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1、曲线运动经典习题归类曲线运动经典习题归类渡河问题渡河问题1.汽艇在宽为 400 m、水流速度为 2 m/s 的河中横渡河面，它在静水中的速度为4 m/s.求：1汽艇要垂直横渡到达正对岸，船头应取什么航向？2如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？3 假设水流速度为 4 m/s，船在静水中的速度为 2 m/s，那么船能过河的最短航程是多少？绳联物体的速度问题绳联物体的速度问题1.如下图，汽车甲以速度 v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，v1甲甲、乙都在水平面上运动，求v1v2v2乙2.2.如下图，人在河岸上用轻绳拉船，假设人匀速行进，那么船将做vA.匀速运动B.减速运动C.加速运
2、动D.先加速、后减速运动平抛运动问题平抛运动问题1.1.假设质点以 V0正对倾角为的斜面水平抛出,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为多少?解析：(1)连接抛出点 O 到斜面上的某点 O1，其间距 OO1为位移大小。当 OO1v0 x垂直于斜面时位移最小。(2)分解位移：利用位移的几何关系可得yv0t2v0。xtg,t y12gtggt22.2.如下图，在倾角为的斜面上以速度v0水平抛出一小球，该斜面足够长，那么从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的到达最大，最大距离为多少？v0yOx解析：取沿斜面向下为x轴的正方向，垂直斜面向上为y轴的正方向，如下图，在y轴上，小球做初速度
3、为v0sin、加速度为 gcos的匀变速直线运动，所以有2vy(v0sin)2 2gycosvy v0sin g cost当vy 0时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离到达最大。供学习参考(v0sin)2由式可得小球离开斜面的最大距离H y 2gcos当vy 0时，小球在y轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由式可得小球运动的时间为t v0tang3.3.从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为v1和v2，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90？解析：设两小球抛出后经过时间t，它们速度之间的夹角为90，
4、与竖直方向的夹角分别为和，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如下图，由图可得cotgt和v1tanv2gt又因为 90，所以cot tan由以上各式可得1gtv2v1v2，解得t gv1gt类平抛运动分析类平抛运动分析1.在光滑的水平面水平面内，一质量m1 kg 的质点以速度v010 m/s 沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F15 N 作用，直线OA与x轴成37，如下图曲线为质点的轨迹图(g取 10 m/s，sin 370.6，cos 370.8)，求：2(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；(2)质点经过P点时
5、的速度大小。解析质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动。由牛顿第二定律得：aFmg151022 m/s 5 m/s。m1设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，供学习参考12那么xPv0t，yPat2又 tan联立解得：t3 s，xP30 m，yP22.5 m。(2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度vyat15 m/s故P点的速度大小vPv0vy5 13 m/s。答案(1)3 sxP30 m，yP22.5 m(2)5 13 m/s2.如下图的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好
6、从底端Q点离开斜面，试求：22yPxP(1)物块由P运动到Q所用的时间t；(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；(3)物块离开Q点时速度的大小v。12解析：(1)沿斜面向下的方向有mgsinma lat联立解得t2(2)沿水平方向有bv0t v0 b22l。gsinbtgsin。2l2(3)物块离开Q点时的速度大小vv0at平抛运动的综合运用平抛运动的综合运用b24l2gsin。2l1.1.如下图，在距地面高为H45 m 处，有一小球 A 以初速度 v010 m/s 水平抛出，与此同时，在 A 的正下方有一物块 B 也以相同的初速度 v0同方向滑出，B 与地面间的动摩擦因数为 0.5，A、B
7、 均可看做质点，空气阻力不计，重力加速度g 取 10 m/s2，求：(1)A 球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移；(2)A 球落地时，A、B 之间的距离1解析：(1)根据 H gt2得 t3 s，由 xv0t得 x30 m.2(2)对于 B 球，根据 F合ma，F合mg，可得加速度大小 a5 m/s2.判断得在 A 落地之前 B 已经停止运动，xAx30 m，由 v202axBxB10 m，那么 xxAxB20 m答案：(1)3 s30 m(2)20 m2.如下图，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为 53的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，斜面顶端与平台的高度差h0.
