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1、第19讲 简单的递推数列竞赛热点递推数列是数列中的一类非常重要的形式，有关递推数列的试题在国内外各级各类竞赛中屡见不鲜。有些题目技巧性较强，需要掌握与递推数列有关的知识、方法才能解决。1对数列来说，若存在和一个把与前面项，联系起来的方程，则称数列为阶递推数列。方程是数列的阶递推方程。2研究递推数列时，通常要求它的通项的表达式，即通项公式，求递推数列的通项公式的常用方法如下：（1）叠加法形为的递推数列的通项。因为，以上诸式相加得（2）叠乘法形如的递推数列的通项=（3）待定系数法形如（为常数，）的递推数列的通项。令，则即所以数列是一等比数列，公比为，即（4）转化法形如（的常数）的递推数列的通项。因
2、为令，则，用叠加法求出，从而的通项可得。（5）特征根法形如的递推数列的通项。设一元二次方程的两根为，若时，；若时，其中分别由初始条件所得的方程组和唯一确定。（6）不动点法形如的递推数列的通项。高，若方程有两个不等的根，则，即数列成等比数列，公比为，即可求。若方程有两个相等的根，则，即数列成等差数列，公差为，即易求。解题示范例1：已知数列（1）求的通项公式；（2）若数列中，求证：思路分析：由递推式可知数列可以转化为等比数列求解。（1）解：设成立。即，所以即所以数列是以为首项，为公比的等比数列。即所以数列是以为首项，为公比的等比数列。即所以（2）证明：当时，故有.假设时，当时，又，所以也就是说，当
3、时，结论成立。综上可知点评：本题主要考查递推数列的简单应用，以及基本数列的知识，对数学归纳运用和不等式的变形有一定要求，此类题也是高考题和竞赛题的基本题型。例2：在数列中，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）证明：存在，使得对任意均成立。思路分析：关键对递推式的转化与处理。解：（1）由可得所以数列为等差数列，其公差为1，即故数列的通项为（2）设，当时，由得所以此时数列的前项和当时，（3）证明：欲证 由可知，要使成立，只要因为 ，所以成立。因此，存在，使得均成立.点评：本题以递推数列为载体，综合了等差数列、等比数列、不等比式的知识，对分析推理都有较高的要求。例3：已知数列满足，求
4、通项思路分析：数列的递推式为公式，可考虑利用不动点法求解。解：设函数，由得.又由可知即所以所以两边取对数得所以数列是等比数列，公比为2。即解得点评：此题认准递推数列的类型，利用不动点法求解，程序性强，易于转化与操作。例4：在数列和中，且 ，求和思路分析：由，消去，得到关于数列的递推式，再识别类型加以解决。解：由，可得 所以同理可得 两数列、的特征方程均为，解得因而令，由得所以，解得，解得故点评：此例是用特征根法求数列通项的方法，同时由可得，即数列为常数列，所以，亦可求出.例5：已知数列满足，数列满足，且对于，有，试比较与的大小。思路分析：该数列、的递推式都是含有根式的形式，且开三次方根，与常见
5、的形式差别较大，可考虑从观察结构入手突破。解：对递推式两边立方得即令，则于是所以于是由可知所以数列是等比数列，公比为，即，对递推式两边立方得令，则，则，于是所以即又即，所以数列是等比数列，公比为从而综上可知，所以当时，当时，点评：对含有根式的递推数列问题，用三角代换法使其脱去根号，非常有效，而进行三角代换时，常通过递推式的结构特征入手，选择恰当的三角函数代换。例6：已知，求证：都是整数思路分析：对递推式含有根式的形式，可考虑去根号，然后再处理递推关系。证明：因为，当时，由移项、平方得 从而即、说明是方程的两个不等的根所以再由及和数学归纳法得，都为整数点评：此例中构造一元二次方程解题，化难为易，
6、快捷方便。此例也可由得，进一步得例7：已知数列，且，试求通项思路分析：此数列的递推复杂，含有乘积项，宜从整体上加以分析求解。解：由已知得，所以.以上两式相减得即.设，则，且故且，有所以即令，且设将代入后与比较，由待定系数法得， 由得由等比数列得，解、可得引申：此题也可对，作出奇偶分析，分别通过特征根法求出选项。例8：设数列、满足，且，求证：是完全平方数。（2000联赛题）思路分析：此题的递推式涉及两个数列，最朴素的想法是将消去，然后求解。证明：由已知有，即化简得整理得构造新数列，记所以由特征根法可知，根为即取时，解得则所以 故是完全平方数。点评：含数列连续三项的线性表达式求数列的通解是数学竞赛
7、的基本知识，特征根法是求解的主要方法。而递推数列是高中数学竞赛的“热点”之一，题目灵活多变，解答时需认清类型，合理化归。能力测试能力测试1在中，CD为斜边上的高，D为垂足， 设数列的通项为，2，3，则（ ）ABCD2已知数列由，则（ ）A，但B，但C整除中的每一项D576仅整除中的有限项3已知数列满足，记，则下列结论正确的是（ ）ABCD，4已知数列，对总有，则等于（ ）ABC2D5数列的前项和为，已知，则等于（ ）ABCD6设数列满足，则等于（ ）A198B55C204D1887在数列中，则。8在数列中，且，则。9在数列中，则。10在数列中，若，则。11在数列中，则该数列的通项为。12已知数列，则。13已知数列满足，求证：14已知正整数列中，且，求的通项公式。15已知若当时，的值都能被9整除，求的最小值。冲击金牌16已知数列满足：，其中为给定的正整数。求证：数列的每一项都是整数，且17设为方程的两个根，令（1）求证：，有；（2）求所有正整数，满足对任意正整数，有整除18已知数列满足，数列满足，求证：