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1、第6讲一元二次方程知识点1一元二次方程的相关概念及解法1一元二次方程x26x50配方后可变形为(A)A(x3)214 B(x3)24C(x3)214 D(x3)242已知关于x的方程x2x2a10的一个根是0，则a3解方程：(1)x24x10；解：方程可化为x24x1.(x2)25.x12，x22.(2)(x3)(x1)3.解：方程化为x24x0，x(x4)0，x10，x24.知识点2一元二次方程根的判别式4一元二次方程x22x0的根的判别式的值为(A)A4 B2 C0 D45一元二次方程x24x40的根的情况是(C)A有两个不相等的实数根 B无实数根C有两个相等的实数根 D无法确定6关于x的
2、一元二次方程x22xk0有两个相等的实数根，则k的值为(B)Ak1 Bk1Ck1 Dk1知识点3一元二次方程根与系数的关系7若方程3x24x40的两个实数根分别为x1，x2，则x1x2(D)A4 B3C D.8设x1，x2是方程5x23x20的两个实数根，则x1x2的值为9已知关于x的一元二次方程x23xm0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求m的取值范围；(2)当x11时，求另一个根x2的值解：(1)由题意，得(3)241m94m0，解得m0.x63.x13，x29.解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法解法选择口诀如下：方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商
3、量；b，c相等都为零，等根是零不要忘；b，c同时不为零，因式分解或配方；也可直接套公式，因题而异择良方1用因式分解法解一元二次方程时，易出现方程的右边没有化为0，左边直接因式分解的错误2用公式法解一元二次方程，在确定系数a，b，c时，易忘记先将一元二次方程化为一般形式3对于缺少常数项的一元二次方程，方程两边不能同时除以未知数或含有未知数的项，如解x25x0时，易出现方程两边同时除以x，遗漏x0的情况重难点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2017黄石)已知关于x的一元二次方程x24xm20.(1)求证：该方程有两个不等的实数根；(2)若该方程的两个实数根x12x29，求m的值【思路点拨
4、】(1)直接计算出根的判别式，利用非负数的性质判断即可；(2)利用根与系数的关系得到x1x2的值，将x1x2的值代入到x12x29中，可求出x2.因为x2是一元二次方程x24xm20的一根，故可将x25直接代入到一元二次方程中，解关于m的方程，即可求出m.【自主解答】(1)证明：(4)241(m2)164m20，该方程有两个不等的实数根(2)根据根与系数的关系可得x1x24.x12x29，x25.x25是一元二次方程x24xm20的一根，5245m20.m.【变式训练1】(易错易混)(2017白银)若关于x的一元二次方程(k1)x24x10有实数根，则k的取值范围是k5且k1【变式训练2】(2
5、017十堰)已知关于x的方程x2(2k1)xk210有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足xx16x1x2，求实数k的值解：(1)由题意，得(2k1)24(k21)4k50，解得k.实数k的取值范围为k.(2)由题意，得x1x212k，x1x2k21.xx(x1x2)22x1x216x1x2，(12k)22(k21)16(k21)，解得k2或k6(舍去)实数k的值为2.1判断一元二次方程根的情况，要明确a，b，c的值，然后比较b24ac与0的大小2利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有x1x2与x1x2的式子解答关于二次项系数
6、中含有未知数的一元二次方程时，容易忽视一元二次方程的前提条件是：二次项系数a0.因此，在解答过程中，要首先列出前提条件，即：在满足二次项系数a0的条件下求解重难点3一元二次方程的应用(2017眉山)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？【思路点拨】(1)根据生产提高一
7、个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润销售数量总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论【自主解答】(1)(1410)213.答：此批次蛋糕属第3档次产品(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得102(x1)764(x1)1 080.整理得x216x550.解得x15，x211.答：该烘焙店生产的是第5档次或第11档次的产品【变式训练3】(2017无锡)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是(C)A20
8、% B25% C50% D62.5%【变式训练4】(2017兰州)王叔叔从市场上买一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为(C)A(80x)(70x)3 000B80704x23 000C(802x)(702x)3 000D80704x2(7080)x3 000,列一元二次方程解应用题的常见关系：(1)平均变化率问题：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1x)2b；(2)利润问题：利
