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1、高三数学寒假作业16一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1已知集合Ax|x25，B3，2，1，2，4，则AB（）A2，2B2，1，2C2，1，3，2D-5，52i为虚数单位，复数z=2+i1-2i+1+i，复数z的共轭复数为z，则z的虚部为（）AiB2iC2D13设a，b是非零向量，“ab=0”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4在(x-12x)6(x+3)的展开式中，常数项为（）A-152B152C-52D525函数f(x)=cosxsin(ex-1ex+1)的图象大致为（）ABCD6设a=14log213，b
2、=(12)0.3则有（）Aa+babBa+babCa+babDabab7我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d3169V人们还用过一些类似的近似公式根据3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是（）Ad3169VBd32VCd3300157VDd32111V8已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足AF=2FB，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为（）A114B94C52D54二、多项选择题：在每小题给出的选项中
3、，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9下列说法正确的是（）A在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位10线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB2，ADEF1则（）ADF平面BCEB异面直线BF与DC所成的角为30CEFC为直角三角形DVCBEF
4、：VFABCD1：411已知函数f（x）sincosx+cossinx，其中x表示不超过实数x的最大整数，下列关于f（x）结论正确的是（）Af(2)=cos1Bf（x）的一个周期是2Cf（x）在（0，）上单调递减Df（x）的最大值大于212已知直线yx+2分别与函数yex和ylnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（）Ax1+x22Bex1+ex22eCx1lnx2+x2lnx10Dx1x2e2三、填空题：13已知tan(-)=2，则sin+cossin-cos= 14在平行四边形ABCD中，AD2AB6，DAB60，DE=12EC，BF=12FC若FG=2GE
5、，则AGBD= 155人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是 （用数字作答）；5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是 （用数字作答）16设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为(c，3a2)且满足|F2Q|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|76|F1F2|成立，则双曲线的离心率的取值范围是 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在四边形ABCD中，ABAD，_，DC2在下面给出的三个条件中任选一个
6、，补充在上面的问题中，并加以解答（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）3AB4BC，sinACB=23；tan(BAC+6)=3；2BCcosACB2AC-3AB（）求DAC的大小；（）求ADC面积的最大值18如图1，四边形ABCD为矩形，BC2AB，E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE平面BCE，平面DCE平面BCE（）求证：平面ABE平面DCE；（）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值19已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn=an(an+1)2，nN*（）求数列an的通项公式an；（）设bn=
7、log2an+2an+1；若称使数列bn的前n项和为整数的正整数n为“优化数”，试求区间（0，2020）内所有“优化数”的和S高三数学寒假作业16（答案解析）一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1已知集合Ax|x25，B3，2，1，2，4，则AB（）A2，2B2，1，2C2，1，3，2D-5，5【解答】解：A=x|-5x5，B3，2，1，2，4，AB2，1，2故选：B2i为虚数单位，复数z=2+i1-2i+1+i，复数z的共轭复数为z，则z的虚部为（）AiB2iC2D1【解答】解：z=2+i1-2i+1+i=(2+i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)+1+i=1
8、+2i，z=1-2i，则z的虚部为2故选：C3设a，b是非零向量，“ab=0”是“ab”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：可知a，b是非零向量，若ab=0，则ab；a，b是非零向量，若ab，则ab=0；则“ab=0”是“ab”的充分必要条件，故选：C4在(x-12x)6(x+3)的展开式中，常数项为（）A-152B152C-52D52【解答】解：因为（x-12x）6的通项公式为：Tr+1=6rx6r（1-2x）r（-12）r6rx62r；62r0时，r3；62r1时，r不存在；(x-12x)6(x+3)的展开式中，常数项为：（-12）36
9、33=-152；故选：A5函数f(x)=cosxsin(ex-1ex+1)的图象大致为（）ABCD【解答】解：根据题意，设g（x）=ex-1ex+1，有g（x）=e-x-1e-x+1=-（ex-1ex+1）g（x），则f（x）cosxsing（x），有f（x）cos（x）sing（x）cosxsing（x）cosxsing（x）f（x），即函数f（x）为奇函数，排除AB，又由f（1）cos1sin（e-1e+1）0，排除D；故选：C6设a=14log213，b=(12)0.3则有（）Aa+babBa+babCa+babDabab【解答】解：a=14log213=log2(13)14=log23
10、-14log24-14=-12，b=(12)0.3(12)0.5=22，ab0，a+b0，a+bab，故选：A7我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d3169V人们还用过一些类似的近似公式根据3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是（）Ad3169VBd32VCd3300157VDd32111V【解答】解：由V=43(d2)3，解得d=36V设选项中的常数为ab，则=6ba选项A代入得=6916=3.375；选项B代入得=62=3；选项C代入得=6157300=
