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1、1.4. 1.4. 充分条件与必要条件充分条件与必要条件下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？（1 1）若直线）若直线 a/ba/b，则直线，则直线a a和直线和直线b b无公共点；无公共点；（2 2）2 + 4 = 72 + 4 = 7；（4 4）若）若 ，则，则 ；（5 5）两个全等三角形的面积相等；）两个全等三角形的面积相等；（6 6）3 3能被能被2 2整除。整除。21x 1x 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以可以判断真假判断真假的陈述句叫做的陈述句叫做命题命题. .真
2、真真真假假假假假假判断为真的语句叫做判断为真的语句叫做真命题真命题；判断为假的语句叫做判断为假的语句叫做假命题假命题。1.4.1 1.4.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 现实生活中，我们经常用到现实生活中，我们经常用到“必要性必要性”一词一词. .例如例如“刻苦学习是成材的必要条件刻苦学习是成材的必要条件” “ “小明是一名高中生，他必然是一名学生小明是一名高中生，他必然是一名学生” 如果命题可以写成如果命题可以写成“若若p p，则，则q”q”的形式，则命题的形式，则命题中的中的p p叫做命题的叫做命题的条件条件， q q叫做命题的叫做命题的结论结论。（1 1）若平行四边形的对角线互
3、相垂直，则这个平行四）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；边形是菱形；思考：思考：下列下列“若若p p，则，则q”q”形式的命题中，哪些是形式的命题中，哪些是真命题真命题? ?哪些是假命题哪些是假命题? ?（2 2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；24301( (3 3) )若若x xx x则则x x,; （4 4）若平面内两条直线）若平面内两条直线a a和和b b均垂直于直线均垂直于直线 l ，则，则ab.真命题真命题假命题假命题真命题真命题假命题假命题（1 1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四）若平行四边
4、形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；边形是菱形；（2 2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；24301( (3 3) )若若x xx x则则x x,; （4 4）若平面内两条直线）若平面内两条直线a a和和b b均垂直于直线均垂直于直线 l ，则，则ab.真命题真命题假命题假命题真命题真命题假命题假命题 一般地，一般地，“若若p p，则，则q”q”为真命题为真命题，是指由是指由p p通过推理通过推理可以得出可以得出q.q.这时我们就说，由这时我们就说，由p p可以推出可以推出q q，记作，记作 ，并且说，并且说，p p是是q q的
5、充分条件，的充分条件，q q是是p p的必要条件的必要条件。pq 如果如果“若若p p，则，则q”q”为为假命题假命题，那么由条件，那么由条件p p不能推不能推出结论出结论q q，记为，记为p qp q，此时，我们就说，此时，我们就说p p不是不是q q的充分的充分条件，条件，q q不是不是p p的必要条件。的必要条件。例例1 1：下列下列“若若p p，则，则q”q”形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题中的中的p p是是q q的充分条件的充分条件? ?注：注：只有当只有当“若若p p，则，则q”q”的命题是的命题是真命题真命题时，我们才时，我们才能说能说“p p是是q q的充分条件的充
6、分条件”，“q q是是p p的必要条件的必要条件”。（1 1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；四边形；（2 2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3 3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4 4）若）若x x2 2=1=1，则，则x=1x=1；（5 5）若）若a=ba=b，则，则ac=bcac=bc；（6 6）若）若x x，y y为无理数，则为无理数，则xyxy为无理数为无理数. .真命题真命题假命题假
7、命题假命题假命题真命题真命题真命题真命题真命题真命题例例2 2：下列下列“若若p p，则，则q”q”形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题中的中的q q是是p p的必要条件的必要条件? ?注：注：只有当只有当“若若p p，则，则q”q”的命题是的命题是真命题真命题时，我们才时，我们才能说能说“p p是是q q的充分条件的充分条件”，“q q是是p p的必要条件的必要条件”。（1 1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；别相等；（2 2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成
