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1、专题11.6 离散型随机变量的均值与方差一、选择题1（2020全国高三（理）已知随机变量的分布列为130.160.440.40则（ ）.A1.32B1.71C2.94D7.64【答案】D【解析】由题意可得，随机变量的期望为，所以.故选：D.2（2019佛山市顺德区容山中学高二开学考试）在掷一枚图钉的随机试验中，令，若随机变量X的分布列如下：010.3则（ ）A0.21B0.3C0.5D0.7【答案】D【解析】因为，所以所以故选：D3.（2019四川高二期末（理）若离散型随机变量的分布列为则的数学期望（ ）AB或CD【答案】C【解析】由离散型随机变量的分布列，知：，解得，的数学期望.故选：C.4
2、（2019湖北高二期末（理）若样本数据的均值与方差分别为和，则数据的均值与方差分别为（ ）A，BCD【答案】D【解析】由题意有，则，新数据的方差是，故选：D5.（2020温州市龙湾中学高三月考）随机变量的分布列是-212若，则（ ）A0B2C3D4【答案】B【解析】由题意可知，又，所以；所以.故选：B.6（2020浙江高三一模）已知随机变量X的分布列如下：若随机变量Y满足，则Y的方差（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可知，则，则，所以故选：D7（2019浙江高三期末）已知随机变量的分布列如下，则E（）的最大值是( )-10aPABCD【答案】B【解析】根据分布列的性质的到,所有的概率和为1
3、,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,，根据公式得到 化简得到，根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到.此时,经检验适合题意.故答案为：B.8.（2019浙江高三）已知随机变量满足下列分布列，当且不断增大时，（ ）012A增大，增大B减小，减小C增大，先增大后减小D增大，先减小后增大【答案】C【解析】由题意可知，随机变量满足二项分布，即，易得，所以当且不断增大时，增大，先增大后减小.故选C.9（2020全国高三专题练习）随机变量的分布列为：012其中，下列说法不正确的是( )ABCD()随b的增大而减小DD()有最大值【答案】C【解析】根据分布列的性质得，即，故正确；根据期
4、望公式得，故正确；根据方差公式得，因为，所以时，取得最大值，故不正确，正确；故选：C10.（2019浙江高三期末）一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（ ）A，B，C，D，【答案】B【解析】可能的取值为；可能的取值为，故，.，故，,故，.故选B.二、多选题11（多选题）2020山东高三专题练习）若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（ ）AP（X1）E（X）BE（3X+2）4CD（3X+2）4D【答
5、案】AB【解析】随机变量X服从两点分布，其中，P（X1），E（X），D（X）（0）2（1）2，在A中，P（X1）E（X），故A正确；在B中，E（3X+2）3E（X）+234，故B正确；在C中，D（3X+2）9D（X）92，故C错误；在D中，D（X），故D错误.故选：AB.12（多选题）（2020山东高二期末）设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）AB，C，D，【答案】ACD【解析】因为，所以，故A正确；又，故C正确；因为，所以，故D正确.故选ACD.13（2020永安市第三中学高二期中）设离散型随机变量的分布列为012340.4
6、0.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）AB，C，D，【答案】CD【解析】由概率的性质可得，解得，,故选：CD14（2020全国高三专题练习）设，随机变量的分布列是：012则当在内增大时（ ）A减小B增大C先减小后增大D先增大后减小【答案】BD【解析】由题意，所以，所以在上随增大而增大；在上随增大而增大，在上随增大而减小，即先增大后减小.故选：BD.三、填空题15.（2020辽源市田家炳高级中学校高二期中（理）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么_【答案】【解析】，故答案为：16（2019苏州市苏州高新区第一中学高二月考（理）设随机变量的概率分布如下表所示，且.123
7、4则_.【答案】2【解析】由题意可知：，；，解，可得；故答案为：217（2020山东高三专题练习）已知的分布列如表，设，则的数学期望的值是_.101【答案】【解析】由已知得 ， ， ， 故答案为：18（2019浙江高二期中）已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为，则的数学期望=_，方差=_ .【答案】 【解析】依题意可知的可能取值为，且.故的分布列为XP所以,.19（2019浙江高考模拟）一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球
8、个、黑球个，现随机等可能取出小球.当有放回依此取出两个小球时，记取出的红球数为，则_；若第一次取出一个小球后，放入一个红球和一个黑球，再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为，则_.【答案】 【解析】可取值为0，1，2，所以 ；可取值为0，1，2，所以 ；20（2019浙江诸暨中学高三其他模拟）已知随机变量的的分布列如图所示，则_；若，则_.012pxy【答案】 【解析】由题意可知：，解得，所以，故答案为：；21（2019浙江高三期末）一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是_；若变量X为取出的三个小球中红
9、球的个数，则X的数学期望_【答案】 【解析】一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同现从中任意取出3个小球，基本事件总数，其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数，其中恰有2个小球颜色相同的概率是；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，数学期望故答案为：，四、解答题22（2020北京八中高二期末）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.（1）从中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率；（2）从中任意取出三个球，记为编号为偶数的球的个数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见详解，期望为.【解析】（1）从编号
10、为1，2，3，4，5，6的六个球任意取出两个球，共有种可能，取出的两球编号之和为偶数包含的基本事件有：，共个基本事件，因此从六个球中任意取出两个球求这两个球的编号之和为偶数的概率为；（2）由题意，的可能取值为，则，所以的分布列为：因此期望为.23.（2018天津高考真题（理）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的
11、分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）答案见解析；（ii）【解析】（）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽
12、取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A发生的概率为24（2015天津高考真题（理）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分
13、布列和数学期望.【答案】（1）635；（2）52.【解析】（）由已知，有P(A)=C22C32+C32C32C84=635所以事件A发生的概率为635.（）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4)所以随机变量X的分布列为X1234P1143737114 所以随机变量X的数学期望E(X)=1114+237+337+4114=5225（2020湖北滩桥高中高二期末（理）一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球（假设取到任何个小球的可能性相同）.（1）求取
14、出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；（2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为【解析】（1）由题可知：取出的3个小球所有的结果数含有编号为4的结果数所以所求得概率为（2）所有得可能取值为：3，4，5所以的分布列为所以26（2020山西应县一中高二期中（理）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天
15、的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105 乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由【答案】（1）.（2）见解析【解析】（1）记抽取的天送餐单数都不小于40为事件，则.（2）设乙公司送餐员送餐单数为，则当时
16、，当时，当时，当时，当时，.所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为： 228234240247254 所以依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为所以甲公司送餐员日平均工资为元.由得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为，故推荐小王去乙公司应聘.27（2018广东高三一模）现有长分别为、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根（1）当时,记事件抽取的根钢管中恰有根长度相等，求；（2）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,求的分布列；令，求实数的取值范围【答案】（1）（2）的分布列为：23456 ，【解析】 (1)事件为随机事件， 4分（2）可能的取值为 的分布列为：23456 9分 11分， 14分第19页，总19页