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1、几何最值之费马点巩固练习(基础)1.已知点P是ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫ABC的费马点。已经证明：在三个内角均小于120的ABC中，当APBAPCBPC120时，P就是ABC的费马点。若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PDPEPF .【解答】【解析】如图，在等腰RtDEF中，过点D作DMEF于点M，过E、f分别作MEPMFP30，则EMDM1，解得，则，.2.如图，点P为锐角ABC的费马点，且PA3，PC4，ABC60，则费马距离为 .【解答】【解析】如图所示，APBBPCCPA120，ABC60，1360，1260，2460，14，23，BPCA
2、PB，即，.3.已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求此正方形的边长【解答】2【解析】如图，连接AC，把AEC绕着点C顺时针旋转60得到GFC，连接EF、BG、AG，易证EFG、AGC都是等边三角形，则EFCE，又FGAE，AEBECEBEEFFG，如下图所示：点B、G为定点，线段BG即为点E到A、B、C三点距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上，设正方形的边长为，则，点E到A、B、C三点的距离之和的最小值是，解得.4.若点P 为ABC所在平面上一点，且APBBPCCPA120， 则点P叫做ABC的费马点(1) 若P为锐角ABC的费马点，且ABC60，PA3，
3、PC4， 则PB的值为 ；(2)如图，在锐角ABC的外侧作等边ACB，连结BB求证：BB 过ABC的费马点P，且BBPAPBPC【解答】(1)；(2)见解析【解析】(1)PABPBA180APB60，PBCPBAABC60，PABPBC，又APBBPC120，ABP BCP，；(2)设点P为锐角ABC的费马点，即APBBPCCPA120如图，把ACP绕点C顺时针旋转60到BCE，连结PE，则EPC为正三角形 BEC APC 120，PEC60 BECPEC180 即 P、E、B 三点在同一直线上，BPC120， CPE60 ，BPC CPE 180，即 B、P、E 三点在同一直线上 B、P、E
4、、B 四点在同一直线上，即BB 过ABC的费马点P又PEPC，BE PA， BBE BPBPEPAPBPC5.如图，向ABC外作等边三角形ABD，AEC.连接BE，DC相交于点P，连接AP.(1)证明：点P就是ABC费马点；(2)证明：PAPBPCBEDC；【解答】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)作AMCD于M，ANBE于N，设AB交CD于O，如图所示：ADB，ACE都是等边三角形，ADAB，ACAE，DABCAE60，DABBAE，ADCABE(SAS)，CDBE，SDACSABE，ADCABE，AMCD，ANBE，AMAN，APMAPN，AODPOB，OPBDAO60，APNAPM
5、60，APCBPCAPC120，点P是就是ABC费马点；(2)在线段PD上取一点T，使得PAPT，连接AT，如图所示：APT60，PTPA，APT是等边三角形，PAT60，ATAP，DABTAP60，DATBAP，ADAB，DATBAP(SAS)，PBDT，PDDTPTPAPB，. PAPBPCPDPCCDBE.6.如图，在MNG中，点O是MNG内一点，则点O到MNG三个顶点的距离和最小值是 .【解答】【解析】以MG为边作等边三角形MGD，以OM为边作等边OME，连接ND，作DFNM，交M的延长线于F，如图所示：MGD和OME是等边三角形OEOMME，DMGOME60，MGMD，GMODME，在GMO和DME中，GMODME(SAS)，OGDE，NOGOMODEOENO，当D、E、O、M四点共线时，NOGOMO值最小，NMG75，GMD60，NMD135，DMF45，MG3，NOGOMO的最小值是.