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1、考点42 圆的方程知识理解一求圆的方程1圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆2圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆3圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程(2) 对方程：.若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆；若，则方程只表示一个点，；若，则方程不表示任何图形4.点与C的位置关系(1)|AC|r点A在圆外.二圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、().(1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一
2、组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.三直线与圆位置关系(或交点个数)的解题思路（1） 把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r（2） 利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离（3） d与r比较大小四直线与圆弦长解题思路-垂定定理(1)把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r(2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离(3)利用弦长公式五圆上的点到直接距离最值的解题思路(1)把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r(2)利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
3、(3)判断位置关系考向分析考向一 圆的方程【例1】(1)(2021浙江杭州市学军中学)圆的圆心坐标和半径分别是( )A(-1，0)，3B(1，0)，3CD(2)(2021河南洛阳市)已知圆经过原点，三点，则圆的方程为( )ABCD【答案】(1)D(2)D【解析】(1)根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，故选：D.(2)设圆的方程为，把点，代入得， 解得，所以圆的方程是故选：D【举一反三】1(2020河北区)圆的圆心和半径分别是( )A；1B；C；1D；【答案】D【解析】圆的标准方程是：，所以圆的圆心和半径分别是；.故选：D2(2021河南周口市)圆的半径和圆心坐标分别为( )ABCD【
4、答案】D【解析】 半径和圆心坐标分别为,选D3(2021全国课时练习)若方程x2y22x2y2210表示圆，则的取值范围是( )A(1，)BC(1，)DR【答案】A【解析】因为方程x2y22x2y2210表示圆，所以D2E24F0，即42424(221)0，解不等式得1，即的取值范围是(1，)故选：A.4(2021内蒙古包头市)顶点坐标分别为，则外接圆的标准方程为_【答案】【解析】设圆的标准方程为，因为过点，所以 解得 则圆的标准方程为故答案为：考向二 点与圆的位置关系【例2】(1)(2020福建厦门市大同中学)点与圆的的位置关系是( )A在圆外B在圆内C在圆上D不确定(2)(2020黑龙江哈
5、尔滨市)已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( )ABCD【答案】(1)A(2)D【解析】(1)，因此，点在圆外.故选：A.(2)由得：，圆心，半径，圆心到坐标原点的距离，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.故选：D.【举一反三】1(2020山东省济南回民中学)若圆的方程是，则点( )A是圆心B在圆上C在圆内D在圆外【答案】C【解析】圆心，半径，圆心到点距离，故点在圆内，故选：C.2(2020江苏省苏州中学园区校)点在圆上，点，则的最大值为( )ABCD【答案】C【解析】由于，所以在圆外，圆的圆心为，半径，则的最大值为.故选：C3(2021四川宜宾市)若点在圆的内部，则实数a的取值范围
6、是_.【答案】【解析】因为点在圆的内部，所以，即，解得故答案为：考向三 直线与圆的位置关系【例3】(1)(2021天津高三月考)已知直线与圆相切，则正实数k的值为_.(2)2021黑龙江哈尔滨市哈尔滨三中高三一模(文)直线：与圆：交于、两点，则_.【答案】(1)(2)【解析】(1)，圆心为，直线与圆相切可得，解得或，所以正实数k的值为故答案为：(2)圆心到直线的距离为，故，故答案为：.【举一反三】1(2021黑龙江哈尔滨市)若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】由题意，易知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即曲线表示圆心，半径为1的圆，圆心到直线的
7、距离应小于等于半径，即，解得.故选：C.2(2020林芝市第二高级中学)直线与圆相交于，两点，则的长度等于_.【答案】【解析】圆心，半径为，圆心到直线的距离为，.故答案为：.3(2020宁夏吴忠市高三其他模拟(文)若直线与圆相交于两点，且，则实数_.【答案】或【解析】直线与圆相交于两点，且，圆心到直线的距离为：，即，解得或.故答案为：或考向四 圆与圆的位置关系【例4】(2021沙坪坝区重庆八中)圆与圆的位置关系是( )A相离B外切C相交D内切【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因此，两圆内切.故选：D.【举一反三】1(2021云南省大姚县第一中学)圆与圆的位置关系是( )
8、A相交B相离C内含D内切【答案】D【解析】圆即，则圆心为 ，半径为1圆即，则圆心为 ，半径为3两圆心间的距离，所以两圆的位置关系为内切，故选：D2(2021重庆)已知圆和圆，那么这两个圆的位置关系是( )A相离B外切C相交D内切【答案】C【解析】由已知的，所以， 所以，故两圆相交.故选：C.3(2021河南洛阳市)已知圆，圆，两圆公切线的条数为( )A1B2C3D4【答案】C【解析】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，圆心距，所以两圆相外切，公切线条数是3条.故选：C4(2021四川凉山彝族自治州)已知圆和圆，若圆和有公共点，则的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】由题意可知，圆的圆心为，半
