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1、矩阵论概述第1页，共34页，编辑于2022年，星期一课前预习、课中提高效率、课后复习课前预习、课中提高效率、课后复习书后要求的习题、主动自觉做书后要求的习题、主动自觉做改变思维观念改变思维观念“研究研究”n 建建 议议使用教材使用教材 矩阵论矩阵论 哈尔滨工程大学主编哈尔滨工程大学主编其他辅导类参考书（自选）其他辅导类参考书（自选）第2页，共34页，编辑于2022年，星期一E-mail:E-mail:wuhm_1981 wuhm_1981 授课教师：授课教师：授课教师：授课教师：吴红梅吴红梅吴红梅吴红梅Tel:Tel:8251938482519384第3页，共34页，编辑于2022年，星期一n
2、 课程的目的课程的目的 理解抽象！理解抽象！n 课程的本质课程的本质 研究结构！研究结构！矩矩 阵阵 论论第4页，共34页，编辑于2022年，星期一 线线线线 性性性性 空空空空 间间间间 与与与与 线线线线 性性性性 映映映映 射射射射Linear space and linear mapping Linear space and linear mapping Linear space and linear mapping Linear space and linear mapping 第第第第 一一一一 章章章章第5页，共34页，编辑于2022年，星期一教教 学学 内内 容容 和和 基基
3、本本 要要 求求1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；2,掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质；3,理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示,了解了解线性空间同构的含义线性空间同构的含义.重点重点:线性空间的概念；子空间的维数定理线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与；基变换与 坐标变换坐标变换.难点难点:基变换与坐标变换基变换与坐标变换第6页，共34页，编辑于2022年，星期一常见数域：常见数域：复数域复数域 C；实数域；实数域
4、 R；有理数域；有理数域 Q；设设F是至少包含两个数的数集，如果是至少包含两个数的数集，如果F中中F中的数，则称中的数，则称F为一个为一个数域数域任意两个数的和、差、积、商（除数不为任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是）仍是定义：定义：一一,数域的定义数域的定义（注意：自然数集注意：自然数集N及整数集及整数集Z都不是数域都不是数域）1.1 数数 域域第7页，共34页，编辑于2022年，星期一是一个数域是一个数域例例1证明：数集证明：数集证：证：又对又对 设设 则有则有 设设于是于是也不为也不为0第8页，共34页，编辑于2022年，星期一或或 矛盾）矛盾）（否则，若（否则，若则则于是有于
5、是有为数域为数域是数域是数域.类似可证类似可证Gauss数域数域第9页，共34页，编辑于2022年，星期一二、数域的性质定理二、数域的性质定理任意数域任意数域F都包括有理数域都包括有理数域Q证明：证明：设设F为任意一个数域由定义可知，为任意一个数域由定义可知，于是有于是有即即:有理数域为最小数域有理数域为最小数域进而有进而有而任意一个有理数可表成两个整数的商，而任意一个有理数可表成两个整数的商，第10页，共34页，编辑于2022年，星期一定义定义1 设设 是一个非空集合，是一个非空集合，为一数域如果对于为一数域如果对于任意两个元素任意两个元素 ，总有唯一的一个元素，总有唯一的一个元素 与之对与
6、之对应，称为应，称为 与与 的的和，和，记作记作一一,线性空间的定义和举例线性空间的定义和举例若对于任一数若对于任一数 与任一元素与任一元素 ，总有唯，总有唯一的一个元素一的一个元素 与之对应，称为与之对应，称为 与与 的的积积，记作记作 1.2 线线 性性 空空 间间 如果上述的两种运算满足以下如果上述的两种运算满足以下八条八条运算规律，运算规律，那么那么 就称为数域就称为数域 上的上的线性空间线性空间记为记为:第11页，共34页，编辑于2022年，星期一八条运算规律八条运算规律:第12页，共34页，编辑于2022年，星期一2.判别不是线性空间的方法：一个集合，对于判别不是线性空间的方法：一
7、个集合，对于定定义的义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能条性质的任一条，则此集合就不能 构成线性空间构成线性空间 说明说明1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称为称为线性运算线性运算第13页，共34页，编辑于2022年，星期一 （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例例1 实数域上的全体实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法和数乘
