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1、全真模拟卷04（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知是虚数单位，复数的虚部为（ ）ABCD【答案】A【详解】复数的虚部为.2已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【详解】解：，.3已知向量的夹角为，则（ ）AB3CD12【答案】C【详解】解：向量的夹角为，.4莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（ ）ABCD【答案】A【详解】设5人分到的面包数量
2、从小到大记为，设公差为，依题意可得，解得，.52021年是中国共产党建党100周年.某校为了纪念党的生日，计划举办大型文艺汇演，某班选择合唱没有共产党就没有新中国这首歌.仅从逻辑学角度来看，“没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的（ ）A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【详解】命题：“没有共产党就没有新中国”，即是“如果没有共产党，那么就没有新中国”；其逆否命题为“如果有新中国，那么就有共产党”；即根据“有新中国”能推出“有共产党”，所以“有共产党”是“有新中国”的必要条件.故选：B.6若满足约束条件，则的最大值是（ ）A2B3C4D5
3、【答案】B【详解】根据线性约束条件作出可行域如图所示：由转化为，作，让其沿着可行域的方向平移，可知过点时目标函数取得最大值为，7某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）ABCD【答案】C【详解】根据三视图得该三棱柱的底面边长为，高为，如图，所以三棱柱的表面积为：.8已知，且，则函数与的图象可能是（ ）ABCD【答案】C【详解】若，函数的图象下降，即为减函数，且过，的图象下降，即为减函数，且 以上图象C符合；若，函数的图象上升，即为增函数，且过， 的图象上升，即为增函数，以上图象都不符合.92020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域
4、安全着陆嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的93%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为（参考数据：取，）（ ）A4B5C6D7【答案】C【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则由，得，则，即，则，故至少需要“打水漂”的次数为610已知函数（，）的图象关于点对称，且其相邻对称轴间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则下
5、列说法中正确的是（ ）A的最小正周期BCD在上的单调递减区间为【答案】D【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是，故A不正确；，解得：，的图象关于点对称，解得： , ，故B不正确；，向左平移个单位长度后得 故C不正确；当时，当时，函数单调递减，即，故D正确.11直三棱柱中，则与面成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】A【详解】如图，过作，连接， 在直三棱柱中，因为所以平面，故在平面上的射影为,所以为直线与平面所成的角，设，又所以故12已知双曲线，过其右焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的左焦点在以AB为直径的圆上，则双曲线的离心率的值为（ ）ABCD【答案】A【详解】将代
6、入可得，所以以为直径的圆的半径为，圆心为，圆的方程为，左焦点为，因为双曲线的左焦点在圆上，所以，整理得，即，解得或舍去，所以.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在二项式的展开式中，的系数为_.【答案】【详解】二项式的展开式通项为：，取，则的系数为.14设等比数列的前项和为.若、成等差数列，则数列的公比为_.【答案】3或【详解】设等比数列的公比为，因为等比数列的前项和为，、成等差数列，所以，则，因此，所以，解得或.15已知正方体外接球的体积是，那么该正方体的内切球的表面积为_【答案】【详解】设正方体棱长为，则，解得，内切球半径为，表面积为16已知圆，直线，点，点.给出下列4个结
7、论：当时，直线与圆相离；若直线是圆的一条对称轴，则；若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；为圆上的一动点，若，则的最大值为.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【详解】对于：当时，直线，圆心，半径，直线与圆相离，故表述正确；对于：若直线圆的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，故表述正确；本题的难点主要聚焦于、，如图所示：设的中点为，以为直径作圆，连接则对于：由垂径定理，设.一方面，若，则.当且仅当，且三点共线时，等号成立，此时直线的斜率为.另一方面，当时，直线.故点到直线的距离.此时.当且仅当为点在直线上的射影时等号成立，此时直线的斜率为.对比发现，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述
