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1、专题11.5 离散型随机变量的分布列【考纲要求】1.通过具体案例，了解离散型随机变量的概念，理解随机变量的分布列2.通过具体案例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.【知识清单】知识点1. 离散型随机变量及其分布列1离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，等表示(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量随机变量的线性关系：若是随机变量，其中是常数，则也是随机变量.2. 分布列的两个性质，；.3分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概
2、率之和为1可求参数的值(2)随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率知识点2. 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为01其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布其中称为成功概率(2)超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，其中，且，称分布列为超几何分布列.01m(3)设离散型随机变量可能取得值为，取每一个值 ()的概率为，则称表为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列【考点梳理】考点一 ： 离散型随机变量分布列的性质【典例1】（202
3、0常州市新桥高级中学高二期中）下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（ ）X3459PABCD【答案】C【解析】，解得.故选：C【典例2】（2020陕西高二期末（理）离散型随机变量的分布列为下表，则常数的值为（ ）01ABC或D以上都不对【答案】B【解析】由题可知：故选：B【典例3】（2020防城港市防城中学高二期中（理）袋中装有一些大小相同的球，其中标号为号的球个，标号为号的球个，标号为号的球个，标号为号的球个现从袋中任取一球，所得号数为随机变量，若，则_【答案】【解析】由题意可知，所有球的个数为，由古典概型的概率公式可得，解得.故答案为：.【规律方法】离散型随机变量的分布列的性质的应
4、用(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确【变式探究】1.（2019吉林高二期末（理）随机变量的分布列如下表，其中，成等差数列，且，246则（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得.则，故选A.2.（2020广东高二期末）设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则（ ）Aa=BP(X)=CP(X)=+，P(X4a)=P(X)=，E(X)=+.故选：B.3.（2019吉林高二期中（理）设随机变量的分布列,则
5、 _【答案】.【解析】因为随机变量的分布列,所以，解得，因此.故答案为.【特别提醒】1对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确2确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的3.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数考点二 ：超几何分布【典例4】（2020北京高二期末）某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，；当时，则，故选：C.【典例5】（2019陕西高三（理）盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中取
6、3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求的分布列.【答案】详见解析【解析】的可能取值为3，4，5，6，.此时旧球个数的概率分布列为3456P【规律方法】1随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然2.超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题(2)随机变量为抽到的某类个体的个数3超几何分布的应用条件及实质(1)条件：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考察某类个体个数的概率分布(2)实质：古典概型问题4求超几何分布的分
7、布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列【变式探究】1.（2019淮北师范大学附属实验中学高二月考（理）箱中装有4个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量为取出的3个球所得分数之和.（1）若，求的值；（2）当时，求的分布列.【答案】（1）1；（2）分布列见解析.【解析】（1）由题意得：取出的个球都是白球时，随机变量，即：，解得：（2）由题意得：所有可能的取值为：则；.的分布列为：2.
8、（2019周口市中英文学校高二期末（理）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数的分布列【答案】(1)；(2)0123【解析】 (1)所选3人中恰有一名男生的概率； (2) 的可能取值为0,1,2,3.的分布列为:0123考点三：离散型随机变量分布列的求法【典例6】（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7
9、人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）答案见解析；（ii）67【解析】（）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=C4kC33-kC73（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P
10、13512351835435（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67所以，事件A发生的概率为67【典例7】（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.（）从服药的50名患者
11、中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列.【答案】（）0.3. （）见解析.【解析】（）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，指标y的值小于60的有15人，所以从概率为.（）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.所以的分布列为012 【总结提升】1. 求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一
12、行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率而超几何分布就是此类问题中的一种(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i1,2,3，n)；(2)求出各取值的概率P(Xxi)pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求
13、的分布列或某事件的概率是否正确【变式探究】1.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间
14、的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；【答案】(1)见解析.【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，.因此的分布列为0.20.40.42.（2018陕西高二期末（理）某企业有、两个岗位招聘大学毕业生，其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如下表：岗位岗位总计女生12820男生245680总计3664100（1）根据以上数据判断是有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关？（2）从投简历的女生中随机抽取两人，记其中投岗位的人数为，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.0500.0250.
15、0103.8415.0246.635【答案】(1)有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关.(2)见解析.【解析】（1），故有的把握认为招聘的、两个岗位与性别有关.（2）的可能取值为0，1，2，.的分布列为012.【总结提升】1.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值(3)根据分布列和期望、方差公式求解注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题2.离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率(3)画表格：按规范要求形式写出分布列(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确第13页，总13页