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1、全真模拟卷05（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则（ ）ABCD【答案】D【详解】集合，所以.2在复平面内，复数对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D【详解】由复数的运算法则，可得，对应的点位于第四象限.3已知向量，且，则（ ）A-4B1C4D7【答案】C【详解】因为，所以，所以.42013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得
2、是素数素数对称为孪生素数从15以内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（ ）ABCD【答案】C【详解】以内的素数有，共个，任取两个构成素数对，则有：，共中取法，而是孪生素数的有，其概率为.5“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】B【详解】充分性证明：取，明显地有，由于对数的真数大于0，所以，无法推导出，所以，充分性不成立；必要性证明：，可得，所以，必要性成立；6函数的部分图象大致是（ ）ABCD【答案】D【详解】解：函数的定义域为，故排除A，故函数为奇函数，由于时，故时，故排除BC；所以D选项为正确答案.7某几何体的三视图如图所
3、示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（ ）ABCD【答案】A【详解】在如图所示的正方体中，P，E分别为的中点，该几何体为四棱锥，且平面由三视图可知，则，则故选：A.8执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A6B7C8D9【答案】B【详解】依题意，所以，此时，故选：B9三棱柱中，棱两两垂直，底面是面积为2的等腰直角三角形，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积为（ ）A8BCD【答案】C【详解】底面是面积为2的等腰直角三角形，所以直角边长为2，所以三棱柱可以补充成边长为2的正方体，其外接球半径为：，所以球O的表面积为，故选：C.10设双曲线C的方程为，若C的一
4、条渐近线的斜率为，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【详解】由题意，11在等比数列中，则（ ）ABCD【答案】D【详解】解：由等比数列的性质可知：，又，两式相除可得：.12已知函数若函数恰有3个零点，则满足条件的整数a的个数为（ ）A1B2C3D4【答案】C【详解】当时，单调递增，此时函数的值域为当时，由，得，则因为，且函数恰有3个零点，所以，即，故整数a的个数为3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则的最大值为_【答案】【详解】则函数在上单调递增，在上单调递减即14在平面直角坐标系中，是曲线（）上的一个动点，则点到直线的距离的最小值是_【答案】6【详解】解：当直
5、线平移到与曲线相切位置时，切点即为点到直线的距离最小.由，得（负值舍去），即切点，则切点Q到直线的距离为，15函数与（为常数）的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为_【答案】【详解】与的图象有两个不同的交点，在有两个不同的解，即在有两个不同的解，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，.16直四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，底面为矩形若侧面的面积为，则球O表面积的最小值为_【答案】【详解】依题意可知四棱柱为长方体设，则，所以球O的表面积，当且仅当时，等号成立故球O表面积的最小值为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知a，b，c分别为内角A，B
6、，C的对边，且满足（1）求；（2）若的周长为，求的面积【详解】解：（1）因为，所以；（2）因为，所以由余弦定理得，则，因为的周长为，所以，解得，所以的面积为.18在三棱柱中，平面，是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：设，则、，则，因此，；（2）设平面的法向量为，由，取，则，可得，易知平面的一个法向量为，.由图形可知，二面角为锐角，因此，二面角的余弦值为.19甲乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的，两点处投篮，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中率为，且
7、他们每次投篮互不影响.（1）若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；（2）若甲和乙每人在，两点各投篮一次，且在点命中计2分，在点命中计1分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列，若，求的值.【详解】解：（1）“甲至多命中3次”的对立事件为“甲4次全部命中”，所以甲至多命中3次的概率为.（2），的可能取值均为0，1，2，3.的分布列为0123所以.的分布列为0123.由，解得.20如图，分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上有两个不同的点，且，均在轴上方，点满足，.（）求椭圆两个焦点的坐标：（）判断是否为常数？说明理由.【详解】（），；（）如图，连结，因为，则,所以，记直线交椭圆于另一
8、点，设，因为，且点都在椭圆上，则点与点关于原点对称，则，设直线，代入，得，则直线，又，即同理可得，直线由得，消去，可得，注意到点的方程为椭圆方程，且仍以，为焦点，从而为常数，其值为.21已知函数（1）当时，求的单调区间；（2）求在上的最小值【详解】解：（1）的定义域为，当时，当时，则的单调递增区间为；当时，则的单调递减区间为.（2）当时，在上单调递减，此时，当时，在上单调递增，此时，当时，若，则单调递减；若，则单调递增此时，综上所述：请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线l过
9、点，倾斜角为.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为中点，且满足成等比数列，求直线l的斜率.【详解】（1）因为直线l过点，倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，因为，所以，所以曲线C的直角坐标方程为：；（2）将直线l的参数方程为(t为参数)代入可得：，设A,B所对应的参数为，所以，因为成等比数列，所以，即，解得，故直线l的斜率为.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记集合，若，求实数的取值范围.【详解】（1）依题意；当时，则，故；当时，则，无解；当时，则，故；故不等式的解集为或；（2）依题意，而则可知，即的值域为，因为，故，则，故实数的取值范围为.19