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1、2.8直线与圆锥曲线的位置关系学 习 目 标核 心 素 养1通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系(重点)2会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题(重点、难点)通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光
2、击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题1直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2bxc0方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与双曲线a01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a0，02相交a0，01相切a0，00相离直线与抛物线a01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a0，02相交a0，01相切a0，00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？提示不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交2弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往
3、往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|x1x2|y1y2|1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x2y30的距离相等的点的轨迹为抛物线()(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条()(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件()答案(1)(2)(3)提示(1)(2)(3)必要不充分条件2抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于()ABC2 D2A令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
4、得4x28x10，x1x22，x1x2，|AB|3直线yx1与椭圆x21的位置关系为 相交联立消去y得3x22x10，2212160直线与椭圆相交4直线y与双曲线y21交点个数为 个1直线与渐近线平行因此只有一个交点5过椭圆1的右焦点与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则|AB| 椭圆的右焦点为(1,0)，把x1代入1中得：y2，y，|AB|直线与圆锥曲线的位置关系探究问题直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？提示可以当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法【例1】对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭
5、圆y21的位置关系解由得(xm)21，整理得5x28mx4m240此方程的实数根的个数由根的判别式决定，(8m)245(4m24)16(5m2)当m时，0，方程有两个不同的实数根，代入可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交当m或m时，0，方程有两个相等的实数根，代入可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切当m或m时，0，方程没有实数根，直线与椭圆相离1(变条件，变设问)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，且过点(，1)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围解(1)由e可得，所以a23b2，故双曲线方程可化为1，将点P(，1)
6、代入双曲线C的方程，可解得b21所以双曲线C的方程为y21(2)联立直线与双曲线方程(13k2)x26kx90，由题意得解得1k1且k所以k的取值范围为2(改变条件)已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？解由方程组消去y得k2x2(2k24)xk20，记(2k24)24k416(1k2)，(1)若直线与抛物线有两个交点，则k20且0，即k20，且16(1k2)0，解得k(1,0)(0,1)所以当k(1,0)(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点(2)若直线与抛物线有一个交点，则k20或k20时，0解得k0或k1所以当k0或k
7、1时，直线l和抛物线C有一个交点(3)若直线与抛物线无交点，则k20且0解得k1或k1所以当k1或k1时，直线l和抛物线C无交点直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交弦长问题及中点弦问题【例2】椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程思路探究本题有两种解法一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x
8、1x2)b(y1y2)(y1y2)0而1，kOC，代入上式可得ba|AB|x2x1|2，即(x2x1)24，其中x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，又(x1x2)24x1x2(x2x1)24，244将ba代入，解得a，b，所求椭圆的方程是y21法二：由得(ab)x22bxb10设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|AB|2，1设C(x，y)，则x，y1xOC的斜率为，代入，解得a，b，所求椭圆的方程是y21直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适
9、合题意.1已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|解法一：设弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y6x1，y6x2两式相减，得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，k3，直线的方程为y13(x4)，即3xy110由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2|法二：由题意设所求方程为y1k(x4)由得ky26y24k60设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2，P1P2的中点为(4,1)，2，k3，所求直线方程为y13(x4)由y1y22，y1
10、y222，得|P1P2|圆锥曲线中的最值及范围问题【例3】已知双曲线C：1(a0，b0)的焦距为3，其中一条渐近线的方程为xy0以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点(1)求椭圆E的方程；(2)若点P为椭圆E的左顶点，2，求|2|2的取值范围解(1)由双曲线1的焦距为3，得c，a2b2由题意知，由解得a23，b2，椭圆E的方程为y21(2)由(1)知P(，0)设G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)即解得G设A(x1，y1)，则B(x1，y1)，|2|2yy2x2y2x3xx又x1，x0,3，x，|2|2的取值范围是1求参数范围
11、的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围2求最值问题的方法(1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决(2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等2已知椭圆C：1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1、F2，C过点M，离心率e(1)求椭圆C的方程；(2)若PQ为椭圆C过F1的弦，R为PF2的中点，O为坐标原点，求RF1F2、OF1Q面积之和的最大值解(1)由e，设a2t，ct，t0，可得bt，椭圆方程为1，代入M，可得1，可得t1，则a2，b，c1，可得椭圆方程为1(2)由
12、O，R分别为F1F2，PF2的中点，可得RF1F2的面积为PF1F2的面积的一半，即为PF1O的面积，RF1F2、OF1Q面积之和设为S，则SSPQO，当直线PQ的斜率不存在时，其方程为x1，此时SPQO1，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为：yk(x1)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，显然直线PQ不与x轴重合，即k0，联立，消去y得(34k2)x28k2x4k2120，144(k21)0，故x1x2，x1x2，故|PQ|x1x2|，点O到直线PQ的距离d，S|PQ|d6，令u34k2(3，)，故S6，故S的最大值为1解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解
13、的个数确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切2与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系3在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件1椭圆1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点若|AB|8，则|AF1|BF1|的值为()A10B1
14、2C16 D18B|AB|AF1|BF1|4a，|AF1|BF1|458122在抛物线y28x中，以(1，1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax4y30 Bx4y30C4xy30 D4xy30C设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22A、B在抛物线上，y8x1，y8x2，两式相减得，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，4，直线AB方程为y14(x1)，即4xy303已知双曲线C：x21，过点P(1,2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有()A1条 B2条C3条 D4条B因为双曲线的渐近线方程为y2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为
15、(1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条4若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是 (4,2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立直线与抛物线得方程组整理得x28x40，所以x1x28，y1y2x1x244，所以中点坐标为(4,2)5直线l：ykx1与椭圆y21交于M、N两点，且|MN|求直线l的方程解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(12k2)x24kx0，x1x2，x1x20由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，(1k2)(x1x2)2，(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)2，化简得：k4k220，k21，k1所求直线l的方程是yx1或yx1