8、8 m，g10m/s2，sin 530.8，cos 530.6，那么(1)小球水平抛出的初速度v0是多大？(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离s 是多少？(3)假设斜面顶端高 H20.8 m，那么小球离开平台后经多长时间t 到达斜面底端？供学习参考解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否那么小球会弹起，所以vyv0tan 53，v2y2gh，那么 vy4 m/s，v03 m/s.(2)由 vygt1得 t10.4 s，xv0t130.4 m1.2 m.(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度agsin 53，初速度 v5 m/s.那么H113vt2
9、at2s 不合题意舍去)2，解得 t22 s(或 t2sin 5324所以 tt1t22.4 s.答案：(1)3 m/s(2)1.2 m(3)2.4 s3.如下图，在距地面 80 m 高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s 依次放下 a、b、c 三物体，抛出点 a、b 与 b、c 间距分别为 45 m 和 55 m，分别落在水平地面上的A、B、C处求：(1)飞机飞行的加速度；(2)刚放下 b 物体时飞机的速度大小；(3)b、c 两物体落地点 BC 间距离解析：(1)飞机水平方向上，由 a 经 b 到 c 做匀加速直线运动，由 xaT2得，axbcab10 m/s2.22TTabbc(2
10、)因位置 b 对应 a 到 c 过程的中间时刻，故有vb50 m/s.2T12h(3)设物体落地时间为 t，由 h gt2得：t4 s，BC 间距离为：BCbcvct2gvbt，又 vcvbaT，得：BCbcaTt95 m.答案：(1)10 m/s2(2)50 m/s(3)95 m4.如下图，在水平地面上固定一倾角37，外表光滑的斜面体，物体A以v16 m/s 的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中。A、B均可看作质点(sin 370.6，cos 370.8，g取 10 m/s2)。求：(1)物体A上滑到最高点所用的时间
11、；(2)物体B抛出时的初速度v2；(3)物体A、B间初始位置的高度差h。解析：(1)物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：mgsinma代入数据得：a6 m/s设物体A滑到最高点所用时间为t，由运动学公式：0v1at解得：t1 s2供学习参考1(2)物体B平抛的水平位移：xv1tcos 372.4 m2物体B平抛的初速度：v2 2.4 m/s112(3)物体A、B间的高度差：hhAhBv1tsin 37gt6.8 m22答案：(1)1 s(2)2.4 m/s(3)6.8 m5.5.抛体运动在各类体育运动工程中很常见，如乒乓球运动现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度
12、不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力(设重力加速度为g)假设球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1假设球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图虚线所示)，求v2的大小假设球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3【解解析析】设球飞行时间为 t1，根据平抛运动的规律:h112gt1,x1 v1t122h1gxt解得x1 v1设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动的规律，有h212gt2，2x2
13、 v2t2，L2g2h且h2 h，2x2 L由以上各式得v2如下图，发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动的规律，得h312gt3，x3 v3t3，且3x3 2L，2设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有h3h 124gt，s v3t，由几何关系知x3 s L，联式，解得h3h322h1Lv2g2【答案答案】x1 v1g4h3h2h36.?愤怒的小鸟?是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图甲所示，为了报复偷走鸟蛋 的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图
14、乙所示，假设 h10.8 m，l12 m，h22.4 m，供学习参考l21 m，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明(取重力加速度 g10 m/s2)解析(1)设小鸟以 v0弹出后能直接击中堡垒，那么2h1h21gt2l1l2v0tt2h1h2g20.82.4s0.8 s10l1l221所以 v020.8m/s3.75 m/s设在台面的草地上的水平射程为 x，那么xv0t112h12gt1所以 xv02h1g1.5 mV0时物体离开6锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值。V21gL时 VV0物体飞离锥面，此时物体只受重力 mg 和拉力 T 作用，设绳与轴2mV2线的夹角为:T
