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1、 1 曲线运动经典习题归类 渡河问题 1.汽艇在宽为 400 m、水流速度为 2 m/s 的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为 4 m/s.求：（1）汽艇要垂直横渡到达正对岸，船头应取什么航向？（2）如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？（3）若水流速度为 4 m/s，船在静水中的速度为 2 m/s，则船能过河的最短航程是多少？绳联物体的速度问题 1.如图所示，汽车甲以速度 v1拉汽车乙前进，乙的速度为 v2，甲、乙都在水平面上运动，求 v1v2 2.如图所示，人在河岸上用轻绳拉船，若人匀速行进，则船将做（）A.匀速运动 B.减速运动 C.加速运动 D.先加速、后减速运动
2、 平抛运动问题 1.若质点以 V0正对倾角为的斜面水平抛出,如果要求质点到达斜面的位移最小，求飞行时间为多少?解析：(1)连接抛出点 O 到斜面上的某点 O1，其间距 OO1为位移大小。当 OO1垂直于斜面时位移最小。(2)分解位移：利用位移的几何关系可得 tg2,21020gvtgttvyxtg。2.如图所示，在倾角为的斜面上以速度0v水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？Oxv0y 解析：取沿斜面向下为x轴的正方向，垂直斜面向上为y轴的正方向，如图所示，在y轴上，小球做初速度为sin0v、加速度为cosg的匀变速直线运动，
3、所以有 cos2)sin(202gyvvy tgvvycossin0 甲 乙 v1 v2 v）v0 y x 2 当0yv时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。由式可得小球离开斜面的最大距离cos2)sin(20gvyH 当0yv时，小球在y轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由式可得小球运动的时间为tan0gvt 3.从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为1v和2v，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90？解析：设两小球抛出后经过时间t，它们速度之间的夹角为90，与竖直方向的夹角分别为和，对两
4、小球分别构建速度矢量直角三角形如图所示，由图可得1cotvgt和gtv2tan 又因为90，所以tancot 由以上各式可得gtvvgt21，解得211vvgt 类平抛运动分析 1.在光滑的水平面内，一质量m1 kg 的质点以速度v010 m/s 沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F15 N 作用，直线OA与x轴成37，如图所示曲线为质点的轨迹图(g取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)，求：(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；(2)质点经过P点时的速度大小。解析 质点在水平方向上无外力作用
5、做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动。由牛顿第二定律得：aFmgm15101 m/s25 m/s2。设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，3 则xPv0t，yP12at2 又 tan yPxP 联立解得：t3 s，xP30 m，yP22.5 m。(2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度vyat15 m/s 故P点的速度大小vPv02vy25 13 m/s。答案(1)3 s xP30 m，yP22.5 m(2)5 13 m/s 2.如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：
6、(1)物块由P运动到Q所用的时间t；(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；(3)物块离开Q点时速度的大小v。解析：(1)沿斜面向下的方向有mgsin ma l12at2 联立解得t 2lgsin。(2)沿水平方向有bv0t v0btb gsin 2l。(3)物块离开Q点时的速度大小vv02at2 b24l2gsin 2l。平抛运动的综合运用 1.如图所示，在距地面高为 H45 m 处，有一小球 A 以初速度 v010 m/s 水平抛出，与此同时，在 A 的正下方有一物块 B 也以相同的初速度 v0同方向滑出，B 与地面间的动摩擦因数为 0.5，A、B 均可看做质点，空气阻力不计，重力加速度
7、g 取 10 m/s2，求：(1)A 球从抛出到落地的时间和这段时间内的水平位移；(2)A 球落地时，A、B 之间的距离 解析：(1)根据 H12gt2得 t3 s，由 xv0t 得 x30 m.(2)对于 B 球，根据 F合ma，F合mg，可得加速度大小 a5 m/s2.判断得在 A 落地之前 B 已经停止运动，xAx30 m，由 v202axB xB10 m，则 xxAxB20 m 答案：(1)3 s 30 m(2)20 m 2.如图所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为 53的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差 h0.8 m，g10 m/s2
