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1、高等代数（北大版）2011-2012 第一学期考试卷A 课 程 名 称：高等代数任课教师：杨鸣赵晓东（A 卷）考 试（考 查）：考 试时 间：2007年 1 月日本 试 卷 共 6 页，满 分 100 分；考 试 时 间：120 分 钟题 号一二三四总 分阅 卷 教 师 签 名12312得 分一选择题（本大题共 8 个小题，每空4 分，共 32 分请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）1若n阶矩阵 A 与 B 相似，则【】AA 与 B 有相同特征值BA 与 B 有不同特征值CA 与 B 有相同特征向量DA 与 B 有不同特征向量2下列向量组中，线性无关的是【
2、】A 0B,0C1221,rm其中D,21r，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合3已知112212112212(,),(,)(,),(,)aab bccdd与是向量空间2F的两个基，则从基12,到基12,的过渡矩阵为【】A111112222abcdabcdB111112222cdabcdabC112121212aaccbbddD112121212ccaaddbb4下列子集中,作成向量空间Rn的子空间的是【】A121(,)|1 nniia aaaB0|),(121niinaaaa得分评卷人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -C12(,)|,1,2,nia
3、 aaaZ inD 1|),(121niinaaaa5欧氏空间V 的线性变换是对称变换的充要条件是V,，都有【】A,)(),(B|)(|C),()(,D把 V 的规范正交基变成V 的规范正交基6设矩阵A 为 n 阶方阵且|A|=0，则【】AA 中必有两行或两列的元素对应成比例BA 中至少有一行或一列的元素全为零；CA 中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合；DA 中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合7设V是n维向量空间，)(VL的维数为【】AnB2nC)1(21nnD 无限维8设123,是欧氏空间V 的规范正交基，V且1,1，2,0，3,3，则【】A133B233C12
4、33D123二填空题（本大题共5 个小题，每空4 分，共 20 分请将正确结果填在题中横线上）1三阶方阵A的特征多项式为32()223Af，则|A2设1322A，则向量11是 A的属于特征根的特征向量得分评卷人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -3BA,为n阶正交矩阵，且,0|A0|B，则|AB4取时，向量组12(1,0,1),(4,3)，3(1,3,1)线性相关5若 A 是正交矩阵，kR，要使 kA 为正交矩阵，则k=三计算题（本大题共3 个小题，共28 分请写出必要的推演步骤和文字说明）1（本小题6 分）在向量空间3R中，求由向量组123(2,3,1),
5、(1,4,2),(5,2,4)所生成子空间的基和维数2（本小题8 分）设F x表示数域F 上次数小于3 的多项式连同零多项式构成的向量空间，定义映射：()()f xfx1）验证是线性变换；2）求线性变换在基21,1,12xxx下的矩阵得分评卷人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -3（本小题14 分）对实对称矩阵122212221A求一个正交矩阵U，使U AU为对角形矩阵名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -四证明题（本大题共2 个小题，每小题10 分，共 20 分，须写出必要的推理过程和文字说明）1设,21n都是一个欧氏空间的向量,且是n,21的线性组合证明：如果与i正交,ni,2,1,那么02设123,是三维欧氏空间3R的一个标准正交基，证明：112321233123111(22),(22),(22)333得分评卷人名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -也是3R的一个标准正交基名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -