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1、高三数学寒假作业18一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知为第四象限角，cos=513，则sin（）A-1213B-513C513D12132已知x，yR，集合A=1，2x，B=x，y，AB=12，则xy（）A1B-12C12D13已知抛物线x24y的焦点为F，点P在抛物线上且横坐标为4，则|PF|（）A2B3C5D64十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图下列说法错误的是（）A在100米项
2、目中，甲的得分比乙高B在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同C甲的各项得分比乙更均衡D甲的总分高于乙的总分5已知函数f(x)=-x2+2x-1，x1|x-1|，x1，若f（a24）f（3a），则实数a的取值范围是（）A（4，1）B（，4）（1，+）C（1，4）D（，1）（4，+）6任何一个复数za+bi（其中a，bR，i为虚数单位）都可以表示成zr（cos+isin）（其中r0，R）的形式，通常称之为复数z的三角形式法国数学家棣莫弗发现：r（cos+isinnrn（cosn+isinn）（nN+），我们称这个结论为棣莫弗定理由棣莫弗定理可知，“n为偶数”是“复数(cos4+isin4)n为纯
3、虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知点A，B，C均在半径为2的圆上，若|AB|2，则ACBC的最大值为（）A3+22B2+22C4D28在三棱锥PABC中，AB2，ACBC，若该三棱锥的体积为23，则其外接球表面积的最小值为（）A5B4912C649D254二、多项选择题.9已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N（100，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（）附：随机变量服从正态分布N（u，2），则P（u+）0.6826，P（2+2）0.9544，P（u3+3）0.9974A该市学生数学成绩的期望为
4、100B该市学生数学成绩的标准差为100C该市学生数学成绩及格率超过0.8D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等10已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为3，A，B为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（）A圆锥的高为1B三角形PAB为等腰三角形C三角形PAB面积的最大值为3D直线PA与圆锥底面所成角的大小为611已知实数x，y，z满足lnx=ey=1z，则下列关系式中可能成立的是（）AxyzBxzyCzxyDzyx12已知函数f（x）sin（x+）（其中，0，|2），f（-8）0，f（x）|f(38)|恒成立，且f（x）区间(-12，24)上单调，则下列说法正确的是（）A存
5、在，使得f（x）是偶函数Bf（0）=f(34)C是奇数D的最大值为3三、填空题：135G指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5则该公司攻克这项技术难题的概率为 14能够说明“若1a1b，则ab”是假命题的一组整数a，b的值依次为 15已知函数f（x）exa（x+1），若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是 16已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左，右焦点，过点F1向一条渐近线作垂线，
6、交双曲线右支于点P，直线F2P与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，若PQF1的内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则F1PF2的大小为 ；双曲线的离心率为 四、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.172020年4月21日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽1000名中学生进行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）已知样本中每周体育锻炼时长不足4小时的体育锻炼的中学生有100人，
7、求直方图中a，b的值；（2）为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从10，12）和12，14两组中共抽取了6名中学生参加线上座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示，求这2名学生来自不同组的概率18已知ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）证明acosB+bcosAc；（2）在2c-bcosB=acosA，ccosA2bcosAacosC，2a-bcosCcosA=ccosBcosA这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a7，b5，_，求ABC的周长注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分19如图，三棱锥P
