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1、第2章 插值法第1页，共74页，编辑于2022年，星期一应用：例如程控加工机械零件等。应用：例如程控加工机械零件等。这样确定的这样确定的 就是插值函数。就是插值函数。第2页，共74页，编辑于2022年，星期一二、一般概念二、一般概念第3页，共74页，编辑于2022年，星期一第4页，共74页，编辑于2022年，星期一从几何上看，插值法就是求曲线y=p(x),使其通过给定的n+1个点(xi,yi),i=0,1,n,并用它近似已知曲线y=f(x).y1ynxx1xnyx0图 2-1第5页，共74页，编辑于2022年，星期一2.1.2 2.1.2 多项式插值多项式插值设在区间a,b上给定n+1个点 a
2、x0 x1xnb上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,n),求次数不超过n的多项（1,2）使 p(xi)=yi,i=0,1,n.(1.3)由此可得到关于系数a0,a1,an的n+1元线性方程组（1.4）第6页，共74页，编辑于2022年，星期一此方程组的系数矩阵为A=称为范德蒙德（Vandermonde)矩阵，由于xi(i=0,1,n)互异，故detA =因此，线性方程组（1.4）的解a0,a1,an存在且唯一，于是有下面的结论：定理一定理一 满足条件（满足条件（1.3）的插值多项式）的插值多项式p(x)是存在唯一的。是存在唯一的。（1.5）第7页，共74页，编辑于2022年，星期一2 2
3、拉格朗日插值拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值一、线性插值和抛物插值对给定插值点,求出形如的插值多项式的方法有多种.几何意义：就是通过两点（xk,yk)与（xk+1,yk+1)的直线，如图2-2所示y=L1(x)y=f(x)yk+1ykxk+1xkyx0第8页，共74页，编辑于2022年，星期一第9页，共74页，编辑于2022年，星期一yx0 xkxk+1111图 2-3第10页，共74页，编辑于2022年，星期一几何上就是通过三点（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的抛物线。第11页，共74页，编辑于2022年，星期一yx0 xkXk+1Xk-11图 2-4第12页
4、，共74页，编辑于2022年，星期一第13页，共74页，编辑于2022年，星期一2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式第14页，共74页，编辑于2022年，星期一第15页，共74页，编辑于2022年，星期一需要指出需要指出(2.3)(2.3)式与（式与（2.52.5）式是当）式是当n=1n=1和和n=2n=2时的特殊情形。时的特殊情形。第16页，共74页，编辑于2022年，星期一注意：n次插值多项式Ln(x)通常是次数为n的多项式，特殊情况下次数可能小于n.第17页，共74页，编辑于2022年，星期一练习练习 给定数据表给定数据表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14求三次拉
5、格朗日插值多项式求三次拉格朗日插值多项式L3(x).第18页，共74页，编辑于2022年，星期一2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计定义：若在a,b上用Ln(x)近似f(x)，则其截断误差为Rn(x)=f(x)-Ln(x)，也称为插值多项式的余项余项。第19页，共74页，编辑于2022年，星期一证明：由给定条件知Rn(x)在节点xk(k=0,1,，n)上为零，即Rn(xk)=0(k=0,1,，n)，于是 其中K(x)是与x有关的待定函数。现把x看成a,b上的一个固定点，作函数（2.13）第20页，共74页，编辑于2022年，星期一根据 f 的假设可知 在a,b上连续，在(a,b)内
6、存在，根据插值条件及余项定义，可知 在点 及 x 处均为零，故 在a,b上有n+2个零点，根据罗尔定理，在 的两个零点间至少有一个零点，故 在a,b内至少有n+1个零点，对 再应用罗尔定理，可知 在a,b内至少有n个零点。依此类推，在(a,b)内至少有一个零点，记为 ，使于是将它代入（2.13）式，就得到余项表达式（2.12）。证毕。注意：余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。第21页，共74页，编辑于2022年，星期一第22页，共74页，编辑于2022年，星期一利用余项表达式（2.12），当f(x)=xk(kn)时，由于f n+1(x)=0,于是有由此得（2.17）特别当k=0时
7、，有（2.18）第23页，共74页，编辑于2022年，星期一例例1 1 已知已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值计算和用线性插值计算和抛物插值计算抛物插值计算sin0.3367的值的值,并估计误差并估计误差.第24页，共74页，编辑于2022年，星期一例例1 1 已知已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物插值计算用抛物插值计算sin0.3367的值的值,并估计误差并估计误差.第25页，共74页，编辑于2022年，星期一2.3 2.3 差商与牛
