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1、2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期末数学试卷一.填空题1（3分）无限循环小数化成最简分数为 2（3分）函数y=2arccos的定义域是 3（3分）若an是等比数列，a1=8，a4=1，则a2+a4+a6+a8= 4（3分）函数f（x）=tanx+cotx的最小正周期为 5（3分）已知a，bR且，则a2+b2= 6（3分）用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1）”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是 7（3分）在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=2，A=120，SABC= 8（3分）函数f（x）=arcsin（co
2、sx），的值域为 9（3分）数列an满足，nN*，则an= 10（3分）设x表示不超过x的最大整数，则sin1+sin2+sin3+sin10= 11（3分）已知25sin2+sin24=0，在第二象限内，则的值为 12（3分）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 13（3分）数列an满足：an=，kN*，an的前n项和记为Sn，若，则实数q的取值范围是 14（3分）已知数列an满足：a1=m（m为正整数），若a6=1，则a
3、5= ，m所有可能取值的集合为 二.选择题15（3分）设a、b、c是三个实数，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件16（3分）若函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）局部图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式为（）ABCD17（3分）若数列an对任意n2（nN）满足（anan12）（an2an1）=0，下面给出关于数列an的四个命题：an可以是等差数列；an可以是等比数列；an可以既是等差又是等比数列；an可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个18（3分）若数列a
4、n前12项的值各异，且an+12=an对任意的nN*都成立，则下列数列中可取遍an前12项值的数列为（）Aa3k+1Ba4k+1Ca5k+1Da6k+1三.解答题19已知函数f（x）=acos2xasin2x+2a+b（a0），值域为5，1，求常数a、b的值20在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资分别是
5、多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？21如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MNBC，点P在边AB上，设MOD=；（1）若=30，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值22在xOy平面上有一点列P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、Pn（an，bn）、，对每个正整数n，点Pn位于函数（0a6）的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶角顶点的
6、等腰三角形；（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（2）若对每个自然数n，以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设Bn=b1b2bn（nN*），若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列Bn的最大项的项数是多少？试说明理由23设递增数列an共有k项，定义集合Ak=x|x=ai+aj，1ijk，将集合Ak中的数按从小到大排列得到数列bn；（1）若数列an共有4项，分别为a1=1，a2=3，a3=4，a4=6，写出数列bn的各项的值；（2）设an是公比为2的等比数列，且0.5a12，若数列bn的所有项的和为4088，求a1和k的值；（3）若k=5，求证：an为等差
7、数列的充要条件是数列bn恰有7项2016-2017学年上海市交通大学附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（3分）无限循环小数化成最简分数为【解答】解：=0.036+0.00036+，可看作是以为首项，以为公比的所有项的和，则无限循环小数化成最简分数为故答案为：2（3分）函数y=2arccos的定义域是1，2【解答】解：函数y=2arccos有意义，可得11且x10，即为x2且x1，解得1x2，则函数的定义域为1，2故答案为：1，23（3分）若an是等比数列，a1=8，a4=1，则a2+a4+a6+a8=【解答】解：an是等比数列，a1=8，a4=1，=1，解得q=，a2+a