9、润售价成本；利润率100%；(3)矩形面积问题镶边矩形：如图，镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S(a2x)(b2x)；内嵌十字架型矩形：如图，图1中阴影区域可以通过平移的方法变成图2中的样子，此时易得图1矩形ABCD中空白区域的面积为S(ax)(bx)要检验方程的解是否符合实际意义1(2017泰安)一元二次方程x26x60配方后化为(A)A(x3)215 B(x3)23C(x3)215 D(x3)232(2017滨州)一元二次方程x22x0根的判别式的值为(A)A4 B2 C0 D43(2017苏州)关于x的一元二次方程x22xk0有两个相等的实数根，则k的值为(A)A1 B1 C2 D24
10、(2016天津)方程x2x120的两个根为(D)Ax12，x26 Bx16，x22Cx13，x24 Dx14，x235(2017威海)若1是方程x22xc0的一个根，则c的值为(A)A2 B42C3 D16(2016青岛)输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如下表：x20.520.620.720.820.9输出13.758.042.313.449.21分析表格中的数据，估计方程(x8)28260的一个正数解x的大致范围为(C)A20.5x20.6 B20.6x20.7C20.7x20.8 D20.8x20.97如果x2x1(x1)0，那么x的值为(C)A2或1 B0或1C2 D18(20
11、16台州)有x支球队参加篮球比赛，共比赛45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(A)A.x(x1)45 B.x(x1)45Cx(x1)45 Dx(x1)459(2017泰安)关于x的一元二次方程x2(2k1)x(k21)0无实数根，则k的取值范围为k10(易错易混)(2017德州)方程3x(x1)2(x1)的根为x11，x211(2017南京)已知关于x的方程x2pxq0的两根为3和1，则p4，q312(2017盐城)若方程x24x10的两根是x1，x2，则x1(1x2)x2的值为513(2016梅州)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形设矩形的一边长为x
12、cm，则可列方程为x(20x)6414选择适当的方法解下列方程：(1)x25x10(用配方法)；解：x25x1，x25x()21()2，(x)2，x，所以x1，x2.(2)(2017丽水)(x3)(x1)3；解：方程化为x24x0，x(x4)0，所以x10，x24.(3)2x22x50(用公式法)；解：(2)242(5)48，x，所以x1，x2.(4)(y2)2(3y1)2.解：(y2)2(3y1)20，(y23y1)(y23y1)0，(4y1)(2y3)0，4y10或2y30，所以y1，y2.15(2017菏泽)列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩
13、具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？解：设销售单价为x元，由题意，得(x360)1602(480x)20 000.整理，得x2920x211 6000.解得x1x2460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20 000元16(2017鄂州)关于x的方程x2(2k1)xk22k30有两个不相等的实数根(1)求实数k的取值范围；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|x2
14、|？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由解：(1)方程有两个不相等的实数根，(2k1)24(k22k3)4k110，解得k.(2)存在x1x22k1，x1x2k22k3(k1)220，将|x1|x2|两边平方可得x2x1x2x5，即(x1x2)24x1x25，代入得(2k1)24(k22k3)5，解得4k115，解得k4.17(2017白银)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是(A)A(322x)(20x)570B32x220x3232570C(32
15、x)(20x)3220570D32x220x2x257018(2017呼和浩特)关于x的一元二次方程x2(a22a)xa10的两个实数根互为相反数，则a的值为(B)A2 B0C1 D2或019(2017温州)我们知道方程x22x30的解是x11，x23，现给出另一个方程(2x3)22(2x3)30，它的解是(D)习题解析Ax11，x23 Bx11，x23Cx11，x23 Dx11，x2320(2016达州)设m，n分别为一元二次方程x22x2 0180的两个实数根，则m23mn2_01621(2017烟台)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进1
16、00个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？解：(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意，得200(1x)2162，解得x0.110%或x1.9(舍去)答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.(2)在A商城需要费用为16290(10099)14 742(元)，在B商城需要的费用为16210014 580(元)14 74214 580.答：去B商场购买足球更优惠