8、顿插值差商与牛顿插值2.3.1 插值多项式的逐次生成插值多项式的逐次生成利用插值基函数很容易得到拉格朗日多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要.但当插值节点增减时，计算要全部重新进行，甚为不便。第26页，共74页，编辑于2022年，星期一第27页，共74页，编辑于2022年，星期一2.3.2 均差及其性质第28页，共74页，编辑于2022年，星期一差商的基本性质:第29页，共74页，编辑于2022年，星期一第30页，共74页，编辑于2022年，星期一第31页，共74页，编辑于2022年，星期一第32页，共74页，编辑于2022年，星期一由(3.4)得差商表:kxkf(xk)一阶差商 二阶差
9、商 三阶差商 01234x0 x1x2x3x4f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)fx0,x1fx1,x2 fx0,x1,x2fx2,x3 fx1,x2,x3 fx0,x1,x2,x3fx3,x4 fx2,x3,x4 fx1,x2,x3,x4 第33页，共74页，编辑于2022年，星期一2.3.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式第34页，共74页，编辑于2022年，星期一（3.7）（3.8）牛顿均差插值多项式第35页，共74页，编辑于2022年，星期一kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2
10、 -1/6 1/24第36页，共74页，编辑于2022年，星期一第37页，共74页，编辑于2022年，星期一2.3.4 2.3.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分一、差分及其性质一、差分及其性质第38页，共74页，编辑于2022年，星期一第39页，共74页，编辑于2022年，星期一差分的基本性质:第40页，共74页，编辑于2022年，星期一第41页，共74页，编辑于2022年，星期一差分表:2f0 2f1 2f2 f0f1f2f3f0f1f2f3f401234 2 3 fkk第42页，共74页，
11、编辑于2022年，星期一二、等距节点插值公式二、等距节点插值公式第43页，共74页，编辑于2022年，星期一第44页，共74页，编辑于2022年，星期一第45页，共74页，编辑于2022年，星期一2.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值第46页，共74页，编辑于2022年，星期一第47页，共74页，编辑于2022年，星期一第48页，共74页，编辑于2022年，星期一第49页，共74页，编辑于2022年，星期一第50页，共74页，编辑于2022年，星期一第51页，共74页，编辑于2022年，星期一2.5 2.5 分段低次插值分段低次插值一、高次插值的病态性质一、高次插值的病态性质上面我们用插值多
12、项式Ln(x)近似f(x),一般认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，实际并非如此。龙格给出了一个等距节点插值多项式Ln(x)不收敛于 f(x)的例子。他给出的函数为f(x)=1/(1+x2),它在-5,5上各阶导数均存在。在-5,5上取n+1个等距节点所构造的拉格朗日插值多项式为如下表所示，第52页，共74页，编辑于2022年，星期一n 2 4 6 81012141618200.1379310.0663900.0544630.0496510.0470590.0454400.0443340.0435300.0429200.042440 0.759615-0.356826 0.607
13、879-0.831017 1.578721-2.755000 5.332743-10.173867 20.123671-39.952449-0.621864 0.423216-0.553416 0.880668-1.531662 2.800440-5.288409 10.217397-20.080751 39.994889龙格证明了，存在一个常数c3.63,使得第53页，共74页，编辑于2022年，星期一下面取n=10，根据计算画出可以看出，在x=5附近这说明用高次插值多项式Ln(x)近似f(x)效果并不好，因而通常不用高次插值，而用分段低次插值。-51.5yx501.00.5第54页，共74
14、页，编辑于2022年，星期一二、分段线性插值二、分段线性插值所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).第55页，共74页，编辑于2022年，星期一第56页，共74页，编辑于2022年，星期一第57页，共74页，编辑于2022年，星期一二、分段三次埃尔米特插值二、分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足第58页，共74页，编辑于2022年，星期一第59页，共74页，编辑于2022年，星期一第60页，共74页，编辑于2022年，星期一根据以上证明可得：第61页，共74页，编辑于2022年，星期一7 7 样条插值
15、样条插值问题背景一、样条插值的概念一、样条插值的概念第62页，共74页，编辑于2022年，星期一第63页，共74页，编辑于2022年，星期一第64页，共74页，编辑于2022年，星期一二、三次样条插值函数的建立二、三次样条插值函数的建立第65页，共74页，编辑于2022年，星期一第66页，共74页，编辑于2022年，星期一第67页，共74页，编辑于2022年，星期一第68页，共74页，编辑于2022年，星期一第69页，共74页，编辑于2022年，星期一第70页，共74页，编辑于2022年，星期一第71页，共74页，编辑于2022年，星期一第72页，共74页，编辑于2022年，星期一第73页，共74页，编辑于2022年，星期一三、误差界与收敛性三、误差界与收敛性作业作业 P60,20(1)只列出方程组;20(2)应得结果.第74页，共74页，编辑于2022年，星期一