8、4+a6+a8=故答案为：4（3分）函数f（x）=tanx+cotx的最小正周期为【解答】解：函数f（x）=tanx+cotx=，因为y=sin2x的周期为：所以函数f（x）=tanx+cotx的最小正周期为：故答案为：5（3分）已知a，bR且，则a2+b2=17【解答】解：a，bR且，可得=3，可得，则a2+b2=1+16=17故答案为：176（3分）用数学归纳法证明“1+n（nN*，n1）”时，由n=k（k1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为 ，应增加的项数为2k故答案为2k7（3分）在
9、ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2，c=2，A=120，SABC=【解答】解：在ABC中，a=2，c=2，A=120，由正弦定理可得sinC=，C=30，或C=150（A=120，应舍去），sinB=sin（A+C）=sin150=SABC=故答案为：8（3分）函数f（x）=arcsin（cosx），的值域为【解答】解：x，cosx，f（x）=arcsin（cosx），故答案为：9（3分）数列an满足，nN*，则an=【解答】解：当n=1时，可得a1=7，即a1=14当n2时，nN*，两式相减可得，an=2n+1当n=1时，a1=14不适合上式故an=，故答案为：10
10、（3分）设x表示不超过x的最大整数，则sin1+sin2+sin3+sin10=4【解答】解：sin1+sin2+sin3+sin10=0+0+0111+0+0+01=4故答案为：411（3分）已知25sin2+sin24=0，在第二象限内，则的值为【解答】解：25sin2+sin24=0，（25sin24）（sin+1）=0，在第二象限内，sin=cos=.在第一或第三象限根据二倍角余弦公式可得=cos=，故答案为；12（3分）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长
11、成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是144【解答】解：由题意及图形知不妨构造这样一个数列an表示实心圆点的个数变化规律，令a1=1，a2=1，n3时，an=an1+an2，本数列中的n对应着图形中的第n+1行中实心圆点的个数由此知a11即所求：故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144；即第13项为144；故答案为：14413（3分）数列an满足：an=，kN*，an的前n项和记为Sn，若，则实数q的取值范围是（1，【解答】解：前n项和记为Sn，an=，kN*，则Sn=（a1+a3+a5+）+（a2+a4+a6+）=+=+1，由|q|1即1q
12、1，可得2q2+3q20，解得2q，则q的取值范围是（1，故答案为：（1，14（3分）已知数列an满足：a1=m（m为正整数），若a6=1，则a5=2，m所有可能取值的集合为4，5，32【解答】解：数列an满足：a1=m（m为正整数），a6=1，a5=2，a4=4，a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；a3=8，a2=16，此时，又有下面两种情况：1a1=5，即m=5；2a1=32，即m=32故答案为：2，4，5，32二.选择题15（3分）设a、b、c是三个实数，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【解答】解：若a、
13、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得：b2=ac；若b=0，a=2，c=0，满足b2=ac，但a、b、c显然不成等比数列，则“b2=ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件故选：B16（3分）若函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）局部图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式为（）ABCD【解答】解：T=，=2；又由图象可得：A=，可得：f（x）=sin（2x+），f（）=sin（2+）=，+=k+，kZ=k，（kZ），又|，当k=0时，可得：=，此时，可得：f（x）=sin（2x）故选：D17（3分）若数列an对任意n2（nN）满足（anan12）（an2an1）=0，下
14、面给出关于数列an的四个命题：an可以是等差数列；an可以是等比数列；an可以既是等差又是等比数列；an可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：数列an对任意n2（nN）满足（anan12）（an2an1）=0，anan1=2，或an=2an1，an可以是公差为2的等差数列，正确；an可以是公比为2的等比数列，正确；若an既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由得，错误；an可以既不是等差又不是等比数列，错误；故选：B18（3分）若数列an前12项的值各异，且an+12=an对任意的nN*都成立，则下列数列中可取遍an前12项值
15、的数列为（）Aa3k+1Ba4k+1Ca5k+1Da6k+1【解答】解：对于数列an前12项的值各异，且an+12=an对任意的nN*都成立，可知：数列an为周期数列周期为12，并且数列an前12项的值各异对于数列a5k+1，对于k=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11时，5k+1分别为：1，6，11，12+4，12+9，122+2，122+7，122+12，123+5，123+10，124+3，124+8经过验证：而其他A，B，D不满足要求故选：C三.解答题19已知函数f（x）=acos2xasin2x+2a+b（a0），值域为5，1，求常数a、b的值【解答】解：f（x）=ac
