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1、高三数学试题（理科）高三数学试题（理科）斗鸡中学 高三数学理科组 2010-9-28一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 个小题个小题.每小题每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P x|2 x122，Q y|x y 4,xR,yR，则PQ（）4A.2,1 B.2,0,1,32.已知sin C.D.Q33，tan，则所在的象限为（）2524A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知z1 2i，z213i，则复数iz2的虚部为（）z15A.
2、i B.i C.1D.14.函数y x1 xa的图象关于点(2,0)对称，则a等于（）A.3 B.5 C.7 D.95.如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1 的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积为（）A.3331 C.D.B.86242开始S=0,n=2否n 21是1S=S+nn=n+2结束6.如图，程序框图所进行的求和运算是（）111124620111B.13519111C.124181111D.23102222A.输出 S7.设x,y满足约束条件x 0，y x，4x3y 12，则 A.1,5 B.2,6 C.3,10 D.3,11x2y3取值范围是（）x1A8.如图
3、在ABC中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若AB mAM,AC nAN，BONCM则mn的最大值为A1 B1 C2 D429.已知集合A1,2,3,4，B 5,6,7，C 8,9.现在从三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成（）y个集合AA.24 B.36 C.26 D.2710.已知F1,F2分别为椭圆 C：F1Bxxy1(a b 0)的左a2b222F2右焦点，过F1且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A、B 两点，若ABF2为锐角三角形，则椭圆C 的离心率 e 的取值范
4、围为A、(0,21)B、(0,31)C、(21,1)D、(3 1,1)11.如图所示，若向圆x y 2内随机投一点（该点落在圆22x2 y2 2内任何一点是等可能的），则所投的点落在圆与y 轴2及 曲 线y x(x 0)围 成 的 阴 影 图 形S内 部 的 概 率 是A1146B112g(x)C111D881212.幂指函数y f(x)在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得y/f/(x)/g(x)ln f(x)g(x)ln y g(x)ln f(x)，两 边 同 时 求 导 得，于 是yf(x)y f(x)/g(x)1f/(x)g(x)ln f(x)g(x)，运用此方法可以探求得知
5、y xx的一个单调f(x)/递增区间为A.(0,2)B.(2,3)C.(e,4)D.(3,8)二、填空题（本大题共有二、填空题（本大题共有 4 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 5 分）分）13.已知a (1,3)，b (1,1)，c a b，a和c的夹角是锐角，则实数的取值范围是 .14.48sin 40 cos40cos40 1sin 502=2n C(nN),(x 3)的展开式中的常数项是（用数字作答）.15.若Cx016.在RtABC中，C 90，AC b,BC a，则RtABC的外接圆半径为3n127n627*a2b2r，将此结论类比到空间，类似的结论。2三、解答题（本大题共三、
6、解答题（本大题共 6 6 小题，小题，1919，2020，2121，2222，2323 题每题题每题 1212 分，分，2424 题题 1414 分共分共 7474 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已 知 向 量：a(2sinx,cos2x),向量b(cosx,2 3),其中0，设 函 数f(x)ab，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为.（）求f(x)的解析式；（）若对任意实数x18甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每
7、人面试合格的概率都是,，恒有|f(x)m|2成立，求实数m的取值范围.6 31，且面试是否合格互不影响.求：2（）至少有 1 人面试合格的概率;（）签约人数的分布列和数学期望.19（本小题满分 12 分）如图，四棱锥P ABCD中，PB 底面ABCD，PCD PD.底面ABCD为直角梯形，AD/BC，AB BC，AB AD PB 3.点E在棱PA上，且PE 2EA.ADEBC(1)求异面直线PA与CD所成的角；(2)求证：PC/平面EBD；(3)求二面角ABED的大小（用反三角函数表示）.20.已知点A,B的坐标分别是(0,1)，(0,1)，直线AM,BM相交于点 M，且它们的斜率之积为12（
8、1）求点 M 轨迹C的方程；（2）若过点D2,0的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求ODE与ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）.21.已知函数f(x)ln(x a),g(x)（1）求a的值（2）若方程f(x)g(x)在(0,)上有且仅有两个解x1,x2求b的取值范围，并比较13x b,直线l:y x与y f(x)相切，6x1x21与x1 x2的大小。（3）设n 2时，n N，求证：*ln2ln3lnn12!3!n!请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，那么按所组的第一题记分，做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。2
9、2.（本小题满分 10 分）选修 41；几何证明选证在半径为 1 的圆O中，两弦AB和CD交于点E，且EF/CB，EF交AD的延长于点F。若OF 2，求EF的长。23（本小题 10 分）选修 44：极坐标与参数方程平面直角坐标系中，直线l经过点P(1,1),倾斜角6，将极点放在平面直角坐标系的坐标原点，极轴与x轴正半轴重合，曲线 C 的极坐标方程是 4cos.（）写出直线l的参数方程与曲线 C 的普通方程。（）设l与曲线 C 相交于A、B两点，求点P到A、B两点的距离之积.24（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲。关于x的二次方程x 6x|a 2|2a1|0有实根，求a的取值范围2理