9、径为，圆的圆心为，半径为，所以，由于两圆有公共点，则，即，解得.故选：C.强化练习1(2020江苏)若直线与曲线有公共点，则的取值范围为( )ABCD【答案】B【解析】由可得，表示圆心 的半圆，当经过时，此时；当与此半圆相切时，作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线与曲线有公共点，则.故选：B2(2021四川省大竹中学)圆的圆心和半径分别是( )ABCD【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程可得：圆的圆心和半径分别是故选: A.3(2021浙江)将圆平分的直线是( )ABCD【答案】A【解析】圆的标准方程为圆心为，因为在直线，故选：A4(2021全国课时练习)两个点、与圆的位置关系是
10、( )A点在圆外，点在圆外 B点在圆内，点在圆内C点在圆外，点在圆内 D点在圆内，点在圆外【答案】D【解析】将代入方程左边得，则点在圆内，将代入方程左边得，则点在圆外，故选：D.5(2021安徽芜湖市)若直线经过圆的圆心，则的值为( )ABCD【答案】C【解析】圆的标准方程为，圆心坐标为，由题意可得，解得.故选：C.6(2020江苏)若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是( )A在圆外B在圆上C在圆内D不能确定【答案】A【解析】因为直线与圆相交，故，故，故点在圆的外部，故选：A.7(2020绥化市第一中学)直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是( )AB或CD或【答案】B【解析】曲线的轨迹为
11、以原点为圆心，半径为的右半圆，作出曲线的图像，由图可知与有且只有一个交点，即为直线与半圆相交于一个点或与半圆相切两种情况，当相交于一个交点时可得；直线与半圆相切时可得.故选：B.8(2021北京丰台区高三一模)若直线是圆的一条对称轴，则的值为( )ABC1D2【答案】B【解析】圆的方程可化为，可得圆的圆心坐标为，半径为，因为直线是圆的一条对称轴，所以，圆心在直线上，可得，即的值为，故选：B9(2021浙江)直线与圆的位置关系是( )A相交B相切C相离D与a的大小有关【答案】A【解析】直线l：，即恒过，而，故点在圆内，故直线与圆必然相交故选：A10(2021云南玉溪市)已知直线l：x+2y-3=
12、0与圆交于AB两点，求线段AB的中垂线方程( )A2x-y-2=0B2x-y-4=0CD【答案】B【解析】线段的中垂线与直线垂直，所以设为，并且过圆心，所以，即，所以.故选：B11(2021云南省云天化中学)直线是圆的一条对称轴，则( )AB1CD3【答案】B【解析】由，得，则圆心坐标为，又直线是圆的一条对称轴，由圆的对称性可知，该圆的圆心在直线上，则，故选：B12(2021福建三明市)圆上动点到直线的距离的最小值为( )ABCD【答案】A【解析】圆，圆心，半径，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离最小值为，故选：A.13(2021湖北高三月考)圆：与圆：的公切线条数为( )A1B2C3D4
13、【答案】B【解析】依题意，圆的圆心，半径R1=3, 圆的圆心，半径R2=4,，故圆与相交，有2条公切线.故选:B.14(2021全国高三专题练习)若圆与圆外切，则( )ABCD【答案】C【解析】圆的圆心半径圆，则，则，所以所以圆的圆心，半径为，两圆外切，则，所以故选：C15(2021山东聊城市)已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】圆的圆心为，圆的圆心为，半径圆心距因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则或，即或解得或故选：C16(2021山东枣庄市)已知：与：，则两圆的位置关系是( )A相交B相离C外切D内切【答案】A【解析】，故，两圆半径之和
14、为3，半径之差的绝对值为1，而，故两圆的位置关系是相交，故选：A.17(2021内蒙古高三月考(文)已知的圆心是坐标原点，且被直线截得的弦长为，则的方程为( )ABCD【答案】D【解析】由题意，设圆的标准方程为，则圆心到直线的距离为，又由圆被直线截得的弦长为，可得，化简得，解得，即圆的方程为.故选：D.18(2021安徽省泗县第一中学)直线被圆截得的弦长为( )ABCD【答案】B【解析】圆的圆心到直线的距离为：即圆心过直线直线被圆截得的弦长等于圆的直径：故选：19(2021辽宁高三)在平面直角坐标系中，直线与圆相交于、两点，为圆上的动点，则面积的最大值为( )ABCD【答案】A【解析】圆的标准
15、方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，由于为圆上的动点，则点到直线距离的最大值为，因此，面积的最大值.故选：A.20(多选)(2021福建漳州市)已知圆和圆交于P，Q两点，则( )A两圆有两条公切线 B垂直平分线段C直线的方程为 D线段的长为【答案】ACD【解析】对于A：因为圆和圆交于P，Q两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B：数形结合可知垂直线段但不平分线段，故错误；对于C：圆和圆的方程相减得：，所以直线的方程为，故正确；对于D:圆心到直线的距离为：，所以线段的长为，故正确；故选：ACD.21(多选)(2021山东济南市)已知圆和圆的公共点为，则( )AB直线的方程是CD【答案】
16、ABD【解析】圆的圆心是，半径，圆，圆心，故A正确；两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B正确；，所以不正确，故C不正确；圆心到直线的距离，故D正确.故选：ABD22(2021河南焦作市)已知方程表示的曲线是一个圆，则的取值范围是_.【答案】【解析】方程可化为，所以，解得.故答案为：.23(2021湖北)若方程表示圆，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题意得，即，解得或.故答案为：24(2021广东肇庆市)在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为_.【答案】【解析】设圆的方程为，因为圆过三点，所以得所以圆的方程为.故答案为：25(2021全国)若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为，则a_.【答案】1【解析】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.圆的圆心为，半径为.到直线的距离为：，解得.故答案为：26(2021全国课时练习)已知两圆x2y210和(x1)2(y3)210相交于A，B两点，则直线AB的方程是_【答案】x3y50【解析】两个圆方程可化为，两式相减得，即.故答案为：27(2020湖北)直线与圆交于、两点，则的面积是_【答案】【解析】圆，到直线的距离，故答案为：.