8、，sin 530.8，cos 530.6，则(1)小球水平抛出的初速度 v0是多大？(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离 s 是多少？(3)若斜面顶端高 H20.8 m，则小球离开平台后经多长时间 t 到达斜面底端？4 解析：(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以 vyv0tan 53，v2y2gh，则 vy4 m/s，v03 m/s.(2)由 vygt1得 t10.4 s，xv0t130.4 m1.2 m.(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度 agsin 53，初速度 v5 m/s.则 Hsin 53vt212at22，解得 t2
9、2 s(或 t2134 s 不合题意舍去)所以 tt1t22.4 s.答案：(1)3 m/s(2)1.2 m(3)2.4 s 3.如图所示，在距地面 80 m 高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔 1 s 依次放下 a、b、c 三物体，抛出点 a、b 与 b、c 间距分别为 45 m 和 55 m，分别落在水平地面上的 A、B、C 处求：(1)飞机飞行的加速度；(2)刚放下 b 物体时飞机的速度大小；(3)b、c 两物体落地点 BC 间距离 解析：(1)飞机水平方向上，由 a 经 b 到 c 做匀加速直线运动，由 xaT2得，axT2bcabT210 m/s2.(2)因位置 b 对应 a
10、到 c 过程的中间时刻，故有 vbabbc2T50 m/s.(3)设物体落地时间为 t，由 h12gt2得：t 2hg4 s，BC 间距离为：BCbcvctvbt，又 vcvbaT，得：BCbcaTt95 m.答案：(1)10 m/s2(2)50 m/s(3)95 m 4.如图所示，在水平地面上固定一倾角37，表面光滑的斜面体，物体A以v16 m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中。A、B均可看作质点(sin 370.6，cos 370.8，g取 10 m/s2)。求：(1)物体A上滑到最高点所用的时间；(2)物体
11、B抛出时的初速度v2；(3)物体A、B间初始位置的高度差h。解析：(1)物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：mgsin ma 代入数据得：a6 m/s2 设物体A滑到最高点所用时间为t，由运动学公式：0v1at 解得：t1 s 5(2)物体B平抛的水平位移：x12v1tcos 372.4 m 物体B平抛的初速度：v2xt2.4 m/s(3)物体A、B间的高度差：hhAhB12v1tsin 3712gt26.8 m 答案：(1)1 s(2)2.4 m/s(3)6.8 m 5.抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，
12、竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力(设重力加速度为g)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度1v水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1 若球在O点正上方以速度2v水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图虚线所示)，求2v的大小 若球在O正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3【解析】设球飞行时间为 t1，根据平抛运动的规律:21121gth,111tvx 解得ghvx1112 设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动的规律，有22221gth，222tvx，且hh
13、 2，Lx22 由以上各式得hgLv222 如图所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动的规律，得23321gth，333tvx，且Lx233，设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有2321gthh，tvs3，由几何关系知Lsx3，联式，解得hh343【答案】ghvx1112 hgLv222 hh343 6.愤怒的小鸟是一款时下非常流行的游戏，游戏中的故事也相当有趣，如图甲所示，为了报复偷走鸟蛋的肥猪们，鸟儿以自己的身体为武器，如炮弹般弹射出去攻击肥猪们的堡垒某班的同学们根据自己所学的物理知识进行假设：小鸟被弹弓沿水平方向弹出，如图乙所示，若 h10.8 m，l1
14、2 m，h22.4 m，6 l21 m，小鸟飞出后能否直接打中肥猪的堡垒？请用计算结果进行说明(取重力加速度 g10 m/s2)解析(1)设小鸟以v0弹出后能直接击中堡垒，则 h1h212gt2l1l2v0t t 2（h1h2）g 2（0.82.4）10 s0.8 s 所以v0l1l22210.8 m/s3.75 m/s 设在台面的草地上的水平射程为 x，则 xv0t1h112gt21 所以 xv0 2h1g1.5 mV0时物体离开锥面，物体飘起绳与轴线夹角增大到某值。（1）当 VgL61时 VV0物体飞离锥面，此时物体只受重力 mg 和拉力 T 作用，设绳与轴 H V 1 0 线的夹角为:T
