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1、 2.3圆及其方程2.3.1圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(重点)2能根据所给条件求圆的标准方程(重点)3掌握点与圆的位置关系(重点)4圆的标准方程的求解(难点)1通过圆的标准方程及其特征的学习，培养数学抽象的核心素养2借助圆的标准方程的求解与应用，提升数学运算的核心素养我们的祖先很早就发明了建桥技术，现存最早的拱桥是由著名工匠李春设计建造于1 400多年前、横跨在我国河北赵县的河上的赵州桥赵州桥又名安济桥，全长50多米，拱圆净跨37米多，是一座单孔坦拱式桥梁赵州桥外形秀丽，结构合理，富有民族风格虽然历经千年风霜及车压人行，但赵州桥至
2、今仍可通行车辆，被公认为是世界上最古老的一座拱桥由桥拱的一部分能求出拱桥所在圆的方程吗？1圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点是圆心，定长是圆的半径确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径2方程(xa)2(yb)2r2(r0)是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程3设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrdr思考：若点P(x0，y0)在圆C：(xa)2(yb)2上，需要满足(x0a)2(y0b)2r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？提示若点P在圆C内，则有
3、(x0a)2(y0b)2r2若点P在圆C外，则有(x0a)2(y0b)2r21思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定()(2)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(3)圆(x2)2(y3)29的圆心坐标是(2,3)，半径是9()答案(1)(2)(3)提示(1)正确确定圆的几何要素就是圆心和半径(2)错误当m0时，不表示圆(3)错误圆(x2)2(y3)29的圆心为(2，3)，半径为32(教材P101练习A改编)圆心为O(1,1)，半径为2的圆的方程为()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)2
4、4C将O(1,1)，r2代入圆的标准方程可得3点P(m,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定Am22524，点P在圆外4圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 x2(y2)21设圆心为(0，b)，则圆的方程为x2(yb)21，又点(1,2)在圆上，所以(2b)211，b2，故方程为x2(y2)21直接法求圆的标准方程【例1】根据下列条件，求圆的标准方程(1)圆心在点C(2,1)，且过点A(2，2)；(2)已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上思路探究只要确定圆心坐标和半径即可求得圆的标准方程解(1)所求圆的半径r|C
5、A|5又因为圆心为(2,1)，所以所求圆的方程为(x2)2(y1)225(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(2，3)，所以a4，b6，所以圆的半径r，从而所求圆的方程是(x2)2(y3)213确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.1求圆心在x轴上，半径为5且过点A(2，3)的圆的标准方程解设圆的标准方程为(xa)2y225，因为点A(2，3)在圆上，所以有(2a)2(3)225，解得a2或a6，所以所求圆的标准方程为(x2)2y225或(x6)2y22
6、5待定系数法求圆的标准方程【例2】求下列各圆的标准方程(1)圆心在y0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；(2)圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5) 思路探究由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a，b，r三个参数解(1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，则所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2圆心在y0上，故b0，圆的方程为(xa)2y2r2又该圆过A(1,4)，B(3,2)两点，解得a1，r220所求圆的方程为(x1)2y220(2)设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由条件知解得故所求圆的标准方程为 (x1)2(
7、y2)210待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程(xa)2(yb)2r2)列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)解方程组(解方程组，求出a、b、r)得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)2求经过点A(10,5)，B(4,7)，半径为10的圆的方程解设圆的标准方程为(xa)2(yb)2100，将A、B两点代入得得7ab150，即b7a15将代入得：a286a0，或故所求圆的方程为(x2)2(y1)2100或(x4)2(y13)2100圆的标准方程的实际应用【例3】已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？思路探究桥是圆拱桥，可
8、通过建立适当的平面直角坐标系，求出圆拱桥所在圆的标准方程，然后根据圆的对称性求水面宽度解以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，则O(0,0)，A(6，2)设圆的标准方程为x2(yr)2r2(r0)将A(6，2)的坐标代入方程得r10，圆的标准方程为x2(y10)2100当水面下降1米后，可设点A(x0，3)(x00)将A(x0，3)代入圆的标准方程，求得x0，水面下降1米，水面宽为2x021428(米)解决圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面3已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为27
9、m，高为3 m的货车能不能驶入？解以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2y216(y0)将x27代入圆方程，得y3，即在离中心线27米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道与圆有关的最值问题探究问题1若P(x，y)为圆C：(x1)2y2上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值提示原点到圆心C(1,0)的距离d1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为12若P(x，y)是圆C：(x3)2y24上任意一点，请求出P(x，y)到直线xy10的
10、距离的最大值和最小值提示P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线xy10的距离d2，所以点P到直线xy10的距离的最大值为22，最小值为22【例4】已知实数x，y满足方程(x2)2y23求的最大值和最小值思路探究的几何意义是圆上的点与原点构成直线的斜率，根据直线与圆相切求得解原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k故的最大值为，最小值为1在本例条件下，求yx的最大值和最小值解设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2故yx的最大值为2，
11、最小值为22在本例条件下，求x2y2的最大值和最小值解x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如laxby(b0)形式的最值问题，可转化为动直线y截距的最值问题.(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.1圆的标准方程(xa)2(yb)2
12、m当m0时，表示圆心为C(a，b)，半径为的圆；当m0时，表示一个点C(a，b)；当m0时，不表示任何图形2确定圆的方程的方法及步骤(1)直接代入法，根据已知条件求圆心坐标和半径直接写出圆的标准方程(2)待定系数法：第一步：设圆的标准方程(xa)2(yb)2r2第二步：根据条件列方程组求待定系数a，b，r第三步：代入所设方程中得到圆的标准方程3在实际应用问题求解过程中，应灵活运用几何性质(如弦的垂直平分线过圆心、半弦长、弦心距、半径长构成的勾股关系)4重点掌握的方法(1)求标准方程的方法(2)求与圆相关的最值的方法1圆C：(x2)2(y1)23的圆心坐标()A(2,1)B(2，1)C(2,1)
13、 D(2，1)B结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，1)2以(2 020,2 020)为圆心，2 021为半径的圆的标准方程为()A(x2 020)2(y2 020)22 0212B(x2 020)2(y2 020)22 0212C(x2 020)2(y2 020)22 021D(x2 020)2(y2 020)22 021A由圆的标准方程知(x2 020)2(y2 020)22 02123点(2a，a1)在圆x2(y1)25的外部，则a的取值范围为 a1或a因为(2a，a1)在圆x2(y1)25的外部，所以4a2(a2)25，解得a1或a4点(1,1)在圆(x2)2y2m上，则圆的方程是 (x2)2y210因为点(1,1)在圆(x2)2y2m上，故(12)21mm10，即圆的方程为(x2)2y2105已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(1,1)，B(1,0)，C(2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，求圆M的方程解|MA|5，|MB|2，|MC|，|MB|MA|MC|，点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，圆的半径r|MA|5，圆M的方程为(x3)2(y4)225