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1、关于行列式按行列展开 第1页，讲稿共35张，创作于星期三三阶行列式：三阶行列式：（一）按某一行（列）展开余子式余子式三阶降成了二阶！三阶降成了二阶！则则代数余子式代数余子式第2页，讲稿共35张，创作于星期三余子式余子式讨论讨论 n 阶行列式阶行列式：n-1阶行列式阶行列式Aij=(-1)i+j Mijaij 的的 代数余子式代数余子式 第3页，讲稿共35张，创作于星期三定理定理1.41.4 (P.22)(P.22)按行展开按行展开按列展开按列展开即：即：D 等于第等于第 i 行（行（列列）元素）元素与与对应的代数余子式乘积的和。对应的代数余子式乘积的和。第4页，讲稿共35张，创作于星期三证证（
2、下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）“1”不与其余数构成逆序不与其余数构成逆序第5页，讲稿共35张，创作于星期三第6页，讲稿共35张，创作于星期三(3)四阶行列式按第三行展开的结果四阶行列式按第三行展开的结果n阶行列式按第阶行列式按第i行展开：行展开：第7页，讲稿共35张，创作于星期三P.25例例2 计算行列式计算行列式解解 按第三列展开按第三列展开其中：其中：展开原则：展开原则：选选 0 元素最多的行（元素最多的行（列列）展开。）展开。第8页，讲稿共35张，创作于星期三所以所以注注：对于三阶行列式，也可展成二阶，零元素多时可直接计
3、算；对于三阶行列式，也可展成二阶，零元素多时可直接计算；用展开定理之前，可先用性质将某行（列用展开定理之前，可先用性质将某行（列)化成只含一个非零元。化成只含一个非零元。第9页，讲稿共35张，创作于星期三解解2按按第二行第二行展开展开按按第一列第一列展开展开第10页，讲稿共35张，创作于星期三P.26(28)例例3 当当k为何值时为何值时解解第11页，讲稿共35张，创作于星期三P.27例例4 求证求证第12页，讲稿共35张，创作于星期三证证按第按第1列展开列展开第13页，讲稿共35张，创作于星期三n-1阶阶第14页，讲稿共35张，创作于星期三例例5(P28)证明范德蒙证明范德蒙(Vanderm
4、onde)行列式行列式第15页，讲稿共35张，创作于星期三证明证明(数学归纳法数学归纳法)，结论成立。，结论成立。按第按第1列展开列展开第16页，讲稿共35张，创作于星期三根据归纳假设有：根据归纳假设有：综上所述，结论成立综上所述，结论成立 。第17页，讲稿共35张，创作于星期三例例6(P29)计算行列式计算行列式12张解解 V是是 的范德蒙行列式，的范德蒙行列式，故故第18页，讲稿共35张，创作于星期三即即：第第 i 行元素与另一行元素的代数余子式乘积的和等于零。行元素与另一行元素的代数余子式乘积的和等于零。定理定理1.51.5 （P.23)P.23)证证0=i 行s 行2和和10对应的代数
5、余子对应的代数余子式相同：式相同：第19页，讲稿共35张，创作于星期三综合定理综合定理1.4，定理，定理1.5对于对于行行：对于对于列列：第20页，讲稿共35张，创作于星期三例例解法一：解法一：解法二：解法二：第21页，讲稿共35张，创作于星期三称称S为为D的一个的一个2阶阶子式子式*（二）按某 k 行（列）展开(Laplace展开）P.29 子式及其余子式子式及其余子式 取第取第1、2行与第行与第1、4列交点位置的元素构成一个二阶行列式：列交点位置的元素构成一个二阶行列式：称称M为为S在在D中的中的余子式余子式为为S在在D中的中的代数余子式代数余子式S 的的行标行标之和之和S 的的列标列标之
6、和之和第22页，讲稿共35张，创作于星期三 定义定义(P.29)在在n阶行列式阶行列式D中，任取中，任取k行、行、k列的交点上的列的交点上的k2个个设设S的各行位于的各行位于D中第中第 行行S的各列位于的各列位于D中第中第 列列 ，那，那么称么称 为为S的的代数余子式代数余子式。元素按原来的相对位置组成的元素按原来的相对位置组成的k阶行列式阶行列式 S，称为，称为D的一个的一个k阶阶子式子式。在。在D中划去中划去S所在的所在的k行与行与k列，余下的元素按原来的相对列，余下的元素按原来的相对 位置组成的位置组成的n-k阶行列式阶行列式M，称为，称为S的一个的一个余子式余子式。第23页，讲稿共35
7、张，创作于星期三 定理定理1.6(Laplace)若在行列式若在行列式D中任意中任意取定取定k个行个行 ，则由这，则由这k个行组成的所有个行组成的所有k阶子式与它们阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于的代数余子式的乘积之和等于D。当当k=1时，此定理即时，此定理即按行展开，按行展开，t=n。此定理可实现大幅度降阶的目标。此定理可实现大幅度降阶的目标。设设D的某的某k行组成的所有行组成的所有k阶子式分别为阶子式分别为它们相应的代数余子式分别为它们相应的代数余子式分别为 则则第24页，讲稿共35张，创作于星期三例例7 (P.29)用拉普拉斯定理求行列式的值：用拉普拉斯定理求行列式的值：解解按第一
8、、第二行展开按第一、第二行展开(含含0多），这时任何两列交叉点多），这时任何两列交叉点上的元素可构成二阶子式，共有上的元素可构成二阶子式，共有则则1,4列；列；2,4列；列；3,4列对应的列对应的Si=0.1,2列列1,3列列 2,3列列第25页，讲稿共35张，创作于星期三练习练习1,2列列按按1,2行展开行展开显然，按显然，按Laplace展开计算并没有减少，但特殊情况却有很多优势。展开计算并没有减少，但特殊情况却有很多优势。展开的展开的原则：原则：值为零的子式越多越好值为零的子式越多越好。第26页，讲稿共35张，创作于星期三例例证证：取前：取前k行展开即得。行展开即得。第27页，讲稿共35
9、张，创作于星期三推广：推广：(其中其中Ak为方阵为方阵)特别：特别：(其中其中Ak为方阵为方阵)注：注：对右上三角形的也成立对右上三角形的也成立第28页，讲稿共35张，创作于星期三P.26例例3续续 当当k为何值时为何值时解解第29页，讲稿共35张，创作于星期三练习：练习：注意注意：对角线上一定是方阵，：对角线上一定是方阵，非对角线上可以是长方形的非对角线上可以是长方形的降成了二阶和三阶行列式降成了二阶和三阶行列式第30页，讲稿共35张，创作于星期三接克莱姆法则接克莱姆法则第31页，讲稿共35张，创作于星期三练习：练习：（P.36第第12题（题（4）用前面的结果解）用前面的结果解）或或原式原式第32页，讲稿共35张，创作于星期三练习练习 计算计算解解原则：原则：选选 0 元素最多的行元素最多的行（列列）展开，或先化简再）展开，或先化简再展开。展开。由展开定理由展开定理第33页，讲稿共35张，创作于星期三解法二解法二此法最简单！只算一个二阶行列式。此法最简单！只算一个二阶行列式。第34页，讲稿共35张，创作于星期三感感谢谢大大家家观观看看第35页，讲稿共35张，创作于星期三