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1、一元二次方程1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般式：.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.（1）当时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程没有实数根.5.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程的实数根分别为、，则，.一元二次方程的根的判别式都成
2、立，主要应用有以下几个：（1）不需要解方程就可以判定方程根的情况；（2）根据系参数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题；（4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数；（5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.例1：根的判别式的应用（1）（2）【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根.【解析】（1）在中，方程有两个不相等的实数根；（2）方程是一元二次方程，常数项为0，无论取任何实数，均为非负数，故方程有两个实数根.例2：根的判别式的逆运用关于的一元二次方程.（1）k为何值时，方程有两
3、个不相等的实数根？（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）k为何值时，方程没有实数根？【解答】见解析【解析】.（1）方程有两个不相等的实数根，即，解得；（2）方程有两个相等的实数根，即，解得；（3）方程没有实数根，即，解得.例3：通过根的判别式推理论证求证：关于的方程没有实数根.【解答】见解析【解析】不论m取任何实数，即，巩固练习一选择题1已知一元二次方程a（x+m）2+n0（a0）的两根分别为3，1，则方程a（x+m2）2+n0（a0）的两根分别为（）A1，5B1，3C3，1D1，52方程的实数根的个数是（）A0个B1个C2个D3个3若x为任意实数，且M（7x）（3x）（4x2），则
4、M的最大值为（）A10B84C100D1214已知x，y为实数，且满足x2xy+4y24，记ux2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m（）ABCD二填空题5若关于x的方程（1m2）x2+2mx10的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 6若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+20有实根，则 7已知，则的值等于 8对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2（n+3）x3n20的两个根记为an、bn，则 9已知a是方程x22013x+10一个根，求a22012a+的值为 三解答题10当m为整数时，关于x的方程（2m1）x2（2m+1）x+10是否有有理根？如果有
5、，求出m的值；如果没有，请说明理由11已知关于x的一元二次方程：x2（2k+1）x+4（k）0（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC的一边长a4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求ABC的周长12已知实数a，b，c满足：a2+b2+c2+2ab1，又，为方程（a+b）x2（2a+c）x（a+b）0的两个实根，试求的值13已知关于x的方程（12k）x22x10（1）若此方程为一元一次方程，求k的值（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围14今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以
6、根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值15某汽车专卖店经销某种型号的汽车已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆（1）当售价为22万元
7、/辆时，求平均每周的销售利润（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价16某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？17每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本（1）本次进货共
8、花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本如果将乙款笔记本的零售价提高元（a25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升a%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值18某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进
9、货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？19某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？20某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，为了扩大销量，尽快减少库存，超市准备适当降价，据测算，若每箱降价2元，则每天可多售出4箱（1）如果要使每天销售该饮料获利14000元，则每箱应降价多少元（2）每天销售该饮料获利能达到14500元吗？若能，则每箱应降价多少？若不能，请说明理由21某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？22某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？