15、sin TcosmgLsin将 V 代入两式消去可得 2T 3mgTm g T0解取合理值 T2mg4.如下图，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴q转动，同内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁 A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；当物块在 A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。【解析】物块受力如下图由平衡条件得FNmg cos 0222Ffmgsin0其中sinHR H22得摩擦力为Ff mgsinmgHR HmgRR H2222支持力为FN mgcos这时物块的受力如下图FN由
16、牛顿第二定律得mg tan ma m得筒转动的角速度为R22mamg2gH2g tanRR5.游乐园的小型“摩天轮上对称站着质量均为m的 8 位同学，如下图，“摩天轮在竖直平面内逆时针匀速转动，假设某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动，并立即通知下面的同学接住，结果重物掉落时正处在c处(如图)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处接到，“摩天轮半径为R，重力加速度为g，(不计人和吊篮的大小及重物的质量)。求：(1)接住前重物下落运动的时间t(2)人和吊篮随“摩天轮运动的线速度大小v(3)乙同学在最低点处对地板的压力FN供学习参考12解析：(1)由 2Rgt，解得t22R。gsR(2)
17、v，s，t41联立解得：v gR。8v2(3)由牛顿第二定律，Fmgm，R由牛顿第三定律可知，解得F1mg。乙同学在最低点处对地板的压力大小为F641mg，方向竖直向下。642R1答案：(1)2(2)gR(3)1g864mg，方向竖直向下6.如下图，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO之间的夹角为 60，重力加速度大小为g.22(1)假设0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求0；(2)假设(1k)0，且 0k1，
18、求小物块受到的摩擦力大小和方向审题突破当小物块受到的摩擦力恰好为零时，受到什么力的作用？向心力是多少？当转速稍增大(或稍减小)时所需的向心力如何变化？解析(1)对小物块受力分析可知：FNcos 60mgFNsin 60mR20RRsin 60联立解得：0(2)由于 0k1，当(1k)0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下由受力分析可知：2gR供学习参考FNcos 60mgfcos 30FNsin 60fsin 30mR2RRsin 60联立解得：f3k2k2mg当(1k)0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上由受力分析和几何关系知FNcos 60fsin 60mgFNsin 60fcos 60mR
19、2RRsin 60所以f3k2kmg.22g答案(1)0R(2)当(1k)0时，f沿罐壁切线向下，大小为当(1k)0时，f沿罐壁切线向上，大小为3k3k2k2mg2k2mg7.如图为某工厂生产流水线上水平传输装置的俯视图，它由传送带和转盘组成。物品从A处无初速放到传送带上，运动到B处后进入匀速转动的水平转盘，设物品进入转盘时速度大小不发生变化，此后随转盘一起运动(无相对滑动)到C处被取走装箱。A、B两处的距离L10 m，传送带的传输速度v2 m/s，物品在转盘上与轴O的距离R4 m，物品与传送带间的动摩擦因数0.25。取g10 m/s。2(1)物品从A处运动到B处的时间t；(2)质量为 2 k
20、g 的物品随转盘一起运动的静摩擦力为多大？解析：(1)物品先在传送带上做初速度为零的匀加速直线运动；v2vag2.5 m/s。x10.8 mt1 0.8 s2aa2之后，物品和传送带一起以速度v做匀速运动；t2所以tt1t25.4 sLx14.6 svv2(2)物品在转盘上所受的静摩擦力提供向心力Fm解得F2 NR供学习参考答案：(1)5.4 s(2)2 N8.如下图，有一内壁光滑的试管装有质量为1 g 的小球，试管的开口端封闭后安装在水平轴 O 上，转动轴到管底小球的距离为5 cm，让试管在竖直平面内做匀速转动。问：(1)转动轴达某一转速时，试管底部受到小球的压力的最大值为最小值的 3 倍，
21、此时角速度多大？(2)当转速 10 rad/s 时，管底对小球的作用力的最大值和最小值各是多少？(g 取 10 m/s2)解析：(1)转至最低点时，小球对管底压力最大；转至最高点时，小球对管底压力最小，最低点时管底对小球的支持力F1应是最高点时管底对小球支持力F2的 3 倍，即F13F2根据牛顿第二定律有最低点：F1mgmr2最高点：F2mgmr2由得 4g2r410rad/s20 rad/s20.05(2)在最高点时，设小球不掉下来的最小角速度为0，那么 mgmr020gr10rad/s14.1 rad/s0.05因为 10 rad/s014.1 rad/s，故管底转到最高点时，小球已离开管底，因此管底对小球作用力的最小值为F0当转到最低点时，管底对小球的作用力最大为F1，根据牛顿第二定律知 F1mgmr2，那么 F1mgmr21.5102 N。答案：(1)20 rad/s(2)1.5102 N0供学习参考