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1、第1章插值第1页，共64页，编辑于2022年，星期日定义：为定义在区间 上的函数，为区间上n+1个互不 相同的点，为给定的某一函数类。求 上的函数 满足问题l是否存在唯一l如何构造l误差估计第2页，共64页，编辑于2022年，星期日设则所以 有解，当且仅当系数行列式不为系数行列式不为0第3页，共64页，编辑于2022年，星期日存在唯一定理定理1.1：为n1个节点，n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当第4页，共64页，编辑于2022年，星期日1.与基函数无关2.与原函数f(x)无关3.基函数个数与点个数相同特点：特点：第5页，共64页，编辑于2022年，星期日对应于对应于则则Vanderm
2、onde行列式第6页，共64页，编辑于2022年，星期日多项式插值的Lagrange型l如何找？在基函数上下功夫，取基函数为要求则第7页，共64页，编辑于2022年，星期日求，易知：记第8页，共64页，编辑于2022年，星期日l线性插值第9页，共64页，编辑于2022年，星期日l二次插值第10页，共64页，编辑于2022年，星期日例：第11页，共64页，编辑于2022年，星期日算法：fx=0.0for(i=0;i=n;i+)tmp=1.0;for(j=0;ji;j+)tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj);for(j=i+1;j=n;j+)tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj);f
3、x=fx+tmp*yi;return fx;第12页，共64页，编辑于2022年，星期日Lab02 Lagrange插值对函数构造插值，并求插值节点取为：(1)(2)对N=5，10，20，40比较以上两组节点的结果。Chebyshev点第13页，共64页，编辑于2022年，星期日误差解：求设易知第14页，共64页，编辑于2022年，星期日有n+2个零点由a的任意性第15页，共64页，编辑于2022年，星期日例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。第16页，共64页，编辑于2022年，星期日解：
4、解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 =0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614外推外推/*extrapolation*/的实际误差的实际误差 0.010010.01001利用利用sin 50 0.76008,内插内插/*interpolation*/的实际误差的实际误差 0.005960.00596内插通常优于外推。选择要内插通常优于外推。选择要计算的计算的 x 所在的区间的端点，所在的区间的端点，插值效果较好。插值效果较好。第17页，共64页，编辑于2022年，星期日n=2)185(50sin20 p
5、 pL0.76543sin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061高次插值通常优于低高次插值通常优于低次插值次插值第18页，共64页，编辑于2022年，星期日事后误差估计给定任取n+1个构造如：另取则第19页，共64页，编辑于2022年，星期日近似则第20页，共64页，编辑于2022年，星期日lLagrange 插值的缺点无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算第21页，共64页，编辑于2022年，星期日为实数Newton型多项式插值且同样承袭性承袭性：第22页，共64页，编辑于2022年，星期日而且有：第23页，共64页，编辑于20
6、22年，星期日这样：第24页，共64页，编辑于2022年，星期日称为k阶差商称为1阶差商定义：差商差商第25页，共64页，编辑于2022年，星期日差商的一个性质差商的一个性质：（用归纳法易证）对称性：定义关键：找不同的元素相减作分母第26页，共64页，编辑于2022年，星期日由归纳：第27页，共64页，编辑于2022年，星期日Newton插值构造1、先构造差商表第28页，共64页，编辑于2022年，星期日l例子2点Newton型插值2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式第29页，共64页，编辑于2022年，星期日差商表求值算法：for(i=1;i=i;j-)yj=(yj-yj-1)/(xj-
7、xj-i);fx=yn;for(i=n;i=1;i-)fx=yi-1+(x-xi-1)yi-1;第30页，共64页，编辑于2022年，星期日问题：如果要做到增加一个点，而尽可能减少重复计算，要如何改进前面的算法？第31页，共64页，编辑于2022年，星期日l一些性质性质2第32页，共64页，编辑于2022年，星期日误差性质3第33页，共64页，编辑于2022年，星期日差商性质总结第34页，共64页，编辑于2022年，星期日证明作为作业第35页，共64页，编辑于2022年，星期日Home WorkP40 3(1),4,6第36页，共64页，编辑于2022年，星期日有关上机作业l提交计算机作业的f
