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1、线性代数线性代数关于行列式的展开第1页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数1.3 1.3 行列式的展开与计算行列式的展开与计算一般来讲,高阶行列式计算麻烦,而低阶行列式计算起来简单.这一节介绍把高阶行列式转化为低阶行列式的方法.1.3.2 拉普拉斯(Laplace)定理 1.3.1 行列式按一行（或一列）展开第2页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数1.3.1 行列式按一行（或一列）展开定义1.3.1 在n阶行列式 D=|aij|n中，划掉元素 aij所在的第 i行和第 j列后,留下的元素按照原来的顺序组成的 n-1阶行列式称为元素 aij的余子式,记为 Mij.称 为元素 a
2、ij的代数余子式.第3页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数定理1.3.1 n阶行列式 D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 或定理1.3.1 表明:行列式可以按它的任一行（列）展开，这样就可把一个行列式用较低阶的行列式表示出来.第5页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数(1)首先讨论行列式D的第一行中除 a110外,其余元素均为零的情形，即按行列式的定义证 定理分三步证明.第6页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数第7页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数(2)其次讨论行列式D中第 i行元素除 aij 0外，其余元素均
3、为零的情形 即第8页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数先将D的第 i行依次与第 i-1,2,1各行作 i-1次相邻对换调到第一行,再将第 j列依次与j-1,2,1各列作 j-1次相邻对换调到第一列,这样对 D共进行了 i+j-2次对换,由行列式的性质3及情形（1），第9页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数(3)一般情形，把D写为 由行列式的性质4及情形(2),第10页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数第11页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数定理1.3.2 n阶行列式D=|aij|n中某一行(列)的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于
4、0.即 第12页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数证 =两边行列式都按第i行展开,得 第13页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数移项化简,得同理可证另一式.证毕.把定理1.3.1与1.3.2结合起来，得到两个重要公式：第14页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数上面定理提供的降阶法：通常要计算多个降阶行列式,计算量仍然比较大。在应用这个方法时,通常先利用行列式的性质,使行列式中某行(或列)的元素尽可能多的化为零,然后再利用降阶法。第15页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数例1.3.1 1.3.1 计算行列式计算行列式第16页，讲稿共34张，创作于星期三线性
5、代数线性代数例例1.3.2 1.3.2 计算n+1阶行列式,其中 第17页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数例例1.3.3 1.3.3 计算n阶行列式 解解 按第1列展开 第18页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数第19页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数由于对于n2,Dn=xDn-1+an都成立,从而 因为D1=a1+x,于是 第20页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数在上例中，我们把行列式的计算化为形式相同而阶数较低的行列式的计算,这种方法称为递推法,关系式Dn=xDn-1+an称为行列式的递推公式.下面我们介绍另外一种行列式的计算方法数学归纳法.第
6、21页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数证明：对Vn的阶数 n作数学归纳法.当n=2时,例1.3.4 证明 n阶范德蒙(Vandermonde)行列式 结论成立。第22页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，考虑 n阶范德蒙行列式.从第 n行起,每行减去前一行的 a1倍,得到 按第一列展开后,将每一列的公因子 提出来,得到第23页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数上式右端是一个n-1阶范德蒙行列式,由归纳假设得因此，对 n阶范德蒙行列式结论成立。第24页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数1.3.2 拉普拉斯(Laplace
7、)定理 推广：行列式按若干行（或若干列）展开的计算方法。第25页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数定义1.3.2 在n阶行列式D中,任取k行、k列(1k n-1)，由这些行和列交叉处的元素按原相对位置所构成的k阶行列式N，称为D的一个k阶子式.在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的nk阶行列式M,称为N的余子式.若N所在的行序数为i1,i2,ik,所在的列序数为 j1,j2,jk,则称 为N的代数余子式.第26页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数例如，在4阶行列式中选取第1，4行，第2，3列，得到一个2阶子式 第27页，讲稿共34张，创作于
8、星期三线性代数线性代数N的余子式为N的代数余子式为 第28页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数定理1.3.3(拉普拉斯(Laplace)定理)在 n 阶行列式 D 中任意选取k行（列）(1 k n-1),则由这 k个 行（列）中的一切 k 阶子式 N1,N2,Nt与它们所对应的代数余子式 A1,A2,At乘积之和等于D，即 定理的证明从略,有兴趣的同学可参考文献1：北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，高等数学，2版，北京：高等教育出版社，1988.第29页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数例1.3.5 计算五阶行列式第30页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数例1.3.6 计算2n阶行列式 解：由于D的左下角的 n2个元素全为零,故可选取 D的前 n列展开.由这 n列构成的所有 n阶子式中,只有左上角的一个可能不为零,于是由拉普拉斯定理,第31页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数第32页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数作业Page 7 习题1.3：1.（1）、（2）、（5）；2.（2）；3.第33页，讲稿共34张，创作于星期三线性代数线性代数感感谢谢大大家家观观看看第34页，讲稿共34张，创作于星期三