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1、几何最值之费马点巩固练习(提优)1.如图，P是锐角ABC所在平面上一点，如果APBBPCCPA120，则点P就叫做ABC费马点。(1)当ABC是边长为4的等边三角形时，费马点P到BC边的距离为 ；(2)若点P是ABC的费马点，ABC60，PA2，PC3，则PB的值为 ；(3)如图2，在锐角BC外侧作等边ACB，连接BB.求证：BB过ABC的费马点P.【解答】(1)；(2)；(3)见解析【解析】(1)延长AP，交BC于D，如图所示：ABACBC，APBBPCCPA120，P为三角形的内心，ADBC，BDCD2，PBD30，；(2)PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC
2、，又APBBPC120，ABPBCP，即；(3)证明：在BB上取点P，使BPC120，连接AP，再在PB上截取PEPC，连接CE，如图所示：BPC120，EPC60，PCE为正三角形PCCE，PCE60，CEB120ACB为正三角形，ACBC，ACB60，PCAACEACEECB60，PCAECB，ACPBCE，APCBEC120，PAEB，APBAPCBPC120，P为ABC的费马点，BB过ABC的费马点P.2.如图1，P为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120，则点P叫做ABC的费马点：(1)若点P是等边三角形三条中线的交点，点P (填是或不是)该三角形的费马点；(2)如果点P为
3、锐角ABC的费马点，且ABC60，求证：ABPBCP；(3)已知锐角ABC，分别以AB、AC为边向外作正ABE和正ACD，CE和BD相交于P点，如图2，求CPD的度数；求证：P点为ABC的费马点.【解答】(1)是；(2)见解析；(3)CPD60，见解析【解析】(1)延长AP与BC交于点N，延长BP交AC于点M，如图所示：ABBC，BM是AC的中线，MB平分ABC，同理：AN平分BAC，PC平分BCA，ABC为等边三角形，ABP30，BAP30APB120同理：APC120，BPC120，P是ABC的费马点；(2)PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC
4、120，ABPBCP；(3)如图所示，ABE与ACD都为等边三角形，BAECAD60，AEAB，ACAD，BAEBACCADBAC，即EACBAD，在ACE与ABD中，ACEABD(SAS)，12，34，CPD6560；证明：ADFCFP，AFPFDFCF，AFPCFD，AFPCDFAPFACD60，APCCPDAPF120，BPC120，APB360BPCAPC120，P点为ABC的费马点.3.如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为，延长AC到点D， 使CD，过点D作DEAB交BC的延长线于点E.(1)求D点的坐标； (2)作C点关于直线DE的对称点F，分别连结DF、EF，若过
5、B点的直线将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； (3)设G为y轴上一点，点P从直线与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短【解答】(1)；(2)；(3)【解析】(1)，设DE与轴交于点M，由DEAB可得DMCAOC，又，同理可得EM3，；(2)由(1)可得，由DEAB，EMMD可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线，点C关于直线DE的对称点F在y轴上，ED与CF互相垂直平分，CDDFFEEC，四边形CDFE是菱形，且点M为对称中心，作直线BM
6、，设BM与CD、EF分别交于点S、T，如图所示：易证FTMCSM，FTCS，FECD，TESD，ECDF，TEECCSSTSDDFFTTS，直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，由点B(6，0)，点在直线上，直线BM的解析式为；(3)设点P在直线AG上的运动速度为，点P在y轴上的运动速度为2，则点P到达点A的时间为，过点G作GHBM于点H，如图所示：易证MGHMBO，则，.要使t最小，则GHGA最小，即当点G、A、H三点一线时，t有最小值，确定G点位置的方法：过A点作AHBM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点，由OB6，可得OBM60，BAH30，在RtOAG中，G点的坐标为(
7、或G点的位置为线段OM的靠近O点的三等分点).4.如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到，连接EN.(1)求证：AMBENB；(2)若AMBMCM的值最小，则称点M为ABC的费马点。若点M为ABC的费马点，试求此时AMB、BMC、CMA的度数.【解答】(1)见解析；(2)AMB、BMC、CMA都等于120【解析】(1)证明：ABE为等边三角形，ABBE，ABE60，而MBN60，ABMEBN，在AMB与ENB中，MBENB(SAS)(2)连接MN，如图所示：由(1)知，AMEN，MBN60，BMBN，BM
8、N为等边三角形，BMMN，AMBMCMENMNCM，当E、N、M、C四点共线时，AMBMCM的值最小，此时，BMC180NMB120，AMBENB180BNM120，AMC360BMCAMB120.5.已知锐角ABC，ACB60，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出ABC的费马点，并探究SABC与SABD的和，SBCE与SACF的和是否相等.【解答】SABCSABDSBCESACF【解析】证明：过点A作AMFC交BC于点M，连接DM、EM，如图所示：ACB60，CAF60，ACBCAF，AFMC，四边形AMCF是平行四边形，又FAFC，四边形AMCF是菱形，ACCMA
9、M，且MAC60，在BAC与EMC中，CACM，ACBMCE，CBCE，BACEMC，DAMDABBAM60BAM，BACMACBAM60BAM，BACDAM，在ABC和ADM中，ABAD，BACDAM，ACAM，ABCADM(SAS)，故ABCMECADM，在B上截取CM，使CMCA，再连接AM、DM、EM(辅助线这样做AMC就是等边三角形了，后边证明更简便)，易证AMC为等边三角形，在ABC与MEC中，CACM，ACBMCE，CBCE，ABCMEC(SAS)，ABME，BCMEC，又DBAB，DBME，DBCDBAABC60ABC，BMEBCEMEC60MEC，DBCBME，DBME，即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，四边形DBEM是平行四边形，SBDMSDAMSMACSBEMSEMCSACF，即SABCSABDSBCESACF.