8、运算构成实数域上的线性空间，记作和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 一般线性空间的判定方法一般线性空间的判定方法第14页，共34页，编辑于2022年，星期一通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律算满足线性运算规律例例2例例3不是线性空间不是线性空间第15页，共34页，编辑于2022年，星期一例例4 正弦函数的集合正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间间是一个线性空间是一个线性空间.第16页，共34页，编辑于2022年，星期一例例5.正实数的全体，记作正实数的全体，记
9、作 ，在其中定义加法，在其中定义加法及乘数运算为及乘数运算为验证验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间(2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律线性运算规律第17页，共34页，编辑于2022年，星期一下面一一验证八条线性运算规律：下面一一验证八条线性运算规律：证明证明:所以对定义的加法与乘数运算封闭所以对定义的加法与乘数运算封闭第18页，共34页，编辑于2022年，星期一所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运
10、算构成线性空间第19页，共34页，编辑于2022年，星期一不构成线性空间不构成线性空间对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法例例6.个有序实数组成的数组的全体个有序实数组成的数组的全体解答解答:第20页，共34页，编辑于2022年，星期一1零元素是唯一的零元素是唯一的证明证明:假设假设 是线性空间是线性空间V中的两个零元素中的两个零元素，由于由于所以所以则对任何则对任何 ，有有二二,线性空间的性质线性空间的性质第21页，共34页，编辑于2022年，星期一2负元素是唯一的负元素是唯一的证明证明假设假设 有两个负元素有两个负元素 与与 ，那么那么则有则有向
11、量向量 的负元素记为的负元素记为第22页，共34页，编辑于2022年，星期一证明证明第23页，共34页，编辑于2022年，星期一4如果如果 ，则，则 或或 .证明证明假设假设那么那么又又同理可证：若同理可证：若 则有则有第24页，共34页，编辑于2022年，星期一 定义定义:设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间，为为 的一个子集，如果的一个子集，如果 对于对于 的两种运的两种运 算算(加法与数乘运算加法与数乘运算)也构成数域也构成数域 上的线性上的线性 空间空间,那么我们称那么我们称 为为 的一个的一个子空间子空间。三三.线性子空间线性子空间定理定理线性空间线性空间 的
12、非空子集的非空子集 构成子空间的充分构成子空间的充分必要条件是：必要条件是：对于对于 中的线性运算封闭中的线性运算封闭第25页，共34页，编辑于2022年，星期一例例7.对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ,它必有两个它必有两个平凡子空间平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间以及线性空间 本身。本身。例例8.设设 ,那么线性方程组那么线性方程组 的全部的全部解为线性空间解为线性空间 的一个子空间，我们称其为的一个子空间，我们称其为齐次线齐次线性方程组的解空间。性方程组的解空间。当齐次线性方程组当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间有
13、无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。所含向量的个数。第26页，共34页，编辑于2022年，星期一解解(1)不构成子空间不构成子空间.因为对因为对例例9有有第27页，共34页，编辑于2022年，星期一即即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间对矩阵加法不封闭，不构成子空间.对任意对任意于是于是有有第28页，共34页，编辑于2022年，星期一满足满足且且第29页，共34页，编辑于2022年，星期一 设设 是线性空间是线性空间 中的向量，中的向量，则由则由 的所有线性组合：的所有线性组合：构成的集合是构成的集合是
14、的子空间，称为由的子空间，称为由张成（生成）的子空间张成（生成）的子空间，记为：，记为：或：或：零向量集合与零向量集合与 本身称为本身称为平凡子空间平凡子空间，非平凡子空非平凡子空间称为间称为 的的真子空间真子空间张成子空间的定义张成子空间的定义:第30页，共34页，编辑于2022年，星期一思考题思考题第31页，共34页，编辑于2022年，星期一思考题解答思考题解答第32页，共34页，编辑于2022年，星期一再再见见第33页，共34页，编辑于2022年，星期一证：证：设设而数域而数域F中有无限多个不同的数，所以中有无限多个不同的数，所以V中有无限中有无限多个不同的向量多个不同的向量.注：注：只含一个向量只含一个向量零向量的线性空间称为零向量的线性空间称为零空间零空间.练习：练习：证明：数域证明：数域F 上的线性空间上的线性空间V若含有一个非零若含有一个非零向量，则向量，则V一定含有无穷多个向量一定含有无穷多个向量第34页，共34页，编辑于2022年，星期一