8、ABC中，平面PAB平面ABC，PABPBA45，ABC2BAC60，D是棱AB的中点，点E在棱PB上，点G是BCD的重心（1）若E是PB的中点，证明：GE面PAC；（2）是否存在点E，使二面角ECDG的大小为30？若存在，求BEBP的值；若不存在，请说明理由高三数学寒假作业18（答案解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知为第四象限角，cos=513，则sin（）A-1213B-513C513D1213【解答】解：为第四象限角，cos=513，sin0sin=-1-cos2=-1-(513)2=-1213，故选：A2已知
9、x，yR，集合A=1，2x，B=x，y，AB=12，则xy（）A1B-12C12D1【解答】解：x，yR，集合A=1，2x，B=x，y，AB=12，2x=12y=12，解得x1，y=12，xy112=-12故选：B3已知抛物线x24y的焦点为F，点P在抛物线上且横坐标为4，则|PF|（）A2B3C5D6【解答】解：由题意知，p2，点P的坐标为（4，4），由抛物线的定义可知，|PF|=yP+p2=4+15故选：C4十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜下面是某次全能比赛中甲、乙两名运
10、动员的各个单项得分的雷达图下列说法错误的是（）A在100米项目中，甲的得分比乙高B在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同C甲的各项得分比乙更均衡D甲的总分高于乙的总分【解答】解：由某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图知：对于A，在100米项目中，甲的得分是1000分，乙的得分为800分，故甲的得分比乙高，故A正确；对于B，在跳高比赛中甲、乙的得分都是800分，在标枪比赛中，甲、乙的得分都是600分，故B正确；对于C，乙的各项得分比甲更均衡，故C错误；对于D，甲的总分高于乙的总分，故D正确故选：C5已知函数f(x)=-x2+2x-1，x1|x-1|，x1，若f（a24）f（3a
11、），则实数a的取值范围是（）A（4，1）B（，4）（1，+）C（1，4）D（，1）（4，+）【解答】解：由分段函数的性质可知f(x)=-x2+2x-1，x1|x-1|，x1，f（x）在R上单调递增，若f（a24）f（3a），则a243a，解可得，a4或a1故选：D6任何一个复数za+bi（其中a，bR，i为虚数单位）都可以表示成zr（cos+isin）（其中r0，R）的形式，通常称之为复数z的三角形式法国数学家棣莫弗发现：r（cos+isinnrn（cosn+isinn）（nN+），我们称这个结论为棣莫弗定理由棣莫弗定理可知，“n为偶数”是“复数(cos4+isin4)n为纯虚数”的（）A充分
12、不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：复数(cos4+isin4)n=cosn4+isinn4为纯虚数cosn4=0，sinn40n4=k+2，（kN*），解得n4k+2为偶数反之不成立，例如n4时，(cos4+isin4)n=cos+isin1为实数，不为纯虚数“n为偶数”是“复数(cos4+isin4)n为纯虚数”的必要不充分条件故选：B7已知点A，B，C均在半径为2的圆上，若|AB|2，则ACBC的最大值为（）A3+22B2+22C4D2【解答】解：如图，A，B，C是半径为2的圆上三点，|AB|2，根据余弦定理，cosO=OB2+OA2-AB22OBOA=
13、2+2-4222=0，则AB边所对的圆心角为2，则C=4根据正弦定理可知：ACsinB=BCsin(34-B)=2sin4，AC22sinB，BC22sin（34-B）ACBC=CACB=CACBcosC22sinB22sin（34-B）22=4sinBcosB+4sin2B2sin2B+2（1cos2B）22sin（2B-4）+2，则当2B-4=2，即B=38时，上式取最大值，此时最大值为22+2，故选：B8在三棱锥PABC中，AB2，ACBC，若该三棱锥的体积为23，则其外接球表面积的最小值为（）A5B4912C649D254【解答】解：AB2，ACBC，故底面三角形外接圆半径为 r1，S
14、ABC=12CACB14(CA2+CB2)=1，当 CA=CB=2 时等号成立，故 V=13SABCh=23，故 h2，当 P 离平面 ABC 距离固定时，若点P在平面ABC的投影为ABC的外心时，此时外接球半径最小，此时，P 在平面 ABC 的投影为AB 中点 O1，设球心为 O，则 O 在 PO1上，故 R2（hR）2+12，化简得到 R=h2+12h，双勾函数 y=x2+12x 在2，+） 上单调递增，故 Rmin=54，故Smin=4Rmin2=254故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分
15、，有选错的得0分.9已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N（100，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（）附：随机变量服从正态分布N（u，2），则P（u+）0.6826，P（2+2）0.9544，P（u3+3）0.9974A该市学生数学成绩的期望为100B该市学生数学成绩的标准差为100C该市学生数学成绩及格率超过0.8D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【解答】解：由题意，正态分布曲线的对称轴为x100，10该市学生数学成绩的期望为100，故A正确；该市学生数学成绩的标准差为10，故B错误；P（90x110）0.6826，P（8
