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1、1 / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 5 5 章数列第章数列第 1 1讲数列的概念与简单表示法学案讲数列的概念与简单表示法学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项考点 2 数列的分类考点 3 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法考点 4 数列的通项公式如果数列an的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式必会结论1若数列an的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 anError!2在
2、数列an中，若 an 最大，则Error!若 an 最小，则Error!3数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( )(2)数列：1,0,1,0,1,0，通项公式只能是 an.( )(3)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对nN*，都有2 / 13an1Sn1Sn.( )(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点( )答案 (1) (2) (3) (4)2课本改编数列
3、 1， ， ， ， ，的一个通项公式 an 是( )A. B. C. D.n 2n3答案 B解析 由已知得，数列可写成， ， ，故该数列的一个通项公式为.故选 B.3课本改编在数列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，则的值是( )A. B. C. D.3 8答案 C解析 由已知得 a21(1)22，2a32(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，.故选 C.4已知 f(1)3，f(n1)(nN*)则 f(4)_.答案 5 4解析 由 f(1)3，得 f(2)2，f(3)，f(4).52018山东师大附中月考已知数列an的前 n 项和Sn，则 a5a6
4、_.答案 1 24解析 a5a6S6S4.6课本改编在数列an中，a12，an1an，则数列an_.答案 31 n解析 由题意，得 an1an，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a13 / 1323.板块二 典例探究考向突破考向 由数列的前几项求数列的通项公式例 1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)1,7，13,19，；(2)，1， ， ，；(3)， ， ， ，；(4)1,3,6,10,15，；(5)3,33,333,3333，.解 (1)符号问题可通过(1)n 或(1)n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n
5、(6n5)(2)将数列统一为， ， ， ，对于分子 3,5,7,9，是序号的2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21，因此可得它的一个通项公式为 an.(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为，原数列可化为， ， ，所以 an(1)n.(4)将数列改写为， ， ， ， ，因而有 an，也可用逐差法a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式累加得 an.(5)将数列各项改写为， ， ， ，
6、分母都是 3，而分子分别是101,1021,1031,1041，所以 an(10n1)触类旁通观察法求通项公式的常用技巧求数列的通项公式实际上是寻找数列的第 n 项与序号 n 之间的关系，常用技巧有：(1)借助于(1)n 或(1)n1 来解决项的符号4 / 13问题；(2)项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系；(3)对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决考向 由 an 与 Sn 的关系求通项 an例 2 (1)已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n，则an_.答案 4n5解析
7、(1)a1S1231，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于 a1 也适合此等式，an4n5.(2)设 Sn 为数列an的前 n 项的和，且 Sn(an1)(nN*)，则 an_.答案 3n解析 当 n2 时，anSnSn1(an1)(an11)，整理，得 an3an1，即3，又 a13，数列an是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，an3n.(3)已知数列an，满足 a12a23a3nan2n，则an_.答案 Error!解析 当 n1 时，由已知，可得 a1212，当 n2 时，a12a23a3nan2n， 故 a12a23a3(n1)an12n1，
8、 由得 nan2n2n12n1，an.显然 n1 时不满足上式，anError!触类旁通给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an 的常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二5 / 13是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.【变式训练】 (1)已知数列an的前 n 项和 Sn3n1，则an_.答案 Error!解析 当 n1 时，a1S1314；当 n2 时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当 n1 时，23112a1，所以 anError!(2)2018广州模拟设数列an满足a13a232a33n1
9、an，则 an_.答案 1 3n解析 因为 a13a232a33n1an，则当 n2 时，a13a232a33n2an1，得 3n1an，所以 an(n2)由题意知 a1，符合上式，所以 an.(3)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.答案 n1解析 由已知 Sn2an1，得 Sn2(Sn1Sn)，即 2Sn13Sn，而 S1a11，所以 Snn1.考向 由递推公式求数列的通项公式命题角度 1 形如 an1anf(n)，求 an例 3 在数列an中，a14，nan1(n2)an，求数列an的通项公式解 由递推关系得，又 a14，ana1442n(n1)6 / 1
10、3(nN*)命题角度 2 形如 an1anf(n)，求 an例 4 (1)2015江苏高考设数列an满足 a11，且an1ann1(nN*)，求数列前 10 项的和解 由题意可得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n，则2，数列的前 10 项的和为2.(2)若数列an满足：a11，an1an2n，求数列an的通项公式解 由题意知 an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.命题角度 3 形如 an1AanB(A0 且 A1)，求 an例 5 已知数列an中，a11，an12an3，求 an.解 设递推公式 an12an3 可以转化
