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1、高一数学任意角的三角函数教案课题：4.3 任意角的三角函数（一）教学目的：1. 理解并掌握任意角三角函数的定义.2. 理解三角函数是以实数为自变量的函数.3. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.教学重点： 任意角三角函数的定义.教学难点： 正弦、余弦、正切函数的定义域. 授课类型： 新授课 . 课时安排： 1课时. 教具：多媒体、实物投影仪. 内容分析 ：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、 坐标与坐标、 距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解 .通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，
2、 达到突破难点之目的. 使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学过程 ：一、复习引入：cbaABC1. 在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数: cbsincacosabtanbacot2. 前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制， 知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数. 二、讲解新课：对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究. 1. 设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）
3、一点P（x,y ）则P与原点的距离02222yxyxr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2比值ry叫做的正弦记作：rysinry)(x,P比值rx叫做的余弦记作：rxcos比值xy叫做的正切记作：xytan比值yx叫做的余切记作：yxcot比值xr叫做的正割记作：xrsec比值yr叫做的余割记作：yrcsc0 xy2400-5100根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边
4、上的位置的改变而改变. 当角的终边在纵轴上时，即Z)(2kk时，终边上任意一点P的横坐标x都为 0，所以 tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即（Z）时，终边上任意一点P的纵坐标都为 0，所以 cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - -
5、- - - - 3. 突出探究的几个问题：角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用三角函数是以“比值”为函数值的函数0r而 x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定. 定义域：对于正弦函数rysin，因为 0，所以ry恒有意义，即取任意实数，ry恒有意义， 也就是说 sin恒有意义， 所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数xytan，因为 x0时，xy无意义，即 tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有 x0， 所以当的终边
6、不在纵轴上时，xy恒有意义， 即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是)(2Zkk. 从而有tancossinyyy)(2ZkkRRcscseccotyyy)()(2)(ZkkZkkZkk4. 注意 : (1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点， 始边都与x轴的非负半轴重合 .(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的 . (3)sin是个整体符号，不能认为是“sin ”与“”的积 . 其余五个符号也是这样. (4) 定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置( 终边在坐标轴上的除外 ) ，即函数的定义与
7、的终边位置无关.(5) 比值只与角的大小有关. (6) 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是， 锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、 距离与坐标的比来定义的 . 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标， 余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标 . (7) 为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将
8、直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 三、讲解范例：例1 已知角的终边经过点P(2， 3)( 如图 ) ，求的六个三角函数值. 解：x2， 313) 3(222r于是13133133sinry13132132cosrx23tanxy32cotyx213secxr313cscyr例2求下列各角
9、的六个三角函数值.(1)0 (2) (3)23 (4) 2解： (1) 因为当0时，x，0，所以sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在sec0=1 csc0不存在(2) 因为当时，x，0，所以sin0 cos 1 tan0 cot不存在sec 1 csc不存在(3) 因为当23时，x0，所以023cos123sin23tan不存在023cot23sec不存在123csc(4) 当=2时ryx, 0, 所以 sin2=1 cos2=0 tan2不存在 cot2=0 sec2不存在 csc2=1 例3填表：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
10、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 030456090120135150180270360弧度sincostgctgseccsc例4 已知角的终边经过 P(4,3), 求2sin+cos的值已知角的终边经过 P(4a,3a),(a0) 求2sin+cos的值解：由定义：5r sin=53 cos=542sin+cos=52若0aar5则sin=53 cos=542sin+cos=52若0aar5则sin=53 cos=542sin+cos=52例5求函数xxxxytantancoscos的
11、值域解：定义域： cosx0 x的终边不在 x轴上又 tanx0 x的终边不在 y轴上当x是第象限角时，0,0 yx cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 当x是第象限角时,0, 0 yx|cosx|=cosx |tanx|=tanx y=2 当x是第象限角时, 0,0 yx |cosx|=cosx |tanx|=tanx y=0 当x是第象限角时, 0,0 yx |cosx|=cosx |tanx|=-tanx y=0 四、课堂练习：1. 若点P( 3，) 是角终边上一点，且32sin，则的值是 .答案：5562. 角的终边上一个点P的坐标为 (5a,-12a)(a0)，求
12、 sin+2cos的值 . 解：依题意得：x=5a,y=-12a, |13)12()5(2222aaayxr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - (1) 当a0时，角是第四象限角，则135cos,13121312sinrxaary, sin+2cos=-132; (2) 当a0时，角是第二象限角，则135cos,13121312sinrxaary. cos+2cos=132. 五、小结本节课我们给出了任意角三角函数的定
13、义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域， 任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到. 六、课后作业：课本 P习题已知角的终边上一点P的坐标是（x，2）(x0)，且3cosx，求 sin和 tan的值 . 分析：42xr，又rxx3cos，即x3x由于x 0，3 x249 x25，x5. 当x5时，P点的坐标是（5， 2）. 55252tan,3232sinxyry当x5时，P点的坐标是（5， 2）55252tan,3232sinxyry.答案：当 x=5时，552tan,32sin当x=5时，552tan,32sin七. 课后记 :名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -