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1、 2.3.3直线与圆的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1理解直线与圆的三种位置关系(重点)2会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系(重点)3能解决直线与圆位置关系的综合问题(难点)1通过直线与圆的位置关系的学习，培养直观想象逻辑推理的数学核心素养2通过解决直线与圆位置关系的综合问题，培养数学运算的核心素养早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系你发现了吗？直线与圆的位置关系的判定(直线AxByC0，AB0，圆(xa)2(yb)2r2，r0)
2、位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离ddrdrdr判定方法代数法：由消元得到一元二次方程的判别式000图形1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切()答案(1)(2)2(教材P110练习A改编)直线3x4y50与圆x2y21的位置关系是()A相交B相切C相离 D无法判断B圆心(0,0)到直线3x4y50的距离d1，又圆x2y21的半径为1，dr，故直线与圆相切3直线xy1与圆x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是 0a1由题意得圆心
3、(0，a)到直线xy10的距离大于半径a，即a，解得1a1，又a0，0a14直线xy20，截圆x2y24所得的弦长是 2圆心到直线xy20的距离d所以弦长l222直线与圆位置关系的判定【例1】已知直线yxb与圆x2y22，当b为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？思路探究可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断解法一：由得2x22bxb220，方程的根的判别式(2b)242(b22)4(b2)(b2)(1)当2b2时，0，直线与圆有两个公共点(2)当b2或b2时，0，直线与圆只有一个公共点(3)当b2或b2时，0方程组没有实数解
4、，直线与圆没有公共点法二：圆的半径r，圆心O(0,0)到直线yxb的距离为d当dr，即2b2时，圆与直线相交，有两个公共点当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相切，直线与圆只有一个公共点当dr，|b|2，即b2或b2时，圆与直线相离，圆与直线无公共点直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系1已知圆的方程x2(y1)22，直线yxb，当b为何值时，圆与直线有两个
5、公共点，只有一个公共点，无公共点？解法一：由得2x22(1b)xb22b10，其判别式4(1b)28(b22b1)4(b3)(b1)，当3b1时，0，方程有两个不等实根，直线与圆有两个公共点；当b3或1时，0，方程有两个相等实根，直线与圆有一个公共点；当b3或b1时，0，方程无实数根，直线与圆无公共点法二：圆心(0,1)到直线yxb距离d，圆半径r当dr，即3b1时，直线与圆相交，有两个公共点；当dr，即b3或1时，直线与圆相切，有一个公共点；当dr，即b3或b1时，直线与圆相离，无公共点直线与圆相切的有关问题【例2】过点A(4，3)作圆C：(x3)2(y1)21的切线，求此切线的方程思路探究
6、利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程解因为(43)2(31)2171，所以点A在圆外(1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y3k(x4)因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k所以切线方程为y3(x4)，即15x8y360(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x4综上，所求切线方程为15x8y360或x4过一点的圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关
7、系得切线的斜率为，由点斜式可得切线方程如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程xx0或yy0(2)点在圆外时几何法：设切线方程为yy0k(xx0)由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由0求出k，可得切线方程提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解2过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，求该直线的方程解圆x2y24x30化为标准式(x2)2y21，圆心C(2,0)，设过原点的直线方程为ykx，即kxy0直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径即1，3k21，k2，解得k切
8、点在第三象限，k0，所求直线方程为yx直线截圆所得弦长问题探究问题1已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？提示将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l2【例3】直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2y225相交截得的弦长为4，求l的方程思路探究设出点斜式方程，利用交点坐标法或利用r、弦心距及弦长的一半构成直角三角形可求解据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5k(x5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，法
9、一：联立方程组消去y，得(k21)x210k(1k)x25k(k2)0由10k(1k)24(k21)25k(k2)0，解得k0又x1x2，x1x2，由斜率公式，得y1y2k(x1x2)|AB|4两边平方，整理得2k25k20，解得k或k2符合题意故直线l的方程为x2y50或2xy50法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半在RtAHO中，|OA|5，|AH|AB|42，则|OH|，解得k或k2直线l的方程为x2y50或2xy50(变条件)直线l经过点P(2，1)且被圆C：x2y26x2y150所截得的弦长最短，求此时直线l方程解圆的方程为(
10、x3)2(y1)225，圆心C(3,1)因为|CP|5，所以点P在圆内当CPl时，弦长最短又kCP2所以kl，所以直线l的方程为y1(x2)，即x2y0直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有d2r2，则|AB|2图1图2(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|(直线l的斜率k存在且不为0)1如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数
11、，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法提醒：能用几何法，尽量不用代数法(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可2利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为xay10，则应将其化为xay1，然后代入消x(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()A相切B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离B圆心到
12、直线的距离d1又直线yx1不过圆心(0,0)直线与圆相交但不过圆心2设直线l过点P(2,0)，且与圆x2y21相切，则l的斜率是()A1B CDC设l：yk(x2)，即kxy2k0又l与圆相切，1k3直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为 4圆的标准方程(x1)2(y2)25，圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1，所以弦长为244若直线xym0与圆x2y22相离，则m的取值范围是 m2或m2因为直线xym0与圆x2y22相离，所以，解得m2或m25过点(1，2)的直线l被圆x2y22x2y10截得的弦长为，求直线l的方程解由题意，直线与圆要相交，斜率必须存在，设为k设直线l的方程为y2k(x1)又圆的方程为(x1)2(y1)21，圆心为(1,1)，半径为1，所以圆心到直线的距离d解得k1或k所以直线l的方程为y2x1或y2(x1)，即xy10或17x7y30