16、os2xasin2x+2a+b（a0），=2asin（2x+）+2a+b，由于：，则：，得到：所以：当a0时，3a+b2asin（2x+）+2a+bb，由于函数的值域为5，1，所以：，解得：a=2，b=5，同理：当a0时，解得：a=2，b=1，故：a=2，b=5或a=2，b=1，20在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他
17、在第n年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？【解答】解：（1）设该人在A或B公司连续工作n年，第n年的月收入分别为an，bn，A公司允诺第一年月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元，B公司允诺第一年月工资为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，an=8000+500（n1）=500n+7500，bn=8000（1+5%）n1=80001.05n1（2）设该人在A或B公司连续工作10年，工资总收入S，T，则S=（800010+）12=1230000（
18、元），T=1205769（元）ST，选择A公司21如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MNBC，点P在边AB上，设MOD=；（1）若=30，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值【解答】解：（1）当MOD=30时，MN=OMsin+AB=，P到MN的距离为OA+OMcos=1+PMN的面积为=（2）MN=1+sin，P到直线MN的距离为（1+cos），PMN的面积S=（1+sin+cos+sincos）（0），设sin+cos=t，则sincos=，S=（1+
19、t+）=+=（t+1）2，t=sin（），0，1t，当t=时，S取得最大值22在xOy平面上有一点列P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、Pn（an，bn）、，对每个正整数n，点Pn位于函数（0a6）的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶角顶点的等腰三角形；（1）求点Pn的纵坐标bn的表达式；（2）若对每个自然数n，以bn、bn+1、bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设Bn=b1b2bn（nN*），若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列Bn的最大项的项数是多少？试说明理由【解答】解：（1）由题意，点Pn，点（n，0）与点（n+1，0）构
20、成一个以Pn为顶点的等腰三角形，点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，an=n+，bn=1000（）m+0.5（4分）（2）函数（0a6）递减，对每个自然数n，有bnbn+1bn+2，则以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2bn+1bn，即（）2+（）10（7分）解得a33，或a3+3，综上：33a6（10分）（3）33a6，a取（2）中确定的范围内的最小整数，a=4，bn=1000（），（12分）数列bn是一个递减的正数数列，对每个自然数n2，Bn=bnBn1，于是当bn1时，BnBn1，当bn1时，BnBn1，因此，数列Bn的最大
21、项的项数n满足不等式bn1且bn+11由bn=1000（）1，b161，b171，B16 最大（16分）23设递增数列an共有k项，定义集合Ak=x|x=ai+aj，1ijk，将集合Ak中的数按从小到大排列得到数列bn；（1）若数列an共有4项，分别为a1=1，a2=3，a3=4，a4=6，写出数列bn的各项的值；（2）设an是公比为2的等比数列，且0.5a12，若数列bn的所有项的和为4088，求a1和k的值；（3）若k=5，求证：an为等差数列的充要条件是数列bn恰有7项【解答】解：（1）集合Ak=x|x=ai+aj，1ijk，将集合Ak中的数按从小到大排列得到数列bn；若数列an共有4项
22、，分别为a1=1，a2=3，a3=4，a4=6，则b1=a1+a2=4，b2=a1+a3=5，b3=a1+a4=a2+a3=7，b4=a2+a4=9，b5=a3+a4=10（2）若an是公比为2的等比数列，则数列bn的所有项的和即an中的每一项重复加了k1次，即4088=（k1）（2k1）a1，故a1为2的整数次幂，0.5a12，a1=1，（2k1）（k1）=4088，k=9，证明：（3）若k=5，an为等差数列，则d0则数列bn也是公差为d的等差数列，最小值为a1+a2=2a1+d最大值为a4+a5=2a1+7d，故数列bn恰有7项若数列bn恰有7项则由a1+a2a1+a3a2+a3a2+a4a3+a4a3+a5a4+a5得：bn的7项分别为：a1+a2，a1+a3，a2+a3，a2+a4，a3+a4，a3+a5，a4+a5；则由a1+a3a1+a4a3+a4得：a1+a4=a2+a3，即a4a3=a2a1，同理a5a4=a3a2，a3a2=a2a1，即an为等差数列综上可得：an为等差数列的充要条件是数列bn恰有7项国产考试小能手