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1、2016-2017学年上海市外国语附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共70分）1（5分）若函数f（x）=，则f（f（9）= 2（5分）函数y=loga（x2）+3（a0，a1）的图象恒过一定点 3（5分）若cos=，则tan2= 4（5分）135的圆心角所对的弧长为3，则圆的半径是 5（5分）= 6（5分）已知sin=，且是第三象限角，则sin（+）= 7（5分）已知角的终边在y=x上，则sin= 8（5分）已知sin+cos=，则tan2+cot2= 9（5分）若tan（+）=2，则tan的值等于 10（5分）若tan=，则2sin2sincos+cos2=
2、 11（5分）设函数y=f（x）存在反函数y=f1（x），且函数y=xf（x）的图象经过点（2，5），则函数y=f1（x）+3的图象一定过点 12（5分）已知f（sinx）=2x+1，x，那么f（cos10）= 13（5分）函数f（x）=log（ax22x+4）（aR），若f（x）的值域为（，1，则a的值为 14（5分）设，为锐角，且满足sin2+sin2=sin（+），则+= 15（5分）已知5sin2+sin2=3sin，则y=sin2+sin2函数的最小值为 二、选择题16（3分）下列4个命题中：（1）存在x（0，+）使不等式2x3x成立（2）不存在x（0，1）使不等式log2xlog3
3、x成立（3）任意的x（0，+），使不等式log2x2x成立（4）任意的x（0，+），使不等式log2x成立真命题的是（）A（1）、（3）B（1）、（4）C（2）、（3）D（2）、（4）17（3分）角的终边在第三象限，那么的终边不可能在的象限是第（）象限A一B二C三D四18（3分）tan，tan是一元二次方程x2+3x+4=0两根，、（，0），则cos（+）等于（）ABCD19（3分）若定义在（，1）（1，+）上的函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1x），且当x（1，+）时，f（x）=|则下列结论中错误的是（）A存在tR，使f（x）2在t，t+上恒成立B存在tR，使0f（x）2在t，t+上恒
4、成立C存在tR，使f（x）在t，t+上始终存在反函数D存在tR+，使f（x）在t，t+上始终存在反函数20（3分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则的取值范围为（）A（1，+）B（1，1C（，1）D1，1）三、解答题21若cos=，cos（+）=，（0，），+（，），则= 22已知sin，cos是方程4x24mx+2m1=0的两个根，求角23扇形AOB的中心角为2，（0，），半径为r，在扇形AOB中作内切圆O1与圆O1外切，与OA，OB相切的圆O2，问sin为何值时，圆O2的面积最大？最大值是多少？24设函数f（x）=kaxax（a0且a1
5、）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2xa2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2，求实数m的值25若函数f（x）的定义域为R，满足对任意x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”若函数g（x）定义域为R，恒大于0，且对任意x1，x2R，恒有lgf（x1+x2）lgf（x1）+lgf（x2），则称g（x）为“对数V形函数”（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否是“V形函数”并说明理由；（2）当时g（x）=5x+2判断g（x）是否是“对数V形函数”，并说明理由；（3）若函数f（x）是“V形函数”，且满足对任意xR都有f（x）2
6、，问f（x）是否是“对数V形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由2016-2017学年上海市外国语附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共70分）1（5分）若函数f（x）=，则f（f（9）=5【解答】解：函数f（x）=，则f（f（9）=f（log39）=f（2）=22+1=5故答案为：52（5分）函数y=loga（x2）+3（a0，a1）的图象恒过一定点（3，3）【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=logax（a0，a1）的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数y=loga（x2）+3（a0，a1）的图象又函数
