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1、2023届高考数学一轮保基卷：函数的单调性 一、选择题（共17小题）1. 已知函数 fx=loga4ax 在 0,2 上是单调递减函数，则实数 a 的取值范围为 A. 0,1B. 1,+C. 1,2D. 2,+ 2. 下列函数中，在区间 0,+ 上为增函数的是 A. y=x+1B. y=x12C. y=2xD. y=log0.5x+1 3. 下列函数中，是奇函数且在区间 0,+ 上单调递减的是 A. y=x2B. y=x12C. y=x1D. y=x3 4. 已知函数 fx=ex+x2，若实数 a 满足 flog2af1，则 a 的取值范围是 A. 0,1B. 12,2C. 0,2D. 2,+
2、 5. 已知函数 fx 是定义在区间 a1,2a 上的偶函数，且在区间 0,2a 上单调递增，则不等式 fx1fa 的解集为 A. 1,3B. 0,2C. 0,12,3D. 1,01,2 6. 已知定义在 R 上的函数 y=fx 满足下列三个条件：对任意的 xR 都有 fx=fx+4；对于任意的 0x1x22，都有 fx1fx2； y=fx+2 的图象关于 y 轴对称则下列结论中，正确的是 A. f4.5f6.5f7B. f4.5f7f6.5C. f7f4.5f6.5D. f7f6.52 的解集为 A. ,1B. 1,+C. ,2D. 2,+ 8. 若 fx=22ax,x14a2x16,x1
3、是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为 A. 1,+B. 4,8C. 4,8D. 1,8 9. 已知函数 fx=exex，则关于 x 的不等式 fx+fx220 的解集为 A. 2,1B. ,21,+C. 1,2D. ,12,+ 10. 已知函数 y=fx 可表示为x0x22x44x66x8y1234则以下结论正确的是 A. ff4=3B. fx 的值域是 1,2,3,4C. fx 的值域是 1,4D. fx 在区间 4,8 上单调递增 11. 已知 fx 是定义在 R 上的偶函数，且在 ,0 上是增函数，设 a=flnx，b=flog52，c=fe12，则 a，b，c 的大小关系是 A
4、. bcaB. abcC. cbaD. acb 12. 已知函数 fx 是定义在 R 上的偶函数，若对于任意的不等实数 x1,x20,+，满足：x1fx1+x2fx20（其中 e 为自然对数的底数）的解集为 A. 1,1+eB. 1+ee,1+eC. 1,1+ee1+e,+D. 1,1+ee 13. 已知函数 fx=lnx2+1，且 a=f0.20.2，b=flog34，c=flog133，则 a，b，c 的大小关系为 A. abcB. cabaD. bca 14. 在下列区间中，方程 ex+4x3=0 的解所在的区间为 A. 14,0B. 14,12C. 0,14D. 12,34 15. 已
5、知函数 fx=1,x00,x=01,x0，设 Fx=x2fx，则 Fx 是 A. 奇函数，在 ,+ 上单调递减B. 奇函数，在 ,+ 上单调递增C. 偶函数，在 ,0 上递减，在 0,+ 上递增D. 偶函数，在 ,0 上递增，在 0,+ 上递减 16. 下列函数中，既是偶函数又在区间 0,+ 上单调递增的是 A. y=2xB. y=1x2C. y=lnxD. y=x2+x 17. 已知 fx 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 ,0 上单调递增，设 a=flog123，b=f130.2，c=flog215，则 A. abcB. cbaC. cabD. ba14a2x+2,x1 是 R 上的增函
6、数，则实数 a 的取值范围是 20. 若函数 fx=axx+1 在区间 0,+ 是严格增函数，则实数 a 的取值范围是 21. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 fx=fx，且对于任意 x1,x20,+，x1x2，均有 fx2fx1x1x20若 f13=12，2flog18x0 的解集为 R；函数 gx 的单调递增区间为 2k,2k+1，kZ其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共5小题）23. 设 a 是实数，fx=a22x+1xR，（1）试证明对于任意 a，fx 为增函数；（2）试确定 a 值，使 fx 为奇函数 24. 已知函数 fx=2xa2x+1 为奇函数（1）求实数 a 的值并
