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1、 一元二次方程章末重难点题型【考点1 一元二次方程的概念】【方法点拨】解决此类问题掌握一元二次方程的定义是关键；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。【例1】（2018秋茂名期中）下面关于的方程中：； 一元二次方程的个数是A1B2C3D4【变式1-1】（2018秋准格尔旗期中）关于的方程是一元二次方程，则ABCD【变式1-2】（2018秋汨罗市期中）方程是关于的一元二次方程，则ABCD【变式1-3】（2018春杭州期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为A1BCD不能确定【考点2 一元二次方程的解】【方法点拨】一元二次方程的解（根）的意义：能
2、使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.【例2】（2018秋金牛区校级期中）如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是A3BCD0或【变式2-1】（2019春岱岳区期中）已知是方程的一个根，则代数式的值为A2022B2021C2020D2019【变式2-2】（2019春蚌埠期中）若方程中，满足和，则方程的根是A1，0B，0C1，D无法确定【变式2-3】（2018秋桐梓县期中）是方程的根，则式子的值为A2017B2018C2019D2020【考点3 用指定方法解一元二次方程】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握直接开方法
3、、配方法、公式法、因式分解法的步骤.【例3】（2018秋镇原县期中）用指定的方法解下列方程：（1）（直接开平方法）（2） （配方法）（3）（公式法）（4）（因式分解法）【变式3-1】（2019秋上栗县校级月考）按指定的方法解下列方程：（1）（配方法）（2）（因式分解法）（3）（公式法）（4）（直接开平方法）【变式3-2】（2019秋来宾期中）按指定的方法解下列方程：（1）（直接开平方法）（2）（配方法）（3）（公式法）（4）（因式分解法）【变式3-3】（2019秋泰州月考）按照指定方法解下列方程：（1） （用直接开平方法）（2） （用配方法）（3） （用求根公式法）（4）（用因式分解法）【考点
4、4 一元二次方程根的判别式】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌握根的判别式：当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；b2-4ac0时，方程无实数根，反之亦成立.【例4】（2019春阜阳期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根（1）求的取值范围；（2）在（1）的条件下，若为最大的正整数，求此时方程的根【变式4-1】关于的一元二次方程为（1）求证：无论为何实数，方程总有实数根；（2）为何整数时，此方程的两个根都为正数【变式4-2】（2019春西湖区校级期中）已知、为三角形的三边，求证：方程没有实数根【变式4-3】（2018秋宜昌期末）已知是关于的一元
5、二次方程（1）证明：此方程总有两个不相等的实数根；（2）若等腰的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求的面积【考点5 一元二次方程根与系数的关系】【方法点拨】解决此类问题需熟练掌根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积，并且能够灵活运用所学知识对代数式进行变形得到两根之和与两根之积的形式，代入即可求值.【例5】（2018秋江汉区月考）已知，是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值；（1）（2）【变式5-1】（2018秋北湖区校级月考）已知，是方程的两个实数根，求下列代数式的值（1）；（2）；（3）【变式5-2】（2018秋江都区校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两个实根，是否存在实数，
6、使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【变式5-3】（2018秋龙湖区校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两实数根，且，恰好是另外两边的边长，已知等腰的一边长为7，求这个三角形的周长【考点6 有关一元二次方程传播问题】【方法点拨】解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【例6】（2019春阜阳期中）今年春季某地区流感爆发，开始时有4人患了流感
7、，经过两轮传染后，共有196人患了流感若每轮每人传染的人数相同，求每轮每人传染的人数【变式6-1】某人过新年用手机向他的一些好朋友发短信，获得信息的人也按该人发送的人数再加1人向外发短信，经过两轮短信的发送共有35人手机上获得新年问候的同一条信息，问第一轮和第二轮各有多少人收到新年问候的短信？【变式6-2】（2019云南模拟）为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，倡导“我运动、我健康、我快乐”的生活方式，某县团委准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少个足球队参赛？【变式6-3】（
8、2019高阳县一模）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次（1）若参加聚会的人数为3，则共握手次；若参加聚会的人数为5，则共握手次；（2）若参加聚会的人数为为正整数），则共握手次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有个点（不含端点，线段总数为多少呢？请直接写出结论【考点7 有关一元二次方程面积问题】【例7】（2019春瑞安市期中）某农场要建一个饲养场（矩形两面靠现有墙位置的墙最大可用长度为27米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米
9、宽的门（不用木栏）建成后木栏总长45米设饲养场（矩形的一边长为米（1）饲养场另一边米（用含的代数式表示）（2）若饲养场的面积为180平方米，求的值【变式7-1】（2019春岱岳区期末）如图所示，有一长方形的空地，长为米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园（1）请用含的代数式表示正方形乙的边长：米；（2）若丙地的面积为32平方米，请求出的值【变式7-2】（2019贵阳模拟）如图，将边长为的正方形纸片，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中的虚线折起，可以得到一个长方体盒子，、正好重合于上底面一点，且，若所得到的长方
