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1、第1章 插值第1页，本讲稿共50页定义：为定义在区间 上的函数，为区间上n+1个互不 相同的点，为给定的某一函数类。求 上的函数 满足问题l是否存在唯一l如何构造l误差估计第2页，本讲稿共50页有解有解系数行列式不为系数行列式不为0设设则1.与基函数无关2.与原函数f(x)无关3.基函数个数与点个数相同特点：第3页，本讲稿共50页存在唯一定理定理1.1：为n1个节点，n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当第4页，本讲稿共50页对应于对应于则则Vandermonde行列式第5页，本讲稿共50页多项式插值的Lagrange型l如何找？在基函数上下功夫，取基函数为要求则第6页，本讲稿共50页l线
2、性插值求，易知：第7页，本讲稿共50页l二次插值第8页，本讲稿共50页例：例：例：已知已知分别利用分别利用 sin x 的的1次、次、2次次 Lagrange 插值计算插值计算 sin 50 并估计误差。并估计误差。第9页，本讲稿共50页1 Lagrange Polynomial解：解：n=1分别利用分别利用x0,x1 以及以及 x1,x2 计算计算利用利用这里这里而而sin 50 =0.7660444)185(50sin10 p pL0.77614外推外推/*extrapolation*/的实际误差的实际误差 0.010010.01001利用利用sin 50 0.76008,内插内插/*in
3、terpolation*/的实际误差的实际误差 0.005960.00596内插通常优于外推。选择要内插通常优于外推。选择要计算的计算的 x 所在的区间的端点，所在的区间的端点，插值效果较好。插值效果较好。第10页，本讲稿共50页n=2)185(50sin20 p pL0.76543sin 50 =0.76604442次插值的实际误差次插值的实际误差 0.000610.00061高次插值通常优于低高次插值通常优于低次插值次插值第11页，本讲稿共50页误差解：求设易知第12页，本讲稿共50页有n+2个零点由a的任意性第13页，本讲稿共50页事后误差估计给定任取n+1个构造如：另取则第14页，本讲
4、稿共50页近似则第15页，本讲稿共50页lLagrange 插值的缺点无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算第16页，本讲稿共50页Newton型多项式插值且同样承袭性承袭性：为实数第17页，本讲稿共50页而且有：第18页，本讲稿共50页这样：第19页，本讲稿共50页称为k阶差商称为1阶差商定义：差商差商第20页，本讲稿共50页由归纳：第21页，本讲稿共50页此处用到差商的一个性质：（用归纳法易证）对称性：定义关键：找不同的元素相减作分母第22页，本讲稿共50页Newton插值构造1、先构造差商表第23页，本讲稿共50页l例子2点Newton型插值2、利用差商表的最外一行，构造插值多
5、项式第24页，本讲稿共50页l一些性质性质2第25页，本讲稿共50页误差性质3第26页，本讲稿共50页差商性质总结第27页，本讲稿共50页1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的连续性条件，如一阶导数值等，这种插值称为Hermite插值。称为二重密切Hermite插值第28页，本讲稿共50页3 Hermite Interpolation例：例：设设 x0 x1 x2,已知已知 f(x0)、f(x1)、f(x2)和和 f(x1),求多项式求多项式 P(x)满足满足 P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且且 P(x1)=f(x1),并估计误差。并估计误
6、差。模仿模仿 Lagrange 多项式的思想，设多项式的思想，设解：解：首先，首先，P 的阶数的阶数=3+=213)()()()()(=0iiixhx1f xhxfxP h0(x)有根有根x1,x2，且且 h0(x1)=0 x1 是重根。是重根。)()()(22100 xxxxCxh =又又:h0(x0)=1 C0 h2(x)h1(x)有根有根 x0,x2 )()()(201xxxxBAxxh +=由余下条件由余下条件 h1(x1)=1 和和 h1(x1)=0 可解。可解。与与h0(x)完全类似。完全类似。(x)h1有根有根 x0,x1,x2 h1)()()(2101xxxxxxCx =h1又
7、又:(x1)=1 C1 可解。可解。其中其中 hi(xj)=ij,hi(x1)=0,(xi)=0,(x1)=1 h1 h1与与 Lagrange 分析分析完全类似完全类似第29页，本讲稿共50页 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数，注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1第30页，本讲稿共50页第31页，本讲稿共50页l整个构造步骤如下：1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数2、假设一组基函数，列出插值多项式3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数称为构造基函数方法第32页，本讲稿共50页误差分析类似Lagrange插值的分析方法第
8、33页，本讲稿共50页二重密切Hermite插值误差第34页，本讲稿共50页例：例：在在 5,5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大，越大，端点附近抖动端点附近抖动越大，称为越大，称为Runge 现象现象Ln(x)f(x)是否次数越高越好呢？第35页，本讲稿共50页分段低阶插值lRunge现象例：等距节点构造10次Lagrange插值多项式-0.900.047061.57872-0.700.07547-0.22620-0.500.137930.25376-0.300.307690.23535190
9、1年，Runge等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。第36页，本讲稿共50页l分段线性插值每个小区间上，作线性插值(1)(2)在每个小区间上为一个不高于1次的多项式分段分段低次低次插值插值特性特性第37页，本讲稿共50页l误差可以看出第38页，本讲稿共50页收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。类似，可以作二重密切Hermite插值关键：分段、低阶插值第39页，本讲稿共50页三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求高，如：流线型 设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导数，称为三次样条函数插值。第40页，本讲稿共50页每个小区间不高于3次，有4n个未知数，我们的已知条件如下：共3n-3+n+1=4n-2个条件第41页，本讲稿共50页lm关系式需要附加2个条件，通常在边界处给出设所以，是3次二重Hermite插值，记第42页，本讲稿共50页第43页，本讲稿共50页由第44页，本讲稿共50页第45页，本讲稿共50页两个边界条件第46页，本讲稿共50页有加上边值条件(1)固支边界条件(2)(3)周期边界条件第47页，本讲稿共50页lM关系式设记三弯距法：3次多项式导2次后，为线性函数第48页，本讲稿共50页积分2次由有第49页，本讲稿共50页计算过程如下第50页，本讲稿共50页