8、错误.对于：为圆上的一个动点.若，设，则.注意到，故当且仅当且点在点正上方时，等号成立.故表述正确.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，.（1）求A，B，C；（2）若，求的面积.【详解】解：（1），由余弦定理得，当时，；当时，；（2）由（1）得当，时，；当，时，由正弦定理得，.18如图，正三棱柱的棱长均为2，M是侧棱的中点.（1）在图中作出平面与平面的交线l(简要说明)，并证明平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值.【详解】（）延长,交CA的延长线于N,连接BN,N在直线CA上，平面ABC,平面ABC，
9、又平面ABC内，直线平面ABC，直线C1M,直线C1M平面MBC1，平面MBC1，又平面MBC1，直线平面MBC1，直线BN=平面;为AA1的中点，CC1AA1,又正三棱柱ABC-A1B1C1各棱长均为2，,C,B,N在以A为圆心半径为2的圆周上，直径为CN,由于直径所对的圆周角为直角，为直角，即NBBC,又正三棱柱的侧棱BB1底面ABC,直线平面ABC,BB1直线BN,又BB1BC=B，平面BB1C1C,直线BN平面BB1C1C,即直线l平面BB1C1C；（2）直线l平面BB1C1C，为二面角的平面角，侧面BB1C1C为边长都是2的正方形，45，平面与平面所成二面角的余弦值为.192020年
10、1月，我国各地出现了以武汉为中心的新冠肺炎疫情，在全国人民的共同努力下，3月疫情得到初步控制.下表是某地疫情监控机构从3月1日到3月5日每天新增病例的统计数据.日期12345新增病例人数3225272016（1）若3月4日新增病例中有12名男性，现要从这天新增病例中按性别分层抽取5人，再从所抽取的5人中随机抽取2人作流行病学分析，求这2人中至少有1名女性的概率；（2）该疫情监控机构对3月1日和5日这五天的120位新增病例的洽疗过程，进行了跟踪监测，其中病症轻微的只经过一个疗程治愈出院，病症严重的最多经过三个疗程的治疗痊愈出院，统计整理出他们被洽愈的疗程数及相应的人数如下表：疗程数123相应的人
11、数604020已知该地疫情未出现死亡病例，现用上述疗程数的频率作为相应事件的概率，该机构要从被治疔痊愈的病例中随机抽取2位进行病毒学分析，记表示所抽取的2位病例被治愈的疗程数之和，求的分布列及期望.【详解】（1）由题意得3月4日新增病例中有12名男性，8名女性，按性别从中分层抽取5人，其中有3名男性，2名女性，这2人至少有1名女性的概率；（2）由题意得所有可能的取值分别为2，3，4，5，6，的分布列为23456.20椭圆的右焦点为，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，当轴时，.（1）求的方程；（2）若直线与轴交于点，直线，垂足为(不与重合)，求证：直线平分线段.【详解】（1）记椭圆的右焦点为，
12、因为椭圆的离心率为，即，所以；又过的直线与椭圆交于，两点，当轴时，将代入可得，则，所以，由解得，即椭圆的方程为；（2）因为直线与轴交于点，则；又直线，垂足为(不与重合)，所以直线斜率不为，不妨设直线的方程为，设，由消去可得，整理得，则，不妨令，因为直线，垂足为，所以，因此直线的方程为，令，则；即直线与轴的交点为，因为，所以是中点，即直线平分线段.21已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若，且在时恒成立，求实数a的取值范围.【详解】解：（1），当时，恒成立，即函数在递减；当时，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在递减；当时，函数在上单调递增，在
13、上单调递减.（2）由题意，即当时在时恒成立，即在时恒成立.记，则，记，在递增，又，当时，得.下面证明：当时，在时恒成立.因为.所以只需证在时恒成立.记，所以，又，所以在单调递增，又，所以，单调递减；，单调递增，所以， 在恒成立.即在时恒成立.综上可知，当在时恒成立时，实数a的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在极坐标系中，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，己知直线1的参数方程为(t为参数，)，且点P的直角坐标为.（1）求经过O，A，B三点的圆C的直角坐标方程
14、；（2）求证：直线l与（1）中的圆C有两个交点M，N，并证明为定值.【详解】（1）由已知O,A,B的极坐标和极直互化公式得O,A,B的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6),OAB为直角，经过O,A,B三点的圆C的圆心为(3,3),且经过原点O,圆C的方程为：；（2）将直线l的参数方程代入圆C的方程，并整理得：,此方程的判别式,此方程有两个不等实根，直线l与（1）中的圆C有两个交点.设两个交点M,N所对应的参数值分别为,则是该方程的两个实数根，由直线l的参数方程和点P的坐标可知，=.23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数的最小值为m.（1）画出函数的图象，利用图象写出函数最小值m；（2）若，且，求证：.【详解】（）,图象如图所示：由图可知当时取得最小值.（2）由题意得.,三式相加并整理得：,两边同时加：，并配方得，成立.23