10、体盒子的表面积为，求线段的长【变式7-3】（2018秋贵阳期末）已知长方形硬纸板的长为，宽为，按如图所示剪掉2个小正方形和2个小长方形（即图中阴影部分），剩余部分恰好能折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为（纸板的厚度忽略不计）（1），；（用含的代数式表示）（2）若折成的长方体盒子底面的面积为，求剪掉的小正方形的边长【考点8 有关一元二次方程增长率问题】【例8】（2019春丰台区期末）“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容北京市将重点围绕城市副中心、大兴国际机场、冬奥会、世园会、永定河、温榆河、南中轴等重要节点区域绿化，到2022年，全市将真正形成一片集“万亩城市森林
11、、百万乔灌树木、百种乡土植物、二十四节气林窗、四季景观大道”于一体的城市森林2018年当年计划新增造林23万亩，2019年计划新增造林面积大体相当于27.8个奥森公园的面积，预计2020年计划新增造林面积达到38.87万亩，求2018年至2020年计划新增造林面积的年平均增长率【变式8-1】（2019春延庆区期末）2019年中国北京世界园艺博览会于4月28日晚在北京延庆隆重开幕，本届世园会主题为“绿色生活、美丽家园”自开园以来，世园会迎来了世界各国游客进园参观据统计，仅五一小长假前来世园会打卡的游客就总计约32.7万人次其中中国馆也是非常受欢迎的场馆据调查，中国馆5月1日游览人数约为4万人，5
12、月3日游览人数约为9万人，若5月1日到5月3日游客人数的日增长率相同，求中国馆这两天游客人数的日平均增长率是多少？【变式8-2】（2019春顺义区期末）今年，我区某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动现需要购进100个某品牌的足球供学生使用经调查，该品牌足球2017年单价为200元，2019年单价为162元（1）求2017年到2019年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在标价162元的基础上，两个文体用品商店有下列不同的促销方案，试问去哪个商店买足球更优惠？【变式8-3】（2019福田区模拟）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区
13、阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2016年图书借阅总量是7500本，2018年图书借阅总量是10800本（1）求该社区的图书借阅总量从2016年至2018年的年平均增长率；（2）已知2018年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2019年达到1440人，如果2018至2019年图书借阅总量的增长率不低于2016至2018年的年平均增长率，那么2019年的人均借阅量比2018年增长，求的值至少是多少？【考点9 有关一元二次方程利润问题】【例9】（2019杏花岭区校级三模）某公司销售一种产品，进价为20元件，售价为80元件，公司为了促销，规定凡一次性购
14、买10万件以上的产品，每多买1万件，每件产品的售价就减少2元，但售价最低不能低于50元件，设一次性购买万件（1）若，则售价应是元件；（2）一次性购买多少件产品时，该公司的销售总利润为728万元；【变式9-1】（2019春闽侯县期末）电商时代使得网购更加便捷和普及小张响应国家号召，自主创业，开了家淘宝店他购进一种成本为100元件的新商品，在试销中发现：销售单价（元与每天销售量（件之间满足如图所示的关系（1）求与之间的函数关系式；（2）若某天小张销售该产品获得的利润为1200元，求销售单价的值【变式9-2】（2019沙坪坝区校级一模）2019年6月18日是重庆直辖22年的纪念日年来，巴渝大地发生了
15、翻天覆地的变化，一大波网红景点成为城市新地标的同时，也见证着城市面貌的改变，并让一大批重庆特产走出重庆，享誉世界在网红景点“洪崖洞”某重庆特产专卖店销售特产“合川桃片”，其进价为每千克15元，按每千克30元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销量可增加20千克（1）若该专卖店“合川桃片”3月31日的销量为280千克，则该天每千克的售价为多少元？（2）若该专卖店要想4月1日的获利比（1）中3月31日的获利多320元，则每千克“合川桃片”应为多少元？【变式9-3】（2019沙坪坝区校级二模）某商店经销甲、乙两种商品，已知一件甲种商品和一件乙种商品的进价
16、之和为30元，每件甲种商品的利润是4元，每件乙种商品的售价比其进价的2倍少11元，小明在该商店购买8件甲种商品和6件乙种商品一共用了262元（1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现，平均每天可售出甲种商品400件和乙种商品300件，如果将甲种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出7件甲种商品；如果将乙种商品的售价每提高0.1元，则每天将少售出8件乙种商品经销商决定把两种商品的价格都提高元，在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种商品获取的利润共2500元？【考点10 有关一元二次方程动点问题】【例10】（2019春蚌埠期中
17、）如图，在中，动点从点出发，沿方向运动，动点从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为那么运动几秒时，它们相距？的面积能等于60平方厘米吗？为什么？【变式10-1】（2019东台市模拟）如图，在矩形中，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动，几秒种后的面积为？【变式10-2】（2019春雨花区校级月考）如图所示，、是矩形的四个顶点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动（1），两点从出发开始到几秒时，四边形的面积为？（2），两点从出发开始到几秒时，点和点的距离第一次是？【变式10-3】（2019宿迁三模）如图，在矩形中，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动；同时，点从点出发沿线段、以的速度向终点运动、两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止）（1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？（2）在运动过程中，的面积能否等于？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由