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1、上海市黄浦区2017届高三二模数学试卷2017.4一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 函数的定义域是 2. 若关于、的方程组有无数多组解，则实数 3. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 4. 已知，（其中为虚数单位），且是实数，则实数 5. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 6. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为 7. 已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是 8. 已知向量，如果，那么 9. 若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 10. 若将函数图像向左平移个单位
2、后，所得图像对应函数为偶函数，则最小值是 11. 三棱锥满足：，则该三棱锥的体积的取值范围是 12. 对于数列，若存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列是以为周期的周期数列，设，对任意正整数有，若数列是以5为周期的周期数列，则的值可以是 （只要求填写满足条件的一个值即可）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ） A. B. C. D. 15. 已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ） A.
3、 B. C. D. 16. 如图所示，圆与、分别相切于点、，点是圆及其内部任意一点，且，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在直棱柱中，、分别是、的中点. （1）求证：；（2）求与平面所成角的大小及点到平面的距离. 18. 在中，角、的对边分别为、，且、成等差数列. （1）求角的大小；（2）若，求的值. 19. 如果一条信息有种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为、，则称（其中，）为该条信息的信息熵，已知.（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求
4、“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有位选手（分别记为、）参加，若当、时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军”的信息熵关于的表达式. 20. 设椭圆的左顶点为，中心为，若椭圆过点，且. （1）求椭圆的方程；（2）若的顶点也在椭圆上，试求面积的最大值；（3）过点作两条斜率分别为、的直线交椭圆于、两点，且，求证：直线恒过一个定点. 21. 若函数满足：对于任意正数、，都有，则称函数为“函数”. （1）试判断函数与是否是“函数”；（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；（3）若函数为“函数”，且，求证：对任意，都有. 参考答案一. 填空题1. 2. 2 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 、二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. B三. 解答题17.（1）略；（2），. 18.（1）；（2）.19.（1）5；（2）.20.（1）；（2）；（3）.21.（1）是，不是；（2）；（3）略. 国产考试小能手