7、y=logax（a0，a1）的图象恒过（1，0）点，由平移向量公式，易得函数y=loga（x2）+3（a0，a1）的图象恒过（3，3）点故答案为：（3，3）3（5分）若cos=，则tan2=2【解答】解：cos=，sin2=1cos2=1=，cos2=tan2=2故答案为：24（5分）135的圆心角所对的弧长为3，则圆的半径是4【解答】解：由题意，可得：=3，解得r=4故答案为：45（5分）=【解答】解：由已知sin（+）sin（）=（sincos+cossin）（sincoscossin）=sin2cos2cos2sin2=sin2（1sin2）（1sin2）sin2=故应填6（5分）已知s
8、in=，且是第三象限角，则sin（+）=【解答】解：sin=，且是第三象限角，cos=，sin（+）=sin=+=故答案为：7（5分）已知角的终边在y=x上，则sin=【解答】解：角的终边在y=x上任取一点（3a，a），r=|a|，sin=，故答案为：8（5分）已知sin+cos=，则tan2+cot2=【解答】解：由sin+cos=，可得sin2+cos2+2sincos=即sincos=同时除以cos2，可得：=，得：tan+=则tan2+cot2=故答案为：9（5分）若tan（+）=2，则tan的值等于【解答】解：tan（+）=2，整理求得tan=，故答案为：10（5分）若tan=，则2
9、sin2sincos+cos2=【解答】解：根据题意，原式=2sin2sincos+cos2=，而tan=，则原式=；故答案为：11（5分）设函数y=f（x）存在反函数y=f1（x），且函数y=xf（x）的图象经过点（2，5），则函数y=f1（x）+3的图象一定过点（3，5）【解答】解：y=xf（x）的图象过点（2，5），5=2f（2）解得f（2）=3，即函数y=f（x）的图象过点（2，3），则函数y=f（x）的反函数y=f1（x）过（3，2）点函数y=f1（x）+3的图象一定过点（3，5）故答案：（3，5）故答案为：（3，5）12（5分）已知f（sinx）=2x+1，x，那么f（cos10）
10、=719【解答】解：f（sinx）=2x+1，f（cos10）=f（sin（+10）=f （sin（+104）=f（sin（10），则10，则f（sin（10）=2（10）+1=719，故答案为：71913（5分）函数f（x）=log（ax22x+4）（aR），若f（x）的值域为（，1，则a的值为【解答】解：由题意，函数f（x）=log（ax22x+4）f（x）的值域为（，1，ax22x+40，函数y=ax22x+4的最小值为，即，可得：a=故答案为：14（5分）设，为锐角，且满足sin2+sin2=sin（+），则+=【解答】解：由于：sin2+sin2=sin（+）=sincos+coss
11、in，所以：sin（sincos）+sin（sincos）=0，由于，为锐角，则sin0，sin0，若sincos0，则要求sincos0，即且，两者矛盾，故sincos0，同理，得sincos0，所以sincos=0，即，互余，即+=故答案为：15（5分）已知5sin2+sin2=3sin，则y=sin2+sin2函数的最小值为0【解答】解：由5sin2+sin2=3sin，可得sin2=5sin2+3sin0，1，可得sin0，那么y=sin2+sin2=6sin2+3sin=6（sin+）2当sin=0时，y取得最小值为0故答案为0二、选择题16（3分）下列4个命题中：（1）存在x（0，
12、+）使不等式2x3x成立（2）不存在x（0，1）使不等式log2xlog3x成立（3）任意的x（0，+），使不等式log2x2x成立（4）任意的x（0，+），使不等式log2x成立真命题的是（）A（1）、（3）B（1）、（4）C（2）、（3）D（2）、（4）【解答】解：作出指数函数y=2x、y=3x和y=log2x的图象，由图知，“存在x（0，+），使不等式2x3x成立”正确，排除C、D；“任意的x（0，+），使不等式log2x2x成立”正确，故正确，排除B；故选A17（3分）角的终边在第三象限，那么的终边不可能在的象限是第（）象限A一B二C三D四【解答】解：角的终边在第三象限，+2k+2k，
13、kZ，+，kZ，当k=3n（nZ）时，此时的终边落在第一象限，当k=3n+1（nZ）时，此时的终边落在第三象限，当k=3n+2（nZ）时，此时的终边落在第四象限，综上所述，的终边不可能落在第二象限故选：B18（3分）tan，tan是一元二次方程x2+3x+4=0两根，、（，0），则cos（+）等于（）ABCD【解答】解：由题设条件tan+tan=3，tantan=4tan（+）=又、，则+（，0）+（，）取+终边上一点P（1，）则OP=2，cos（+）=故就选B19（3分）若定义在（，1）（1，+）上的函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1x），且当x（1，+）时，f（x）=|则下列结论中错
14、误的是（）A存在tR，使f（x）2在t，t+上恒成立B存在tR，使0f（x）2在t，t+上恒成立C存在tR，使f（x）在t，t+上始终存在反函数D存在tR+，使f（x）在t，t+上始终存在反函数【解答】解：f（1+x）=f（1x），f（x）关于直线x=1对称，作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）2的解集为（，1）（1，），不存在一个长度为1的区间t，t+使得f（x）2恒成立，故A错误，由图象可知0f（x）2的解集为（，）（，+），存在一个长度为1的区间t，t+使得0f（x）2在t，t+上恒成立，故B正确；由图象可知f（x）在（，）和（，+）上为单调函数，存在某个区间t，t（，）（
