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1、矩阵论课件矩阵论课件.第第2 2章章 线性映射与线性变换线性映射与线性变换第第1 1章章 线性空间与内积空间线性空间与内积空间第第3 3章章-矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的JordanJordan标准形标准形第第4 4章章 矩阵的因子分解矩阵的因子分解第第7 7章章 矩阵函数与矩阵值函数矩阵函数与矩阵值函数第第5 5章章 Hermite Hermite矩阵与正定矩阵矩阵与正定矩阵第第6 6章章 范数与极限范数与极限第第8 8章章 广义逆矩阵广义逆矩阵第第1章章 线性空间与内积空间线性空间与内积空间 本章概述线性空间与内积空间的基本概念和基本理论。这些概念是通常几何空间概念的推广和抽象。在近代数学发展
2、中，这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。本章内容是学习本书的基础。1.1 预备知识：集合预备知识：集合映射与数映射与数域域1.2 线性空间线性空间1.3 基与坐标基与坐标1.4 线性子空间线性子空间1.5 线性空间的同构线性空间的同构1.6 内积空间内积空间 1.1 预备知识：集合预备知识：集合映射与数域映射与数域1.1.1 集合及其运算集合及其运算1.1.2 二元关系与等价关系二元关系与等价关系1.1.3 映射映射1.1.4 数域与代数运算数域与代数运算1.1.1 集合及其运算集合及其运算 集合集合是近代数学的最基本概念之一，它是由具有某种性质所确定的事物的总体。根据这种性质可以辨别任一事
3、物属于或不属于这个集合。属于这个集合的事物称为这个集合的元素。若a为集合A的元素，则a称属于A，记为 ；若a不是集合A的元素，则称a不属于A，记为 。集合表示方法集合表示方法列举法列举法 即把一个集合的元素都列举出来概括法概括法 即把这个集合的元素所具有的特 征性质表示出来。设A，B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A为B的子集子集，或称B包含包含A，记为 或 。如果且 ，则称集合A与B相等相等，记为 。含有有限个元素的集合称为有限集有限集；否则称为无限集无限集。不含任何元素的集合称为空空集集，记为 。为了方便，我们规定空集是任意集合的子集。定义定义1.1.1 设A，B是两个集
4、合，由属于A或者属于B的所有元素作成的集合称为A与B的并并集集，记为 ，即 或 由既属于A又属于B的所有元素作成的集合称为A与B的交集交集，记为 ，即 由集合的交与并运算的定义，显然有定理定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则1.1.2 二元关系与等价关系二元关系与等价关系定义定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对的集合 称为A与B的笛卡笛卡儿积儿积，记作 ，即 定义定义1.1.3 设A、B是两个集合，的子集R称为 中的一个二元关系二元关系，即对任意 ，如果 ，则称a与b有关系R，记为aRb。特别地，中的二元关系简称为A上的二元关系。则：1（1，1），（1，3），（2，2），（2
5、，4），（3，3），（3，4）,（4，1），（4，4）是选双学位专业的二元关系二元关系。定义定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R满足（1）自反性：对任意 ，有aRa；（2）对称性：对任意 ，如果aRb，则bRa；（3）传递性：对任意 ，如果 aRb，bRc，则aRc则称R是A上的一个等价关系等价关系。定义定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系，称 为a关于R的等价类等价类。A的所有元素关于R的等价类集合 称为A关于R的商集商集。定义定义1.1.6 设每个 都是集合A的非空子集，如果 ，并且对任意 ，当 时有 ，则称 是A的一个分类分类。例：例：张扑克 1（，）与同花，是扑克 2（，）与
6、同点，是扑克 1把分为四类同花类，则 2把分为类同点类。定理定理1.1.2 （1）集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。（2）集合A的每个分类都决定A 上的一个等价关系。证明证明（1）如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。（2）如果 是A的一个分类，令 存在 ，使得 则R是A上的一个等价关系。定义定义1.1.6 若集合A上的一个二元关系R满足（1）自反性：对任意 ，有aRa；（2）反对称性：对任意 ，如果aRb，且bRa，则a=b；（3）传递性：对任意 ，如果 aRb，bRc，则aRc则称R是A上的一个偏序关系偏序关系，记为“”。若是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于
7、偏序关系的偏序集，记为（A,）。定义定义1.1.6”设（A,）是一个偏序集，如果对任意 ，总有 或 则称是集合A上的顺序关系，并称（A,）为序集或序空间。1.1.3 映映 射射定义定义1.1.7 设A、B是两个非空集合，如果存在一个A 到B 的对应法则 f，使得对 A中的每一个元素 x 都有 B中唯一的一个元素 y 与之对应，则称 f 是A到B的一个映射映射,记为元素 称为元素 在映射 f 下的像像，称x为y的原像原像。集合A称为映射 f 的定义域定义域。当 A 中元素 x 改变时，x 在映射 f 下的像的全体作成 B 的一个子集，称为映射 f 的值值域域，记为R(f)。通常用记号抽象地表示
8、f 是A到B的一个映射。用记号表示映射 f 所规定的元素之间对应关系。定义定义1.1.8 设 f 是集合 A 到 B 的一个映射，（1）如果对任意 ，当 时有 ，则称f 是A到B内的一一映射内的一一映射或称f 是A到B的单映射单映射；（2）如果对任意 都有一个 使得 ，则称 f 是A 到B上的映射上的映射或称f 是A 到B的满映射满映射；（3）如果映射f 既是单映射又是满映射，则称f 是A 到B上的一一映射上的一一映射或称f 是A 到B的双映射双映射。设如果则称映射相等相等，定义定义1.1.9 设A、B、C是三个非空集合，并设 有两个映射由确定 A 到 C 的映射称为映射映射的乘积乘积，记为定
9、理定理1.1.3 设有映射 定义定义1.1.10 设有映射f:AB，如果存在映射 g:BA使得 其中 分别是A与B上的恒等映射，则称 g为 f 的逆映射逆映射,记为 。如果映射 f 有逆映射 ，则称 f 为可逆映射可逆映射。定理定理1.1.4 设映射f:AB是可逆的，则f 的逆 映射 是唯一的。定理定理1.1.5 映射f:AB是可逆映射的充分必要条件是 f 是A到B的双映射。定义定义1.1.11 设A 是一个非空集合，A 到自身的映射称为A 的变换变换；A 到自身的双映射称为A的一一 一变换一变换；如果A 是有限集，A 的一一变换称为A 的置换置换。1.1.4 数域与代数运算数域与代数运算定义定义1.1.12 设 P 是包含0和1在内的数集，如果 P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是 P 中的数，则称 P 为一个数域数域。定义定义1.1.13 设A,B,C是三个非空集合，到C的映射称为A与B到C的一个代数运算代数运算。特别地，到C的映射称为A到C的代数运算；到A的映射称为A的代数运算或A的二元运算二元运算，也称集合A对代数运算是封闭的。一个代数运算是一个特殊的映射。如果有A与B到C的一个代数运算记为“”,则由定义，对任意 ，经过代数运算 得唯一的 ，即 :(a,b)c，记为c=a b 结束结束