10、科数学 答案一、选择题题号1答案D二、填空题13 2A3C4A5C6A7D8B9C10C11D12A5且 014.215.-80216.三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直的三棱锥S ABC，SA a,SB b,SC c，a2b2c2则此三棱锥的外接球半径为R 2三、解答题（如与答案解法不同，请参考答案酌情给分）17解f(x)ab (2sinx,cos2x)(cosx,2 3)sin2x3(1cos2x)2sin(2x 3)33 分21 2,22相邻两对称轴的距离为,f(x)2sin(x 3)36 分（II）x 2,x,7 分6 33232 3 f(x)2 3，8 分又|f(x)m|2,2 m
11、 f(x)2 m10 分 2 m 2 3若对任意x,，恒有|f(x)m|2成立,则有6 32 m 23 解得3 m 2 2 312 分18解:用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）P（B）P（C）1.22（）至少有 1 人面试合格的概率是171 P(ABC)1 P(A)P(B)P(C)1()3.428（）的可能取值为 0，1，2，3.5P(0)P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)()()().7P(1)P(ABC)P(ABC)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)
12、P(C)P(A)P(B)P(C)=()()().1231221233812312312338181P(3)P(ABC)P(A)P(B)P(C).108P(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C).所以，的分布列是01233311P88883311的期望E 01231.12888819 解：(1)PB底面ABCD，CDPDCDBD在直角梯形ABCD中，AB=AD=3，BC=6取BC的中点F，连结PF，则AFCDPAF为异面直线PA和CD所成的角或其补角在 PAF中，AF=PA=PF=3 2PAF=604 分异面直线PA和CD所成的角为 60(2)连结AC交BD于G，连结EGAGAD1AE1AGA
13、E，又GCBC2EP2GCEPPCEG又EG平面EBD，PC平面EBDPC平面EBD8 分(3)PB平面ABCDADPB又ADABAD平面EAB作AHBE，垂足为H，连结DH，则DHBEAHD是二面角ABED的平面角.在 ABE中，BE=5，AH tanAHD AB AEsin453 5BE5AD5AH故二面角A BE D的大小为arctan512 分或解：(1)建立如图所示的直角坐标系Bxyz.设BC=a，则A(0，3，0)，P(0，0，3)，D(3，3，0)，C(a,0,0),CD(3a,3,0)，PD (3,3,3),CD PDCDPD 0即3(3a)9 0a 6CD (3,3,0),P
14、A (0,3,3)cos PA,CD CDPA91|CD|PA|3 23 22异面直线PA和CD所成的角为 60（2）同解法一(3)设平面 BED的法向量为 n1(x,y,1),因为BE (0,2,1),BD (3,3,0)n1BE 0,2y 1 0,由得n1BD 0,3x 3y 0,1x 2所以,y 1.211于是,n1(,1)22又因为平面 ABE的法向量为 n2(1,0,0)所以 cos n1,n2166666故二面角 A BE D的大小为 arccos20.解：（1）设点M的坐标为(x,y)，kAMkBM 1y 1 y 11，2xx2x2 y21（x 0）整理，得，这就是动点M的轨迹方
15、程2（2）方法方法 1 1：如图，由题意知直线l的斜率存在，设l的方程为y kx2（k 1）2x2 y21，将代入2得(2k 1)x 8k x (8k 2)0，由 0，解得0 k 22222128k2x1 x22,2k 1设Ex1,y1，Fx2,y2，则 2x x 8k 2.122k21令SOBE|BE|，则，即BE BF，即x12 x22，且01.SOBF|BF|4(x 2)(x 2),2212k 1由得，2x 2)(x 2)x x 2(x x)4（.12121222k 141x 2,222k 1即x 222.22k212k21412,即k 22(1)8(1)20 k2114114112且k
16、 0 且224(1)22(1)242解得32 2 32 2且1分310 1，3 2 2 1且3OBE与OBF面积之比的取值范围是32 2,11,13321.（1）设切点(x0,y0)，则y0 x0，f(x0)111，k f(x0)x0 ax0 ax0 a 1,且y0 ln(x0 a)0，x0 0,a 13 分（2）由ln(x a)131x b，得x3ln(x 1)b 066x21x3 x2 2(x 1)(x2 2x 2)13令h(x)x ln(x 1)b，h(x)2x 12(x 1)2(x 1)6在（0，1）上，h(x)0，故h(x)在（0，1）单调减在（1，）上，h(x)0，故h(x)在（1
17、，）单调增h(0)b 01若使h(x)图像在(0,)内与x轴有两个不同的交点，则需h(1)b ln2 0610 b ln29，此时h(3)2ln2b 0621所求b的范围是0 b ln2。8 分6由上知，方程f(x)g(x)在(0,)上有且仅有两个解x1,xx，满足0 x11,x21，x1x21(x1 x2)(1 x1)(1 x2)0 x1x21(x1 x2)（3）求导数可证f(x)x，即ln(x+1)x 10分故n 2，n N*时，lnn n 1lnnn 111 12 分n!n!(n 1)!n!ln2ln3lnn111111(1)()()112!3!n!2!2!3!(n 1)!n!n!14
18、分22.EF/CB,DEF DCB.DCB DAB,DEF DABDFE EFA,DEFDAF.EFFD,EF2 FAFDAFEF由圆幕定理，得FAFD OF2 R2 41 3,EF 33x 1t,2(t是参数）23.（I）直线的参数方程是 2分y 11t;222曲线C的普通方程x y 4x.4分22(II)将直线l的参数方程代入到x y 4x中，整理，得t2(13)t 2 0根据t的几何意义，知|PA|PB|t1t2|2 36|a2|2a1|0,24原方程有实根，|a2|2a1|9118(1)当a 时，a22a1 9,a 22311(2)当2 a 时，a212a 9,0n2 a 2210(3)当a 2时，a212a 9,a 23 10 8综上所述，由（）（12）（3）得a的取值范围-，33