15、sinsin2LmV Tcosmg 将 V 代入两式消去可得 2T23mgTm2g2T0 解取合理值 T2mg 4.如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴q转动，同内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H,筒内壁 A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：当筒不转动时，物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大小；当物块在 A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。【解析】物块受力如图所示 由平衡条件得 cos0NFmg sin0fFmg 其中22sinHRH 得摩擦力为 22sinfmgHFmgRH 支持力为 22cosNmgRFmgRH 这时物块的
16、受力如图所示 由牛顿第二定律得 2tan2Rmgmam 得筒转动的角速度为 22 tangHgRR 5.游乐园的小型“摩天轮”上对称站着质量均为m的 8 位同学，如图所示，“摩天轮”在竖直平面内逆时针匀速转动，若某时刻转到顶点a上的甲同学让一小重物做自由落体运动，并立即通知下面的同学接住，结果重物掉落时正处在c处(如图)的乙同学恰好在第一次到达最低点b处接到，已知“摩天轮”半径为R，重力加速度为g，(不计人和吊篮的大小及重物的质量)。求：(1)接住前重物下落运动的时间t(2)人和吊篮随“摩天轮”运动的线速度大小v(3)乙同学在最低点处对地板的压力FN mg FN ma 1 1 解析：(1)由
17、2R12gt2，解得t2 Rg。(2)vst，sR4，联立解得：v18gR。(3)由牛顿第二定律，Fmgmv2R，解得F1264mg。由牛顿第三定律可知，乙同学在最低点处对地板的压力大小为F1264mg，方向竖直向下。答案：(1)2 Rg(2)18 gR(3)1264mg，方向竖直向下 6.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO之间的夹角为 60，重力加速度大小为g.(1)若0，小物块受到的摩擦力恰好
18、为零，求0；(2)若(1k)0，且 0k1，求小物块受到的摩擦力大小和方向 审题突破 当小物块受到的摩擦力恰好为零时，受到什么力的作用？向心力是多少？当转速稍增大(或稍减小)时所需的向心力如何变化？解析(1)对小物块受力分析可知：FNcos 60mg FNsin 60mR20 RRsin 60 联立解得：0 2gR(2)由于 0k1，当(1k)0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向下由 受力分析可知：1 2 FNcos 60mgfcos 30 FNsin 60fsin 30mR2 RRsin 60 联立解得：f3k2k2mg 当(1k)0时，物块受摩擦力方向沿罐壁切线向上由受力分析和几何关系知 F
19、Ncos 60fsin 60mg FNsin 60fcos 60mR2 RRsin 60 所以f3k2k2mg.答案(1)0 2gR(2)当(1k)0时，f沿罐壁切线向下，大小为3k2k2mg 当(1k)0时，f沿罐壁切线向上，大小为3k2k2mg 7.如图为某工厂生产流水线上水平传输装置的俯视图，它由传送带和转盘组成。物品从A处无初速放到传送带上，运动到B处后进入匀速转动的水平转盘，设物品进入转盘时速度大小不发生变化，此后随转盘一起运动(无相对滑动)到C处被取走装箱。已知A、B两处的距离L10 m，传送带的传输速度v2 m/s，物品在转盘上与轴O的距离R4 m，物品与传送带间的动摩擦因数0.
20、25。取g10 m/s2。(1)物品从A处运动到B处的时间t；(2)质量为 2 kg 的物品随转盘一起运动的静摩擦力为多大？解析：(1)物品先在传送带上做初速度为零的匀加速直线运动；ag2.5 m/s2。x1v22a0.8 m t1va0.8 s 之后，物品和传送带一起以速度v做匀速运动；t2Lx1v4.6 s 所以tt1t25.4 s(2)物品在转盘上所受的静摩擦力提供向心力Fmv2R 解得F2 N 1 3 答案：(1)5.4 s(2)2 N 8.如图所示，有一内壁光滑的试管装有质量为 1 g 的小球，试管的开口端封闭后安装在水平轴 O 上，转动轴到管底小球的距离为 5 cm，让试管在竖直平
21、面内做匀速转动。问：(1)转动轴达某一转速时，试管底部受到小球的压力的最大值为最小值的 3 倍，此时角速度多大？(2)当转速 10 rad/s 时，管底对小球的作用力的最大值和最小值各是多少？(g 取 10 m/s2)解析：(1)转至最低点时，小球对管底压力最大；转至最高点时，小球对管底压力最小，最低点时管底对小球的支持力 F1应是最高点时管底对小球支持力 F2的 3 倍，即 F13F2 根据牛顿第二定律有 最低点：F1mgmr2 最高点：F2mgmr2 由得 4g2r 41020.05 rad/s20 rad/s(2)在最高点时，设小球不掉下来的最小角速度为 0，则 mgmr02 0 gr 100.05 rad/s14.1 rad/s 因为 10 rad/s014.1 rad/s，故管底转到最高点时，小球已离开管底，因此管底对小球作用力的最小值为 F0 当转到最低点时，管底对小球的作用力最大为 F1，根据牛顿第二定律知 F1mgmr2，则 F1mgmr21.5102 N。答案：(1)20 rad/s(2)1.5102 N 0