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1、第1章插值现在学习的是第1页，共64页定义：为定义在区间 上的函数，为区间上n+1个互不 相同的点，为给定的某一函数类。求 上的函数 满足问题l是否存在唯一l如何构造l误差估计现在学习的是第2页，共64页设则所以 有解，当且仅当系数行列式不为系数行列式不为0现在学习的是第3页，共64页存在唯一定理定理1.1：为n1个节点，n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当现在学习的是第4页，共64页1.与基函数无关2.与原函数f(x)无关3.基函数个数与点个数相同特点：特点：现在学习的是第5页，共64页对应于对应于则则Vandermonde行列式现在学习的是第6页，共64页多项式插值的Lagrange
2、型l如何找？在基函数上下功夫，取基函数为要求则现在学习的是第7页，共64页求，易知：记现在学习的是第8页，共64页l线性插值现在学习的是第9页，共64页l二次插值现在学习的是第10页，共64页例：现在学习的是第11页，共64页算法：fx=0.0for(i=0;i=n;i+)tmp=1.0;for(j=0;ji;j+)tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj);for(j=i+1;j=n;j+)tmp=tmp*(x-xj)/(xi-xj);fx=fx+tmp*yi;return fx;现在学习的是第12页，共64页Lab02 Lagrange插值对函数构造插值，并求插值节点取为：(1)(2)对
3、N=5，10，20，40比较以上两组节点的结果。Chebyshev点现在学习的是第13页，共64页误差解：求设易知现在学习的是第14页，共64页有n+2个零点由a的任意性现在学习的是第15页，共64页例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。现在学习的是第16页，共64页解：解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 =0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614外推外推/*extrapolation*/的实际误差的
4、实际误差 0.010010.01001利用利用sin 50 0.76008,内插内插/*interpolation*/的实际误差的实际误差 0.005960.00596内插通常优于外推。选择要计内插通常优于外推。选择要计算的算的 x 所在的区间的端点，所在的区间的端点，插值效果较好。插值效果较好。现在学习的是第17页，共64页n=2)185(50sin20 p pL0.76543sin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061高次插值通常优于高次插值通常优于低次插值低次插值现在学习的是第18页，共64页事后误差估计给定任取n+1个构造如：另取则
5、现在学习的是第19页，共64页近似则现在学习的是第20页，共64页lLagrange 插值的缺点无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算现在学习的是第21页，共64页为实数Newton型多项式插值且同样承袭性承袭性：现在学习的是第22页，共64页而且有：现在学习的是第23页，共64页这样：现在学习的是第24页，共64页称为k阶差商称为1阶差商定义：差商差商现在学习的是第25页，共64页差商的一个性质差商的一个性质：（用归纳法易证）对称性：定义关键：找不同的元素相减作分母现在学习的是第26页，共64页由归纳：现在学习的是第27页，共64页Newton插值构造1、先构造差商表现在学习的是第
6、28页，共64页l例子2点Newton型插值2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式现在学习的是第29页，共64页差商表求值算法：for(i=1;i=i;j-)yj=(yj-yj-1)/(xj-xj-i);fx=yn;for(i=n;i=1;i-)fx=yi-1+(x-xi-1)yi-1;现在学习的是第30页，共64页问题：如果要做到增加一个点，而尽可能减少重复计算，要如何改进前面的算法？现在学习的是第31页，共64页l一些性质性质2现在学习的是第32页，共64页误差性质3现在学习的是第33页，共64页差商性质总结现在学习的是第34页，共64页证明作为作业现在学习的是第35页，共64页Home
7、 WorkP40 3(1),4,6现在学习的是第36页，共64页有关上机作业l提交计算机作业的ftp是210.45.66.200，l可以直接在“我的电脑”里输入ftp:/210.45.66.200登录，l也可以用flashfxp等客户端软件登录，登录不需要输入用户名密码，匿名登录即可。lftp的权限只能提交作业，而不能下载或删除作业，l如果他们发现自己提交的作业有问题，直接重新提交一份即可。现在学习的是第37页，共64页有关上机作业2l为了避免病毒起见，ftp我设置只能提交.rar,.zip,.7z三种压缩包格式，其余的文档类型不能提交，所以他们每个人的作业必须打包压缩后才能提交。l每个人作业
