3x2 2x，f xn1=3xn12 2xn1依题意知f xn1=fxnxny y2 2，1
22、 1即xn2 xn 3xn12 2xn16 分11O Ox xn+1n+1x xn n1 1x x1先证：xn2n1由知：xn2 xn3xn122xn1 4xn122xn1=2xn12xn17 分而函数gx x2 x在（0，+）上递增，故xn 2xn1x当n 2时，xnnxn11故xn2n12xn11xn20 xx132 x1x2x12n11；当n 1时，x1=1=2得证.9 分 1再证：xn2n2由xn xn3x22n12xn1 2x2n12xn1=2x2n1 xn1xn12 xn1110 分xn2 xn2n1xn2 xn2xn xn xnxn12 xn1 1故xn2n2x32 x3x22
23、x2122x12 x1x2 x2x1 x1212 2n2得证.1综上所述2n11 xn2n2.12 分22.解：（1）由以 D 为圆心 DA 为半径作圆，而 ABCD 为正方形，EA 为圆 D 的切线依据切割线定理得EA2 EF EC2分另外圆 O 以 BC 为直径，EB 是圆 O 的切线，同样依据切割线定理得EB2 EF EC4 分故AE EB5 分（2）连结BFBC 为圆 O 直径，BF ECA AD DE EF FB BO OC C在RtBCE中，有BFBE7 分=BCEC又在RtBCE中，由射影定理得412EF FC BF10 分55 2223.解：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆
24、的直角坐标方程式为x2y 2 44 分（2）直线l的普通方程为y x 3，点M在直线上.22tx 22l的标准参数方程为6 分2y 1t2代入圆方程得：t23 2t 1 0设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1t2 3 2，t1t218 分于是MA MB=t1 t2t1t23 2.10 分24.解：（1）依据绝对值的几何意义可知函数fx 2x 到点 A（35 2x 表示数轴上点 P（2x）4435）和B（）两点的距离，其最小值为fxmin 23 分44不等式恒成立只需2 a2 a，解得1 a 25 分（2）fxmin 2只需证明：2m 12n 1 2 2成立即可.22m 122m 12 m 2 2n 133 n.8 分；22n 1222于是22m122n1 m2m 12n 1 2 233 n m n3 422故要证明的不等式成立.10分