8、比例；（3 3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4 4）若）若x=1x=1，则，则x x2 2=1=1；（5 5）若）若ac=bcac=bc，则，则a=ba=b；（6 6）若）若xyxy为无理数，则为无理数，则x x，y y为无理数为无理数. .真命题真命题真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题2.如果如果 “若若p，则，则q” 是是假命题假命题，记作：，记作：p q，这，这时我们说时我们说p不是不是q的充分条件，的充分条件，q不是不是p的必要条件。的必要条件。 小结：小结：1. 当当“若若p，则，则q” 是
9、是真命题真命题时，时， ，这时，这时我们说我们说“p是是q的充分条件的充分条件”，“q是是p的必要条件的必要条件” 。pq记作：q q是是p p的的必要而不充分必要而不充分条件。条件。3.pq如如果果，但但是是qp，这时我们说，这时我们说p p是是q q的的充分而不必要充分而不必要条件，条件， 请看课本请看课本P20P20：练习：练习 1.4.2 1.4.2 充要条件充要条件已知已知p：整数：整数a是是6的倍数，的倍数， q：整数：整数a是是2和和3的倍数。的倍数。那么那么p是是q的什么条件？的什么条件？q又是又是p的什么条件？的什么条件？如果已知如果已知 q p，则说，则说p是是q的必要条件
10、。的必要条件。如果已知如果已知 p q，则说，则说p是是q的充分条件。的充分条件。 1. 1.充要条件充要条件p p是是q q的的充充分分如如果果p pq q，那那么么, ,q q是是p p的的. .条条件件必必要要条条件件p p也也是是q q的的必必要要条条件件, ,q q同同时时, ,若若q q也也是是p p的的p p，那那么么. .充充分分条条件件pqqp,pqpq, ,且且记记作作：（即即 等等价价于于 ）我们说我们说, , p是是q的充分且必要条件的充分且必要条件, ,简称充要条件简称充要条件, ,如如果果pqpq，那那么么p p与与q q互互为为充充要要条条件件。显然显然q也是也是
11、p的充分且必要条件（即的充分且必要条件（即充要条件充要条件） 2. 2.充分条件、必要条件与充要条件的联系和区别充分条件、必要条件与充要条件的联系和区别若若pqpq 且且qpqp 则则p p是是q q的的充充要要条条件件；(2),如如果果p pq q 但但q qp p 那那么么p p是是q q的的充充分分而而不不必必要要条条件件, ,q q是是p p的的必必要要而而不不充充分分条条件件( ), 1 1若若且且则则 是是 的的既既不不充充分分也也不不必必要要条条件件(3)pq,qp,pq若若p pq q 且且q qp p 则则p p是是q q的的充充要要条条件件，q q也也是是p p的的充充要要
12、条条件件；(1),若若p pq q 但但q qp p 则则p p是是q q的的充充分分而而不不必必要要条条件件， 同同时时，q q是是p p的的必必要要而而不不充充分分条条件件；( ), 2 2若若且且则则 是是 的的既既不不充充分分也也不不必必要要条条件件(4)pq,qp,pq 小结：小结：若若q qp p 但但p pq q 则则p p是是q q的的必必要要而而不不充充分分条条件件， 同同时时，q q是是p p的的充充分分而而不不必必要要条条件件；( ), 3 3练习练习1 1：请用请用“充分不必要充分不必要”、“必要不充分必要不充分”、 “充要充要”、“既不充分也不必要既不充分也不必要”填
13、空：填空： (1)“(x(1)“(x2)(x2)(x3)=0”3)=0”是是“x=2”x=2”的的条件条件. . (2)“ (2)“同位角相等同位角相等”是是“两直线平行两直线平行”的的条件条件. . (3)“x=3” (3)“x=3”是是“x x2 2=9”=9”的条件的条件. . (4)“ (4)“四边形的对角线相等四边形的对角线相等”是是“四边形为平行四边形为平行四边形四边形”的条件的条件. .充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要练习练习2 2：指出下列各组命题中，指出下列各组命题中，p p是是q q的什么的什么 条件，条件，q q是是p p的什么条件的什么条件. .p p是是q q的充分不必要条件，的充分不必要条件，q q是是p p的必要不充分条件的必要不充分条件p p是是q q的充要条件，的充要条件，q q是是p p的充要条件的充要条件(1) p:aQ,q:aR(1) p:aQ,q:aR(2) p:(2) p:内错角相等，内错角相等，q:q:两直线平行两直线平行. .p:ab0; q: 0 p:ab0; q: 0 p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件, ,q q是是p p的充分不必要条件的充分不必要条件ab