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1、一一对应一一对应高一数学任意角的三角函数一、本讲教学进度4.3 任意角的三角函数（P13-21）二、本讲教学内容 1任意角的三角函数.2单位圆和三角函数线.3三角函数在各象限的符号.4终边相同角的三角函数值.三、重点、难点选讲 1任意角的三角函数（1）任意角的三角函不能再用初中定义锐角三角函数的办法来定义，因此通过平面直角坐标系来定义任意角的三角函数.（2）对于任意角的三角函数，由相似形的性质可知，的三角函数值与P点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，即角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量的函数.六个三角函数中重点要掌握的是正弦、余弦和正切.（3）引进弧度制以后，角的集合与
2、实数集合建立了一一对应关系，因此三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即实数角（其弧度数等于该实数）三角函数值（实数）（4）应注意，对于某些实数，tan、cot、sec、csc可能不存在.例 1已知角的终边上有一点)0()5,12(aaaP，求的各三角函数值.解由已知，ax12，ay5.0a，aaaayxr1313)5()12(2222.135sinry，1312cosrx，125tanxy，512cotyx，1213secxr，513cscyr.例 2已知角的终边经过点)0()4,3(aaaP，求cos2sin的值.分析因a的符号不确定，所以要对字母a进行讨论.当0a，P点在第四象限，当0
3、a，P点在第二象限.解若0a，03ax，04ay，P点在第四象限.aaaaOPr55)4()3(22.54sinry,53cosrx.5253254cos2sin.若0a，03ax，04ay，P点在第二象限.aaaaOPr55)4()3(22.54sinry，53cosrx.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 7 页 -1111115253254cos2sin.2单位圆与三角函数线（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线以后，可以用有向线段的长表示这几个三角函数值，这在以后画三角函数的图象时会用到.正弦线、余弦线和正切线
4、都是三角函数线.（2）由三角函数线的作法可以知道，对任何角，正弦线、余弦线都可以作出，因此正弦函数、余弦函数的定义域是R，对终边在y轴上的角，正切线不存在，因此正切函数的定义域是ZkRk,2.例 3若40，利用三角函数线证明：cossin，且1tan.证明在单位圆中作出角及角的正弦线MP，余弦线OM和正切线AT.在POMRt中，4POM，2OPMPOM，OPMPOM4，OMMP，即cossin.在TOARt中，4TOA，2OTATOA，OTATOA4，OAAT，即1tan.例 4若20，利用三角函数线证明：（1）1cossin；（2）tansin0.证明（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角
5、的正弦线MP和余弦线OM.由20，POM为直角三角形，且sinMP，cosOM，1OP.在POMRt中，OPOMMP，1cossin.（2）如图，AOP，ATMP、分别为角的正弦线和正切线.连结AP.由20，显然有TOAPOAPOASSS扇形.sin21sin12121MPOASPOA，211212POAS扇形，tan21tan12121ATOASTOA，tan2121sin21.tansin.3三角函数在各个象限的符号必须熟悉每个三角函数在各象限的符号：+-+-+-名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 7 页 -sin，csccos，sectan，cot还要熟悉每个象
6、限各个三角函数的符号.第象限：全正；第象限：仅sin，csc为正，其余为负；第象限：仅tan，cot为正，其余为负；第象限：仅cos，sec为正，其余为负.例 5已知0sin，0cos，判断2tan的符号.分析首先应判断角所在象限，然后再确定角2所在象限及2tan的符号.解0sin，0cos，是第二象限角，)(222Zkkk.kk224.当)(2Znnk，nn22224，2是第一象限角，02tan.当)(12Znnk，nn2232245，2是第三象限角，02tan.2tan必为正数.例 6求函数xxytancos的定义域.解由已知.0tan,0cosxx由，角x的终边在y轴上，或第一象限，或第
7、四象限，或在x轴的非负半轴上.由，0tanx，角的终边在第二象限，或第四象限，或在x轴上.角x的终边在第四象限或x轴的非负半轴上.函数的定义域为Zkkxkx,222.4终边相同角的三角函数值公式一：sin)360sin(k，cos)360cos(k，tan)360tan(k.)(Zk也称为诱导公式一，利用公式一可以把任意角的三角函数化为0到360角的三角函数.例 7求值：（1）)1020cot(1110tan)1380cos()1830sin(；（2）441cos423sin35cot417cos22.解（1）)1020cot(1110tan)1380cos()1830sin(名师资料总结-精