11、为an1t2(ant)，即 an12ant，解得 t3.故递推公式为 an132(an3)令 bnan3，则 b1a134，且2.所以bn是以 b14 为首项，2 为公比的等比数列所以 bn42n12n1，即 an2n13.命题角度 4 形如 an1(A，B，C 为常数)，求 an例 6 已知数列an中，a11，an1，求数列an的通项公式解 an1，a11，an0，即，又 a11，则1，是以 1 为首项，为公差的等差数列，(n1)，an(nN*)触类旁通由递推关系式求通项公式的常用方法7 / 13(1)已知 a1 且 anan1f(n)，可用“累加法”求 an.(2)已知 a1 且f(n)，
12、可用“累乘法”求 an.(3)已知 a1 且 an1qanb，则 an1kq(ank)(其中 k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank(4)形如 an1(A，B，C 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解核心规律已知递推关系求通项，一般有以下方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)累加法、累乘法、待定系数法满分策略1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 anf(n)和函数 yf(x)的单调性是不同的2.数列的通项公式不一定唯一3.在利用数列的前 n 项和求通项时，往往容易忽略先求出 a1，而是直接把数列的通项公式写成 an
13、SnSn1 的形式，但它只适用于 n2 的情形.板块三 启智培优破译高考数学思想系列 6用函数思想解决数列的单调性问题2018南京段考数列an的通项公式是 ann2kn4.(1)若 k5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值(2)对于 nN*，都有 an1an.求实数 k 的取值范围解题视点 (1)求使 anan 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 ann2kn4，可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 nN*，所以3.答题启示 1 在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取.,2 本题易错答案为 k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性
14、，即自变量是正整数.跟踪训练已知数列an中，an1(nN*，aR，且 a0)(1)若 a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的 nN*，都有 ana6 成立，求 a 的取值范围解 (1)an1(nN*，aR，且 a0)，又a7，an1.结合函数 f(x)1的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)数列an中的最大项为 a52，最小项为 a40.(2)an11.对任意的 nN*，都有 ana6 成立，结合函数 f(x)1的单调性，知 56，10a8.故 a 的取值范围为(10，8)板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标1已知数列， ，2，则 2 是该数列的(
15、 )A第 5 项 B第 6 项 C第 7 项 D第 8 项9 / 13答案 C解析 由数列， ，2，的前三项， ，可知，数列的通项公式为an，由2，可得 n7.故选 C.22018上饶模拟已知数列an满足 an1ann，若a12，则 a4a2( )A4 B3 C2 D1答案 D解析 由 an1ann，得 an2an1n1，两式相减得an2an1，令 n2，得 a4a21.故选 D.32018济宁模拟若 Sn 为数列an的前 n 项和，且 Sn，则等于( )A. B. C. D30答案 D解析 当 n2 时，anSnSn1，5(51)30.故选 D.4已知数列an满足 a11，an1an2n(n
16、N*)，则 a10( )A64 B32 C16 D8答案 B解析 an1an2n，an2an12n1，两式相除得2.又a1a22，a11，a22.则24，即 a102532.故选 B.5在各项均为正数的数列an中，对任意 m，nN*，都有amnaman.若 a664，则 a9 等于( )A256 B510 C512 D1024答案 C解析 在各项均为正数的数列an中，对任意 m，nN*，都有amnaman.a6a3a364，a38.a9a6a3648，a9512.故选 C.62018辽宁实验中学月考设数列an的前 n 项和为 Sn，10 / 13且 Sn2(an1)，则 an( )A2n B2
17、n1 C2n D2n1答案 C解析 当 n1 时，a1S12(a11)，可得 a12；当 n2时，anSnSn12an2an1，an2an1，an22n12n.选 C.7若数列an的前 n 项和 Snn210n(nN*)，则数列nan中数值最小的项是( )A第 2 项 B第 3 项 C第 4 项 D第 5 项答案 B解析 Snn210n，当 n2 时，anSnSn12n11；当 n1 时，a1S19 也适合上式an2n11(nN*)记 f(n)nann(2n11)2n211n，此函数图象的对称轴为直线 n，但 nN*，当 n3 时，f(n)取最小值于是，数列nan中数值最小的项是第 3 项故选
18、 B.8已知数列an中，a11，若 an2an11(n2)，则 a5的值是_答案 31解析 an2an11，an12(an11)，2，又 a11，an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，即 an122n12n，a5125，即 a531.92018洛阳模拟数列an中，a11，对于所有的n2，nN*，都有 a1a2a3ann2，则a3a5_.答案 61 16解析 由题意知：a1a2a3an1(n1)2，11 / 13所以 an2(n2)，所以 a3a522.102015全国卷设 Sn 是数列an的前 n 项和，且a11，an1SnSn1，则 Sn_.答案 1 n解析 an1Sn1Sn，Sn1
19、SnSn1Sn，又由a11，知 Sn0，1，是等差数列，且公差为1，而1，1(n1)(1)n，Sn.B 级 知能提升12018天津模拟已知正数数列an中，a11，(n2)a(n1)aanan10，nN*，则它的通项公式为( )BanAan 2 n1DannCan 答案 B解析 由题意可得，则 ana11.故选 B.2已知数列an的通项公式为 an，若数列an为递减数列，则实数 k 的取值范围为( )B(2，)A(3，) D(0，)C(1，) 答案 D解析 因为 an1an，由数列an为递减数列知，对任意 nN*，an1an0，所以 k33n 对任意 nN*恒成立，所以 k(0，)故选D.320
20、18重庆模拟数列an满足 an112 / 13Error!a1，则数列的第 2018 项为_答案 1 5解析 a1，a22a11.a32a2.a42a3.a52a41，a62a51，.该数列周期为 T4.a2018a2.4已知 a12a222a32n1an96n，求数列an的通项公式解 令 Sna12a222a32n1an，则 Sn96n，当 n1 时，a1S13；当 n2 时，2n1anSnSn16，an.而 n1 时，a13，不符合上式，通项公式 anError!52018贵阳模拟已知在数列an中，a11，前 n 项和Snan.(1)求 a2，a3；(2)求an的通项公式解 (1)由 S2a2，得 3(a1a2)4a2，解得 a23a13；由 S3a3，得 3(a1a2a3)5a3，解得 a3(a1a2)6.(2)由题设知 a11.当 n1 时，有 anSnSn1anan1，整理，得 anan1.于是 a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上 n 个等式两端分别相乘，整理，得 an.综上，an的通项公式 an.13 / 13