16、0x120）0.9544，P（x90）0.5+120.6826=0.8413，故C正确；P（x90）P（x110）=121P（90x110）0.1587，P（x120）0.5+120.95440.9772，则P（x120）10.97720.00228该市学生数学成绩不及格的人数远大于优秀的人数，故D错误故选：AC10已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为3，A，B为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（）A圆锥的高为1B三角形PAB为等腰三角形C三角形PAB面积的最大值为3D直线PA与圆锥底面所成角的大小为6【解答】解：圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为3，如图所示：所以圆锥的高为h
17、=(2)2-(3)2=1故选项A正确由于A和B为底面圆周上两个动点，由于满足PAPB，所以PAB为等腰三角形，故选项B正确由于SPAB=1222sinAPB，当sinAPB1时，三角形PAB面积的最大值为2直线PA与圆锥底面所成角为直线PA和AO所成的角，即PAO，在APO中，sinPAO=POAP=12，所以PAO=6故选项D正确故选：ABD11已知实数x，y，z满足lnx=ey=1z，则下列关系式中可能成立的是（）AxyzBxzyCzxyDzyx【解答】解：实数x，y，z满足lnx=ey=1z，画出图象，分别作出与x轴平行且与三个函数图象相交的直线由最下面的直线与函数图象的交点可得：zxy
18、；由中间的直线与函数图象的交点可得：xzy；由最上面的直线与函数图象的交点可得：xyz则下列关系式中可能成立的是ABC故选：ABC12已知函数f（x）sin（x+）（其中，0，|2），f（-8）0，f（x）|f(38)|恒成立，且f（x）区间(-12，24)上单调，则下列说法正确的是（）A存在，使得f（x）是偶函数Bf（0）=f(34)C是奇数D的最大值为3【解答】解：已知函数f（x）sin（x+）（其中，0，|2），f（-8）0，f（x）|f(38)|恒成立，所以f(-8)=0f(38)=1，整理得-8+=k138+=k2+2解得：1+2k，=8+3k1+k24故选项A错误由于x=38为函数
19、的对称轴，所以f（0）f（34）故选项B正确由于1+2k，故选项C正确当f（x）区间(-12，24)上单调递增时，即-2+2kx-42k+2（kZ），整理得，-4+2kx2k+34（kZ），故：-4+2k-12x242k+34（kZ），所以-4+2k-12242k+34，整理得3由于0，所以03即最大值为3故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.135G指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5则该公司攻
20、克这项技术难题的概率为0.8【解答】解：某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5设事件A表示”甲部门攻克该技术难题“，事件B表示“乙部门攻克该技术难题”，则P（A）0.6，P（B）0.5，该公司攻克这项技术难题的概率为：P1P（AB）1（10.6）（10.5）0.8故答案为：0.814能够说明“若1a1b，则ab”是假命题的一组整数a，b的值依次为2，1【解答】解：1a1b，则ab，取a2，b1时，可得出1a1b，当时ab不成立，即该命题为假命题故答案为：2，115已知函数f（x）exa（x+1
21、），若f（x）有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+）【解答】解：由题知：f（x）exa，xR当a0时，f（x）0，f（x）单调递增，至多有一个零点，不合题意；当a0时，令f（x）0xlna，易知f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增，故f（x）的最小值为f（lna）aa（lna+1）alnaf（x）有两个零点，当x时，f（x）+，f（lna）0lna0，解得a1故答案为：（1，+）16已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左，右焦点，过点F1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P，直线F2P与y轴交于点Q（P，Q在x轴同侧），连接QF1，若P
22、QF1的内切圆圆心恰好落在以F1F2为直径的圆上，则F1PF2的大小为2；双曲线的离心率为5【解答】解：设F1（c，0），F2（c，0），如图可得QF1F2为等腰三角形，则PQF1的内切圆圆心I在y轴上，又I恰好落在以F1F2为直径的圆上，可设I（0，c），双曲线的一条渐近线方程设为bx+ay0，则直线PF1的方程设为axby+ac0，则I到直线PF1的距离为|ac-bc|a2+b2=|ab|，由图象可得ab，则|ab|ba，设Q（0，t），且tc，则直线QF2的方程为txcy+tc0，由内心的性质可得I到直线QF2的距离为ba，即有|tc-c2|t2+c2=ba，化简可得abt2tc3+ab
