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1、 2.4曲线与方程学 习 目 标核 心 素 养1了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系2理解曲线的方程和方程的曲线的概念(重点、易混点)3学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法4掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤5掌握求轨迹方程的几种常用方法(重点、难点)6初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质1通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养2借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养3通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养4借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运
2、算素养我国著名的数学家华罗庚先生对数形结合思想非常重视，他曾经说过数缺形来少直观，形缺数则难入微，可见，数形结合是中学数学非常重要的数学思想，在前面我们学习了直线和圆的方程对数形结合思想有了初步的了解，本节内容我们将进一步学习曲线与方程的概念，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合思想的应用1曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程一个二元方程总可以通过移项写成F(x，y)0的形式，其中F(x，y)是关于x，y的解析式在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)0之间具有如下关系：曲线C上点的坐标都是方程F(x，y
3、)0的解；以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上那么，方程F(x，y)0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”，会出现什么情况？举例说明提示如果曲线与方程仅满足“以方程F(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上”，有可能扩大曲线的边界如方程y表示的曲线是半圆，而非整圆思考2：如果曲线C的方程是F(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示若点P在曲线C上，则F(x0，y0)0；若F(x0，y0)0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是F(x0，y0)02两条曲线的
4、交点坐标曲线C1：F(x，y)0和曲线C2：G(x，y)0的交点坐标为方程组的实数解3解析几何研究的主要问题(1)由曲线求它的方程(2)利用方程研究曲线的性质4求曲线的方程的步骤5利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法(1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性设曲线C的方程为：f(x，y)0，一般有如下规律：如果以y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；如果以x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；如果同时以x代替x，以y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性例如，如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于
5、y轴对称事实上，设点P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点的对称点P2(x，y)必在曲线上因为P(x，y)，P2(x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称(2)根据曲线的方程画曲线对于这类问题，往往要把方程进行同解变形注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作yf(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线上
6、，则方程f(x，y)0，即为曲线C的方程()(2)方程xy20是以A(2,0)，B(0,2)为端点的线段的方程()(3)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样()(4)求轨迹方程就是求轨迹()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)曲线的方程必须满足两个条件(2)以方程的解为坐标的点不一定在线段AB上，如M(4,6)就不在线段AB上(3)对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样(4)求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形2点P(a1，a4)在曲线yx25x3上，则a的值为()A1或5B1或5C2或3 D2或3B由
7、点P(a1，a4)在曲线yx25x3上，得a4(a1)25(a1)3，即a26a50得a1或a53方程xy2x2y2x所表示的曲线()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称 D关于直线xy0对称C将(x，y)代入xy2x2y2x方程不变，故选C4平面上有三点A(2，y)，B，C(x，y)若，则动点C的轨迹方程为 y28x(x0)，由得2x0，即y28x(x0)曲线与方程关系的应用【例1】已知方程x2(y1)210(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值解(1)12(21)210，()2(31)2610，点P(1，2)在方程x2
8、(y1)210表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲线上(2)点M在方程x2(y1)210表示的曲线上，x，ym适合上述方程，即(m1)210，解得m2或m，m的值为2或1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题1若曲线y2xy2xk通过点(a，a)(aR)，则k的取值范围是 由曲线y2xy2xk通过点(a，a)，所以(a)2a(a)2ak，即k2a22a2，所以k由方程研究曲线的性质【例2】已知
9、曲线C的方程是x4y21关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：曲线C关于原点对称；曲线C关于直线yx对称；曲线C所围成的区域的面积大于其中，所有正确结论的序号是 思路探究分析关于原点对称的两个点(x，y)，(x，y)，是否都在曲线上，可判断；分析关于直线yx对称的两个点(x，y)，点(y，x)，是否都在曲线上，可判断；求出曲线C所围成的区域面积，可判断将方程中的x换成x，y换成y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4x21与原方程不同，故错误；在曲线C上任取一点M(x0，y0)，xy1，|x0|1，xx，xyxy1，即点M在圆x2y21外，故正确
10、故正确的结论的序号是讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面：(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；(3)研究曲线的对称性(关于x轴、y轴、原点)；(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线2画出方程y的曲线解y|x|1|，易知xR，y0用x代替x
11、，得|x|1|x|1|y，所以曲线关于y轴对称当x0时，y|x1|分段画出该方程的图像，即为y轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程y的图像，如图所示直接法求曲线方程【例3】一个动点到直线x8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程思路探究利用动点到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍列等式，化简即可求出动点的轨迹方程解设动点P(x，y)，由题意，|x8|2，两边平方可得：x216x644x216x164y2整理得：1所以动点的轨迹方程为：1直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y之
12、间的关系并化简主要有以下两类常见题型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程可直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性3如图，线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|2a(a0)，|CD|2b(b0)，动点P满足|PA|PB|PC|PD|，求动点P的轨迹方程解以O为坐标原点，直线AB，CD分别为x轴、y轴建立直角坐标系(图略)，则A(a，0)，B(a,0)，C(0，b)，D(0，b)，设P(x，y)是曲线上的任意一点，由题意知，|PA|PB|PC|PD|，化简得x2y2故动点P的轨迹方程为x
13、2y2代入法求曲线方程探究问题1当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的运动时，怎样求P点的轨迹？提示：设所求动点P的坐标为(x，y)，再设与P相关的已知点坐标为Q(x0，y0)，找出P、Q之间的坐标关系，并表示为x0f(x)，y0f(y)，根据点Q的运动规律得出关于x0，y0的关系式，把x0f(x)，y0f(y)代入关系式中，即得所求轨迹方程2求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？提示在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”【例4】已知动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程思路探究所求动点与已知曲
14、线上动点相关，可通过条件确定两动点的坐标间的关系求得解设P(x，y)，M(x0，y0)，P为MB的中点即又M在曲线x2y21上，(2x3)24y21，P点的轨迹方程为(2x3)24y211(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“2”，求P点的轨迹方程解设P(x，y)，M(x0，y0)，则(xx0，yy0)，(3x，y)，由2得即又M在曲线x2y21上，(3x6)29y21，点P的轨迹方程为(3x6)29y212(变换条件)本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点B(3,0)连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程解设P(x，y)，M(x0
15、，y0)，M为PB的中点又M在曲线x2y21上，1，即(x3)2y24，P点轨迹方程为(x3)2y24代入法求解曲线方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)；(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程；(4)化简、整理，得所求轨迹方程其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”1曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上2点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同3一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设
16、成(x1，y1)或(x，y)等4方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)0化成x，y的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明5“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状1下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()A B C DD对于A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x0，y0，不满足方程，排除C2若M(1,2)在曲线x2ay22上，则a的值为()AB4C D3A因为M(1,2)在曲线x2ay22上，代入曲线方程可得a3方程(x24)2(y24)20表示的图形是 4个点由方程得表示4个点4曲线y和yx公共点的个数为 1由得x，两边平方并整理得(x1)20，所以x，y，故公共点只有一个5已知点A(1,0)，直线l：y2x4，点R是直线l上的一点，求点P的轨迹方程解由知，R、A、P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，由，得(1x1，y1)(x1，y)，得即x12x，y1y，代入直线y2x4中，得y2x即点P的轨迹方程为y2x