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1、1.4 充分条件与必要条件学案一、学习目标1.理解必要条件、充分条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.3.结合具体问题，学会利用集合等知识判断充分条件、必要条件和充要条件，分清充分性与必要性.二、知识归纳1.充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q. 由p可以推出q，记作，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.充要条件：如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真
2、命题，即既有，又有，就记作. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称为充要条件，显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 概括地说，如果，那么p与q互为充要条件.三、习题检测1.“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知命题关于x的方程无实根，若p为真命题的一个充分不必要条件为“”，则实数m的取值范围是( )A.B.C.D.3.q是p的充要条件的是( )A.；B.，；C.四边形的两条对角线互相垂直平分；四边形是正方形D.；关于x的方程有唯一解4.若集合，则“且”的充要条件是( )A.B.C.D
3、.5.设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个数大于1”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（多选）设计如图所示的四个电路图，若开关S闭合，灯泡L亮，则符合p是q的充要条件的电路图是( )A.B.C.D.7.（多选）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是( )A.若两个三角形全等，则这两个三角形相似B.若，则C.若，则D.若，则8.设集合，那么“”是“”的_条件.（请在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个填空）9.已知，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是_.10.已知集合，且，若是的充分条件
4、，则a的取值范围为_；若，则a的取值范围为_.11.求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.12.已知，q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.答案以及解析1.答案：C解析：由得；由得，则“”是“”的充要条件.故选C.2.答案：B解析：当p为真命题时，有，解得，若p为真命题的一个充分不必要条件为“”，则，解得.故选B.3.答案：D解析：由得，由得，故A不符合题意；显然B不符合题意；正方形的对角线互相垂直平分，但是对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，可以是菱形，故C不符合题意；显然D符合题意.故选D.4.答案：D解析：集合，且，又当时，满足且，“且”的充要条件是“”.故选D.5.
5、答案：D解析：若“x，y中至少有一个数大于1”，则可取，则“”不成立；若“”，则可取，则“x，y中至少有一个数大于1”不成立，所以“x，y中至少有一个数大于1”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.6.答案：BD解析：A中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，而灯泡L亮时，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；C中电路图，开关S闭合时，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故D中p是q的充要条件.故选BD
6、.7.答案：BCD解析：对于A，若两个三角形全等，则这两个三角形一定相似，而两个相似的三角形却不一定全等，故A不正确；对于B，由，无法推出，如，但是，反之成立，故B正确；对于C，由，无法得到，如当，时，有，但是，反之成立，故C正确；对于D，若，则，则，而若，则，能推出，故D正确.故选BCD.8.答案：必要不充分解析：，故答案为必要不充分.9.答案：解析：因为p是q的必要条件，所以，即，则，解得，故m的取值范围为.10.答案：；解析：若是的充分条件，则，解得，所以a的取值范围为，由且，可得，若，则或，解得或，所以a的取值范围为.11.解析：充分性：如果，那么.当时，所以一次函数的图象经过坐标原点.必要性：因为一次函数的图象经过坐标原点，所以当时，即，所以.综上，一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是.12.解析：由得，对应的集合.由得，对应的集合.是p的必要不充分条件，或，解得，实数m的取值范围为。