7、证明 fx 是增函数（2）若实数 t 满足不等式 f1t2+f10，求 t 的取值范围 25. 已知函数 fx=xa9x+a，x1,6，aR（1）若 a=1，试判断并用定义证明 fx 的单调性；（2）若 a=8，求 fx 的值域 26. 已知函数 fxxR 满足下列条件：对任意的实数 x1，x2 都有 x1x22x1x2fx1fx2, 和 fx1fx2x1x2, 其中 是大于 0 的常数设实数 a0，a，b 满足 fa0=0 和 b=afa（1）证明 1，并且不存在 b0a0，使得 fb0=0；（2）证明 ba0212aa02；（3）证明 fb212fa2 27. 定义：如果函数 y=fx 在
8、定义域内给定区间 a,b 上存在实数 x0ax00,kN 是区间 2,tt0,tN 上的“平均值函数”，1 是函数 hx 的一个均值点，求所有满足条件的数对 k,t答案1. C【解析】由题意可得，a0，且 a1，故函数 t=4ax 在区间 0,2 上单调递减再根据 y=loga4ax 在区间 0,2 上单调递减，可得 a1，且 42a0, 解得 1a22. A【解析】Ay=x+1 在 1,+ 上为增函数，符合题意；By=x12 在 0,1 上为减函数，不合题意；Cy=2x 为 ,+ 上的减函数，不合题意；Dy=log0.5x+1 为 1,+ 上的减函数，不合题意3. C4. B【解析】由题意，
9、fx 为偶函数，在 0,+ 上是增函数，所以不等式 flog2af1 可化为 log2a1，即 1log2a1，由对数函数的单调性可得 a 的取值范围是 12,25. B【解析】因为 fx 在 a1,2a 上为偶函数，所以 a1+2a=0，所以 a=1，又因为 fx1fa=f1，因为 fx 在 0,2 上单增，所以 x11，所以 1x11，所以 0x2，又因为 2x12，所以 1x3，所以 0x2，故选B6. B【解析】由三个条件知函数的周期是 4，在区间 0,2 上是增函数且其对称轴为 x=2，所以 f4.5=f0.5， f7=f3=f2+1=f21=f1， f6.5f2.5=f2+0.5=
10、f20.5=f1.5，因为 00.511.52，函数 y=fx 在区间 0,2 上是增函数，所以 f0.5f1f1.5，即 f4.5f72=f1，可得 3x+51，解得 x2，故解集为 2,+8. D【解析】因为 fx=22ax,x14a2x16,x1 是 R 上的增函数，所以 22a0,22a412a16, 解得 1a0，则函数 fx 在 R 上为增函数， fx+fx220fxfx22fxf2x2x2x2，即 x2+x20，解得 2x1，即其解集为 2,110. B【解析】A项：由题可知 f4=3，f3=2，所以 ff4=f3=2，故A选项错误；B项C项：由表格可知： fx 的值域为集合 1
11、,2,3,4，而非是区间 1,4，所以B项正确，C项错误；D项： fx 在区间 4,6 上函数值不变，在 6,8 函数值不变，所以 fx 在 4,8 上单调递增的说法错误综上：B选项说法正确11. D【解析】fx 是定义在 R 上的偶函数，且在 ,0 上是增函数，则 fx 在 0,+ 上为减函数，则 b=flog52=flog52，又由 log52log55=12e12=1e1ln，则 acb12. B【解析】对于任意的不等实数 x1,x20,+，满足：x1fx1+x2fx2x1fx2+x2fx1，则不等式等价于 x1x2fx1fx20 可化为 flnx1f1eln2，且 1eln2=eln1
12、2=12，所以不等式等价于 lnx112，即 12lnx112，解得 1+eex1+e13. D【解析】由题意知 fx 是偶函数，由复合函数单调性知在 0,+ 上，函数单调递增， 00.20.21，log133=1，c=flog133=f1=f1，又 00.20.21log34，所以 acb14. B【解析】因为 y=ex 为增函数，y=4x 为增函数，所以 y=ex+4x3 为增函数，设 fx=ex+4x3， f14=e14+13=e1420，所以 f14f1200,x=01,x00,x=01,x00,x=0x2,x0 时，y=lnx 是增函数，满足条件 y=x2+2x，对称轴 x=1，不是
13、偶函数，在 0,+ 上单调递增，但不符合题意17. C【解析】根据题意，fx 是偶函数，且在区间 ,0 上单调递增，则 fx 在 0,+ 上单调递减，则 a=flog123=flog23，b=f130.2，c=flog215=flog25，又由 130.21=log22log23log25，则 ca14a2x+2,x1 在 R 上是单调增函数，所以 a1,4a20,a4a2+2. 解得：a4,8，故答案为：4,820. 0,+【解析】设 x1x20，则 fx1fx2=ax1x1+1ax2x2+1=ax1x2x1+1x2+1若函数 fx=axx+1 在区间 0,+ 是严格增函数，则 fx1fx2