8、tp是210.45.66.200，l可以直接在“我的电脑”里输入ftp:/210.45.66.200登录，l也可以用flashfxp等客户端软件登录，登录不需要输入用户名密码，匿名登录即可。lftp的权限只能提交作业，而不能下载或删除作业，l如果他们发现自己提交的作业有问题，直接重新提交一份即可。第37页，共64页，编辑于2022年，星期日有关上机作业2l为了避免病毒起见，ftp我设置只能提交.rar,.zip,.7z三种压缩包格式，其余的文档类型不能提交，所以他们每个人的作业必须打包压缩后才能提交。l每个人作业的文件名最好包含姓名和学号。第38页，共64页，编辑于2022年，星期日有关上机作
9、业3l我在ftp里设置了“第一次作业”、“第二次作业”等目录，每次作业放在相应的文件夹内。l最好让所有同学不论是否是否已通过邮件发送前两次作业，都往ftp提交作业，邮件每天太多，比较容易漏看，ftp则一目了然，比较清楚。第39页，共64页，编辑于2022年，星期日1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为Hermite插值。称为二重密切Hermite插值第40页，共64页，编辑于2022年，星期日例：例：设设 x0 x1 x2,已知已知 f(x0)、f(x1)、f(x2)和和 f(x1),求多项式求多项式 P(x)
10、满足满足 P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且且 P(x1)=f(x1),并估计误差。并估计误差。模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数=3+=213)()()()()(=0iiixhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1,x2，且且 h0(x1)=0 x1 是重根。是重根。)()()(22100 xxxxCxh =又又:h0(x0)=1 C0 h2(x)与与h0(x)完全类似。完全类似。其中其中 hi(xj)=ij,hi(x1)=0,(xi)=0,(x1)=1 h1 h1第41页，共64页，编辑于2022年，星期日h1(x
11、)有根有根 x0,x2 )()()(201xxxxBAxxh +=由余下条件由余下条件 h1(x1)=1 和和 h1(x1)=0 可解。可解。(x)h1有根有根 x0,x1,x2 h1)()()(2101xxxxxxCx =h1又又:(x1)=1 C1 可解。可解。与与 Lagrange 分析完分析完全类似全类似第42页，共64页，编辑于2022年，星期日 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数，注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1l对二重密切Hermite插值第43页，共64页，编辑于2022年，星期日第44页，共64页，编辑于2022年，
12、星期日l 整个构造步骤如下：1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数2、假设一组基函数，列出插值多项式3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数称为构造基函数方法第45页，共64页，编辑于2022年，星期日误差分析类似Lagrange插值的分析方法第46页，共64页，编辑于2022年，星期日二重密切Hermite插值误差第47页，共64页，编辑于2022年，星期日例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大越大Ln(x)f(x)是否次数越高越好
13、呢？第48页，共64页，编辑于2022年，星期日分段低阶插值lRunge现象例：等距节点构造10次Lagrange插值多项式-0.900.047061.57872-0.700.07547-0.22620-0.500.137930.25376-0.300.307690.235351901年，Runge等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。第49页，共64页，编辑于2022年，星期日l分段线性插值每个小区间上，作线性插值(1)(2)在每个小区间上为一个不高于1次的多项式特性特性第50页，共64页，编辑于2022年，星期日l误差可以看出第51页，共64页，编辑于2022年，星期日收敛，可惜只一阶
14、精度，不够光滑。类似，可以作二重密切Hermite插值关键：分段、低阶插值第52页，共64页，编辑于2022年，星期日三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导数，称为三次样条函数插值。第53页，共64页，编辑于2022年，星期日每个小区间不高于3次，有4n个未知数，我们的已知条件如下：共3n-3+n+1=4n-2个条件第54页，共64页，编辑于2022年，星期日lm关系式需要附加2个条件，通常在边界处给出设所以，是3次二重Hermite插值，记第55页，共64页，编辑于2022
15、年，星期日第56页，共64页，编辑于2022年，星期日由第57页，共64页，编辑于2022年，星期日第58页，共64页，编辑于2022年，星期日两个边界条件有第59页，共64页，编辑于2022年，星期日l边值条件边值条件(1)固支边界条件(2)(3)周期边界条件第60页，共64页，编辑于2022年，星期日lM关系式设记三弯距法：3次多项式导2次后，为线性函数第61页，共64页，编辑于2022年，星期日积分2次由有第62页，共64页，编辑于2022年，星期日计算过程如下第63页，共64页，编辑于2022年，星期日Home Work1.推导三次样条函数插值在周期边界条件下的m和M关系式的边界条件2.P40:12,15第64页，共64页，编辑于2022年，星期日