23、c20，由c64a2b2c2c2（a2b2）2，解得t=bca或acbc（舍去），则Q（0，bca），直线QF2的斜率为bca-c=-ba，可得直线QF2与渐近线OM：bx+ay0平行，可得F1PF2=2，由F1到渐近线OM的距离为|-bc|a2+b2=b，|OM|=c2-b2=a，由OM为PF1F2的中位线，可得|PF2|2|OM|2a，|PF1|2|MF1|2b，又|PF1|PF2|2a，则b2a，e=ca=1+b2a2=5故答案为：2，5四、解答题：本题共6小题共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.172020年4月21日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的
24、课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽1000名中学生进行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图（1）已知样本中每周体育锻炼时长不足4小时的体育锻炼的中学生有100人，求直方图中a，b的值；（2）为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从10，12）和12，14两组中共抽取了6名中学生参加线上座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示，求这2名学生来自不同组的概率【解答】解：（1）由题意得1001000=2a，（b+2a
25、+0.075+0.1+0.2）21，a0.05，b0.025（2）ab=2，6名学生中有4名来自于10，20组，有2名来自于12，14组，记事件A为：”这2名学生来自不同组“，则P（A）=C41C21C62=81518已知ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c（1）证明acosB+bcosAc；（2）在2c-bcosB=acosA，ccosA2bcosAacosC，2a-bcosCcosA=ccosBcosA这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a7，b5，_，求ABC的周长注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解答】解：（1）证明：由余弦定理可得：acosB+
26、bcosAaa2+c2-b22ac+bb2+c2-a22bc=a2+c2-b2+b2+c2-a22c=c，即acosB+bcosAc，证毕（2）第一步：求A选：2c-bcosB=acosA，2ccosAbcosA+acosB，由（1）中所证结论可得：2ccosAc，可得cosA=12，A（0，），A=3选：ccosA2bcosAacosC，2bcosAacosC+ccosA，由（1）中的证明同理可得：acosC+ccosAb，2bcoAb，可得cosA=12，A（0，），A=3选：2a-bcosCcosA=ccosBosA，2acosAbcosC+ccosB，由（1）中的证明过程同理可得bco
27、sC+ccosBa，2acoAa，可得cosA=12，A（0，），A=3第二步：求c在ABC中，由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA25+c210c12=49，即c25c240，解得c8，或c3（舍去），所以a+b+c7+5+820，即ABC的周长为2019如图，三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，PABPBA45，ABC2BAC60，D是棱AB的中点，点E在棱PB上，点G是BCD的重心（1）若E是PB的中点，证明：GE面PAC；（2）是否存在点E，使二面角ECDG的大小为30？若存在，求BEBP的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：延长DG交BC于F，连接EF，点G是BC
28、D的重心，F为BC的中点，D、E分别为AB、BP的中点，DFAC，DEAP又DFDED，平面DEF平面APC，又GE平面DEF，GE平面PAC；（2）解：连接PD，PABPBA45，PAPB，又D是AB的中点，PDAB，平面PAB平面ABC，而平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，PD平面ABC如图，以D为坐标原点，以DB、DP所在直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系设PAPB2，则AB=22，PDCD=2D（0，0，0），B（0，2，0），C（62，22，0），G（66，22，0），P（0，0，2），假设存在点E，使二面角ECDG的大小为30，设BE=BP，（0，1则DE=DB+BE=DB+BP=(0，2，0)+(0，-2，2)=（0，2(1-)，2）E（0，2(1-)，2）又DC=(62，22，0)，设平面ECD的法向量为m=(x，y，z)，由mDC=62x+22y=0mDE=2(1-)y+2z=0，令x1，得m=(1，-3，3(1-)；又平面ABC的一个法向量为n=(0，0，1)，而二面角ECDG的大小为30，|cosm，n|=|mn|m|n|=32，即|3(1-)12+(-3)2+(3(1-)21|=32，解得=13存在点E，使二面角ECDG的大小为30，此时BEBP=13