8、品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 7 页 -360)3(60cot)360330tan(360)4(60cos)360530sin(60cot30tan60cos30sin127314133332121.（2）441cos423sin35cot417cos22104cos2)3(4sin2)1(3cot224cos22532131214cos4sin3cot4cos22.练习一、选择题1已知角是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（）A cossin BcossinC tansin Dcossin2若点)0,4(P在角的终边上，则下列函数中不存在的是（）A sin BcosC ta
9、n Dcot3下列四个命题：若0cos，则是第二象限角或第三象限角；0cossin且0cotcos是为第三象限角的充要条件；若coscos，则角和角的终边相同；若，则sinsin.其中真命题有（）A 1 个 B2 个 C 3 个 D 4 个4是sinsin的（）A 充分非必要条件 B必要非充分条件C 充分必要条件 D既非充分又非必要条件5若24，则下列各不等式中成立的是（）A sincostan BcostansinC sintancos Dtansincos二、填空题6若角的终边与射线)0(2xxy重合，则sin_.7若CBA、为ABC的内角，且0coscoscosCBA，则ABC是_三角形
10、（填“锐角”、“直角”或“钝角”）.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 7 页 -8函数xxxxxxxxycotcottantancoscossinsin的值域是 _.9已知0cos，0tan，且2sin2sin，则2是第 _象限角.10用单位圆及正弦线，可以得到满足不等式21sin在)2,0上的x的集合为 _.三、解答题11求值：（1）405tan780cos)690sin(2；（2）tan5cot49tan527sin223cos3.12已知角终边上一点P与x轴的距离和P点与y轴的距离之比为5:12，且0tan，求sin和cos的值.13用三角函数的定义证明：)c
11、ot)(costan(sin)cos1)(sin1(.14已知02sin，且sinsin，判断点)cos,(tanP在第几象限.答案与提示 答案 一、1 C 2D 3A 4B 5D 二、6552 7锐角 84,0,2 9四 10656xx三、11（1）21；（2）7121312sin，135cos，或1312sin，135cos13略14P点在第二象限 提示 一、3是假命题，角的终边可能在x轴非正半轴上；是真命题；是假命题，由余弦线可见3cos3cos，3与3终边不同；是假命题，60390，60sin232130sin390sin4如30，390，但sinsin；若sinsin，则必有（否则若
12、，则sinsin，与sinsin矛盾）5可由三角函数线判断二、7若CBAcoscoscos、中一正二负，不妨设0cosA，0cosB，0cosC，则CB、均为钝角，与三角形三内角和为矛盾，故必有0cosA，0cosB，0cosC，即CBA、均为锐角.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 7 页 -111268可以分为在第、第、第、第象限四种情况分别考虑.9由0cos，0tan，知是第三象限角，)(2232Zkkk，kk4322，2是第象限角或第象限角，又由2sin2sin，知02sin，2是第四象限角.10如图可得所求集合为656xx三、11（1）原式)36045tan
13、()360260cos(360)2(30sin22112121245tan60cos30sin2（2）原式05cot24tan5223sin223cos3715)1(24tan523sin20312设点P的坐标为),(yx，则512xy.0tan，是第象限或第象限角.若是第象限角，0 x，0y，512xy.设tx5，)0(12tty，则tyxr1322，1312sin，135cos.若是第象限角，0 x，0y，512xy，设Sx5，)0(12SSy，则SSr1313，1312sin，135y.13设),(yxP为角终边上一点，rOP，则2111)cos1)(sin1(rxyryrxrxry.1)cot)(costan(sin2rxryrxyyxrxxyry.1402sin，)(2222Zkkk，kk2，为第或第象限角.又sinsin，0sin，是第象限角，0tan，0cos，点)cos,(tanP在第二象限.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 7 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 7 页 -