《6最值系列之费马点（教师版）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《6最值系列之费马点（教师版）.doc（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、最值系列之费马点皮耶德费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年果然，数学搞得好的都是装x的一把好手言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点问题：在ABC内找一点P
2、，使得PA+PB+PC最小【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等阿哈哈哈，此处一个也用不上！其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！算了算了，不墨迹了，直接报答案了：若点P满足PAB=BPC=CPA=120，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点接下来讨论3个问题：（1）如何作三角形的费马点？（2）为什么是这个点？（3）费马点怎么考？一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以A
3、BC中的AB、AC为边，作等边ABD、等边ACE（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：ADCABE（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边BCF，连接AF，必过点P，有PAB=BPC=CPA=120在图三的模型里有结论：（1）BPD=60；（2）连接AP，AP平分DPE有这两个结论便足以说明PAB=BPC=CPA=120原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是BACBE还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台
4、！三、费马点怎么考？直接考，要不然还能怎么考？看看今年2019武汉中考填空最后一题：问题背景：如图1，将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE问题解决：如图2，在MNG中，MN=6，M=75，MG=，点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是_【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为边作等边MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到MNG三个顶点的距离和的最小值（此处不再证明）过点H作HQNM交NM延长线于Q点，根据NMG=75，GMH=60，
5、可得HMQ=45，MHQ是等腰直角三角形，MQ=HQ=4，NH=【练习】如图，在ABC中，ACB=90，AB=AC=1，P是ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值【分析】如图，以AD为边构造等边ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值至于点P的位置？这不重要！如何求BD？考虑到ABC和ACD都是特殊的三角形，过点D作DHBA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果【练习】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为_【分析】依然构造60旋转，将三条折线段转化为一条直线段分别以AD、AM为边构造等边ADF、等边AMG，连接FG，易证AMDAGF，MD=GFME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FHBC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值6