14、=ax1x2x1+1x2+10，因为 x1+10，x2+10，x1x20，所以 a0故答案为：0,+21. 0,122,+【解析】由 fx=fx，得函数 fx 是偶函数，若对于任意 x1,x20,+，x1x2，均有 fx2fx1x1x20，则此时函数 fx 为减函数，因为 2flog18x1，flog18x12，即不等式等价为 flog18xf13，即 flog18x13 或 log18x13，解得 0x1813=222. 【解析】因为 x1,0 时，gx=fx，所以 g1=f1=12，因为 gx 是定义域为 R 的偶函数，所以 g1=g1=12由题意知 g0=0，故不正确因为 gx 在 1,
15、0 单调递减，所以 gx 在 0,1 单调递增，因为 gx+2=gx，所以 gx 是以 T=2 为周期的周期函数，所以 2k,2k+1 上 gx 单调递增23. （1） 设 x1,x2R 且 x1x2，则fx1fx2=a22x1+1a22x2+1=22x2+122x1+1=22x12x22x1+12x2+1.由于指数函数 y=2x 在 R 上是增函数，所以 2x12x2，即 2x12x20，得 2x1+10，2x2+10，所以 fx1fx20，即 fx1fx2，故 fx 为增函数（2） 若 fx 为奇函数，则 fx=fx, 即a22x+1=a22x+1.变形得：2a=22x2x+12x+22x
16、+1=22x+12x+1,解得 a=1所以当 a=1 时，fx 为奇函数24. （1） 因为 fx=2xa2x+1 为奇函数，所以 f0=1a2=0，所以 a=1，fx=2x12x+1=122x+1，经检验，此时 fx 为奇函数，故 a=1设 x1x2，则 fx1fx2=21+2x221+2x1=22x12x21+2x11+2x20，所以 fx10 可得 f1t2f1=f1，所以 1t21，即 1t21=3tt20，所以 t2t30，解 2t325. （1） 当 a=1 时，fx=x9x，任取 x1,x21,6，且 x10, 所以 fx2fx1，所以 fx 在 1,6 上单调递增（2） 当 a
17、=8 时， fx=x89x+8=8x9x+8=16x+9x. 令 t=x+9x，因为 x1,6，所以 t6,10，所以 fx=16t6,10，所以 fx 的值域为 6,1026. （1） 当 x1x2 时，由已知及绝对值不等式的性质易得 x1x2fx1fx2x1x22=fx1fx2x1x2fx1fx2x1x21，即对任意的两不相等的实数 x1，x2，都有 fx1fx2x1x21（*）由上面的不等式易知 1假设存在 b0a0，使得 fb0=0，则在式（*）中令 x1=b0，x2=a0，由于 fb0fa0=0，故此时式（*）不能成立，故不存在 b0a0，使得 fb0=0（2） 解法一：若 a=a0
18、，则 b=a=a0，不等式显然成立；若 aa0，则 ba0aa02=afaa0+fa0aa02=1fafa0aa0212212. 变形即得所证不等式解法二：由 b=afa, 可知 ba02=aa0fa2=aa022aa0fa+2fa2. 由 fa0=0 和式，得 aa0fa=aa0fafa0aa02. 由 fa0=0 和式知，fa2=fafa02aa02. 则将式，代入式，得 ba02aa0222aa02+2aa02=12aa02（3） 解法一：若 b=a，则 a=a0，不等式显然成立；若 ba，则令 x1=b，x2=a，代入式（*）得 fbfaba1，将 ba=fa 代入上式，并变形得 fb
19、fafa2，于是 01fbfa12，故 fbfa12，从而 fb2122fa212fa2解法二：由式，可知 fb2=fbfa+fa2=fbfa2+2fafbfa+fa2ba22bafbfa+fa2用式=2fa22bafbfa+fa22fa22ba2+fa2用式=2fa222fa2+fa2=12fa2.27. （1） 是；根据新定义，可得 f1f111=x4 在区间 1,1 上有解，可得 x=0，所以（1）是“平均值函数”（2） 函数 gx=4x+m2x 是区间 0,1 上的“平均值函数”，可得 m310=4x+m2x 在区间 0,1 上有解，可得 4xm2x+m3=0 在区间 0,1 上有解，令 2x=t，t1,2，则 t2mt+m3=0 在区间 1,2 上有解，令 gt=t2mt+m3，所以 0,g10,g20,1m22 或 g1g20，即 m24m30,20,1m0,1m20,kN 是区间 2,tt0,tN 上的“平均值函数”，1 是函数 hx 的一个均值点，即 kt2+t44k+6t+2=k3，可得 k3t=4，所以 k=43t，因为 kN，k0，t0，tN，则 43t1，解得 3t1，当 t=1，k 不是整数，当 t=2 时，可得 k=4，故所有满足条件的数对 4,2第12页（共12 页）