8、的文件名最好包含姓名和学号。现在学习的是第38页，共64页有关上机作业3l我在ftp里设置了“第一次作业”、“第二次作业”等目录，每次作业放在相应的文件夹内。l最好让所有同学不论是否是否已通过邮件发送前两次作业，都往ftp提交作业，邮件每天太多，比较容易漏看，ftp则一目了然，比较清楚。现在学习的是第39页，共64页1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为Hermite插值。称为二重密切Hermite插值现在学习的是第40页，共64页例：例：设设 x0 x1 x2,已知已知 f(x0)、f(x1)、f(x2)和和
9、 f(x1),求多项式求多项式 P(x)满足满足 P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且且 P(x1)=f(x1),并估计误差。并估计误差。模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数=3+=213)()()()()(=0iiixhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1,x2，且且 h0(x1)=0 x1 是重根。是重根。)()()(22100 xxxxCxh =又又:h0(x0)=1 C0 h2(x)与与h0(x)完全类似。完全类似。其中其中 hi(xj)=ij,hi(x1)=0,(xi)=0,(x1)=1 h1 h1现在学习的是
10、第41页，共64页h1(x)有根有根 x0,x2 )()()(201xxxxBAxxh +=由余下条件由余下条件 h1(x1)=1 和和 h1(x1)=0 可解。可解。(x)h1有根有根 x0,x1,x2 h1)()()(2101xxxxxxCx =h1又又:(x1)=1 C1 可解。可解。与与 Lagrange 分析完分析完全类似全类似现在学习的是第42页，共64页 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数，注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1l对二重密切Hermite插值现在学习的是第43页，共64页现在学习的是第44页，共64页l 整个构
11、造步骤如下：1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数2、假设一组基函数，列出插值多项式3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数称为构造基函数方法现在学习的是第45页，共64页误差分析类似Lagrange插值的分析方法现在学习的是第46页，共64页二重密切Hermite插值误差现在学习的是第47页，共64页例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大越大Ln(x)f(x)是否次数越高越好呢？现在学习的是第48页，共64页分段低阶插值lRunge
12、现象例：等距节点构造10次Lagrange插值多项式-0.900.047061.57872-0.700.07547-0.22620-0.500.137930.25376-0.300.307690.235351901年，Runge等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。现在学习的是第49页，共64页l分段线性插值每个小区间上，作线性插值(1)(2)在每个小区间上为一个不高于1次的多项式特性特性现在学习的是第50页，共64页l误差可以看出现在学习的是第51页，共64页收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。类似，可以作二重密切Hermite插值关键：分段、低阶插值现在学习的是第52页，共64页三次样条插
13、值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导数，称为三次样条函数插值。现在学习的是第53页，共64页每个小区间不高于3次，有4n个未知数，我们的已知条件如下：共3n-3+n+1=4n-2个条件现在学习的是第54页，共64页lm关系式需要附加2个条件，通常在边界处给出设所以，是3次二重Hermite插值，记现在学习的是第55页，共64页现在学习的是第56页，共64页由现在学习的是第57页，共64页现在学习的是第58页，共64页两个边界条件有现在学习的是第59页，共64页l边值条件边值条件(1)固支边界条件(2)(3)周期边界条件现在学习的是第60页，共64页lM关系式设记三弯距法：3次多项式导2次后，为线性函数现在学习的是第61页，共64页积分2次由有现在学习的是第62页，共64页计算过程如下现在学习的是第63页，共64页Home Work1.推导三次样条函数插值在周期边界条件下的m和M关系式的边界条件2.P40:12,15现在学习的是第64页，共64页