15、，+），使得f（x）在此区间上存在反函数，故C，D正确；故选A20（3分）已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，则的取值范围为（）A（1，+）B（1，1C（，1）D1，1）【解答】解：作函数f（x）的图象如右，方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1x2x3x4，x1，x2关于x=1对称，即x1+x2=2，0x31x4，则|log2x3|=|log2x4|，即log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1x42；x31；故=2x3+，x31
16、；则函数y=2x3+，在x31上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为1即函数取值范围是（1，1故选：B三、解答题21若cos=，cos（+）=，（0，），+（，），则=【解答】解：，=cos（+）=，sin（+）=cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=+=，（0，）故答案为22已知sin，cos是方程4x24mx+2m1=0的两个根，求角【解答】解：，且m22m+10代入（sin+cos）2=1+2sincos，得，又，又，23扇形AOB的中心角为2，（0，），半径为r，在扇形AOB中作内切圆O1与圆O1外切，与OA，OB相切的圆O2，问si
17、n为何值时，圆O2的面积最大？最大值是多少？【解答】设圆O1及与圆O2的半径分别为r1，r2，则，得：，022，0，令t=1+sin，（1t2）那么：=，当，即sin=时，圆O2的半径最大，圆O2的面积最大，最大值是24设函数f（x）=kaxax（a0且a1）是奇函数（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2xa2x2mf（x）在区间1，+）上的最小值为2，求实数m的值【解答】（1）解法一：函数f（x）=kaxax的定义域为R，f（x）是奇函数，所以f（0）=k1=0，即有k=1 当k=1时，f（x）=axax，f（x）=axax=f（x），则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；解法二
18、：函数f（x）=kaxax的定义域为R，由题意，对任意xR，f（x）=f（x），即kaxax=axkax，（k1）（ax+ax）=0，因为ax+ax0，所以，k=1 （2）由，得，解得a=3或（舍） 所以g（x）=32x32x2m（3x3x），令t=3x3x，则t是关于x的增函数，g（x）=h（t）=t22mt+2=（tm）2+2m2，当时，则当时，解得； 当时，则当t=m时，m=2（舍去）综上，25若函数f（x）的定义域为R，满足对任意x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”若函数g（x）定义域为R，恒大于0，且对任意x1，x2R，恒有lgf（x1+
19、x2）lgf（x1）+lgf（x2），则称g（x）为“对数V形函数”（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否是“V形函数”并说明理由；（2）当时g（x）=5x+2判断g（x）是否是“对数V形函数”，并说明理由；（3）若函数f（x）是“V形函数”，且满足对任意xR都有f（x）2，问f（x）是否是“对数V形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由【解答】解：（1）令x1=x2=1，则f（x1+x2）=f（2）=4，f（x1）=f（x2）=1，f（x1+x2）f（x1）+f（x2），不符合“V形函数”定义f（x）=x2不是“V形函数”（2）lg（g（x1+x2）=lg（5+2）=lg（55+2），
20、lgg（x1）+lgg（x2）=lg（5+2）+lg（5+2）=lg（5+2）（5+2）=lg（55+2（5+5）+4），50，50，55+2（5+5）+455+2，lg（55+2）lg（55+2（5+5）+4），即lg（g（x1+x2）lgg（x1）+lgg（x2），g（x）=5x+2是“对数V形函数”（3）若f（x）是“V形函数”，且f（x）2，则对任意x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），lgf（x1+x2）lgf（x1）+f（x2），f（x）2，f（x1）+f（x2）f（x1）f（x2），lgf（x1）+f（x2）lgf（x1）f（x2）=lg（f（x1）+lgf（x2），lgf（x1+x2）lgf（x1）+lgf（x2），g（x）为“对数V形函数”国产考试小能手