11、3.14；选项D代入得=11621=3.142857由于D的值最接近的真实值故选：D8已知抛物线C：y24x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足AF=2FB，E为AB的中点，则点E到抛物线准线的距离为（）A114B94C52D54【解答】解：抛物线y24x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x1，设A（x1，y1），B（x2，y2），满足AF=2FB，E为AB的中点，则|AF|2|BF|，x1+12（x2+1），x12x2+1，|y1|2|y2|，x14x2，x12，x2=12，线段AB的中点到该抛物线准线的距离为12（x1+1）+（x2+1）=94故选：B二、多项选
12、择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9下列说法正确的是（）A在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差B某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位【解答】解：对于A，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高故A错误；对于B，6月9
13、日本地降水概率为90%，只是表明下雨的可能性是90%，有可能这天不下雨，不能说明天气预报并不科学，故B错误；在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C正确；在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y增加0.1个单位，故D正确故选：CD10线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB2，ADEF1则（）ADF平面BCEB异面直线BF与DC所成的角为30CEFC为直角三角形DVCBEF：VFABCD1：4【解答】解：对于A，ABCDEF，CDFE四点共面，若DF平面BCE，则DFCE，可得四边
14、形CDFE为平行四边形，得CDEFAB，与已知矛盾，故A错误；对于B，ABDC，异面直线BF与DC所成的角即为ABF，在等腰梯形AFEB中，由AB2，EF1，可得AOFFOEEOB60，则BAF60，得ABF30，故B正确；对于C，在BEF中，由分析B时可得，BEFE1，BF=3，又BC1且BC底面，得CE=2，CF2，EF1，则CF2+EF2CE2，可得EFC为钝角三角形，故C错误；对于D，过点F作FGAB于G，平面ABCD平面ABEF，FG平面ABCD，VFABCD=13SABCDFG=23FGCB平面ABEF，VFCBEVCBEF=13SBEFCB=1312EFFGCB=16FGVCBE
15、F：VFABCD1：4，故D正确故选：BD11已知函数f（x）sincosx+cossinx，其中x表示不超过实数x的最大整数，下列关于f（x）结论正确的是（）Af(2)=cos1Bf（x）的一个周期是2Cf（x）在（0，）上单调递减Df（x）的最大值大于2【解答】解：f（2）sincos（2）+cossin（2）sin0+cos1sin0+cos1cos1，故A正确；f（x+2）sincos（x+2）+cossin（x+2）sincosx+cossinxf（x），f（x）的一个周期是2，故B正确；当x（0，2）时，0sinx1，0cosx1，sinxcosx0，f（x）sincosx+cos
16、sinxsin0+cos01，故C错误；f（0）sincos0+cossin0sin1+cos0sin1+122+12，故D正确正确结论的ABD故选：ABD12已知直线yx+2分别与函数yex和ylnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（）Ax1+x22Bex1+ex22eCx1lnx2+x2lnx10Dx1x2e2【解答】解：画出图形，如图，由于函数ylnx和函数yex是互为反函数，故函数ylnx及函数yex的图象关于直线yx对称，从而直线yx+2与函数ylnx及函数yex的图象的交点A（x1，y1），B（x2，y2）也关于直线yx对称，x2y1，x1y2，又
17、A（x1，y1）在yx+2上，即有x1+y12，故x1+x22，故选项A正确；ex1+ex22ex1ex2=2ex1+x2=2e，故B正确；将yx+2与yex联立可得x+2ex，即ex+x20，设f（x）ex+x2，则函数为单调递增函数，因为f（0）1+0210，f（12）e12+12-2e12-320，故函数f（x）的零点在（0，12）上，即0x112，由x1+x22得，1x22，x1lnx2+x2lnx1x1lnx2x2ln1x1x1lnx2x2lnx2（x1x2）lnx20，故C正确记g（x）2xlnx，则g（1）10，g（e）2-e-12=32-e0，则1x2e，又x1x2（2x2）x
18、2x2lnx2，易知函数yxlnx在（1，e）上单调递增，故x1x2x2lnx2elne=e2，故选项D错误故选：ABC三、填空题：13已知tan(-)=2，则sin+cossin-cos=13【解答】解：tan（）2，tan2，sin+cossin-cos=tan+1tan-1=-2+1-2-1=13，故答案为：1314在平行四边形ABCD中，AD2AB6，DAB60，DE=12EC，BF=12FC若FG=2GE，则AGBD=21【解答】解：以A为原点，AD为x轴，AD的垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（32，332），D（6，0），F（72，332），E（132，
19、32），设点G的坐标为（x，y），FG=2GE，(x-72，y-332)=2(132-x，32-y)，解得x=112，y=536，G(112，536)AGBD=(112，536)(92，-332)=994-15312=21故答案为：21155人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是72（用数字作答）；5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是310（用数字作答）【解答】解：根据题意，对于第一空：把其他三人全排列，有A336种排法，三人排好后，有4个空位，将甲乙安排到空位中，有A4212种排法，故甲乙不相邻的安排方法有61272种；对于第二空：5人并排站成一行，有A5512
20、0种排法，甲乙两人之间恰有1人，有C31A22A3336种排法，则甲乙两人之间恰好有一人的概率P=36120=310；故答案为：72，31016设双曲线C：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q坐标为(c，3a2)且满足|F2Q|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|+|PQ|76|F1F2|成立，则双曲线的离心率的取值范围是(32，102)【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），由xc，ybc2a2-1=b2a，可得A（c，b2a），由点Q坐标为(c，
21、3a2)且满足|F2Q|F2A|，可得3a2b2a，即3a22b22c22a2，即c252a2，则e=ca102，又|PF1|PF2|2a，则|PF1|+|PQ|2a+|PF2|+|PQ|2a+|F2Q|2a+3a2，当且仅当Q，P，F2三点共线时，上式取得等号由题意可得7a2762c，即c32a，可得e=ca32，综上可得32e102，故答案为：（32，102）四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在四边形ABCD中，ABAD，_，DC2在下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记
22、分）3AB4BC，sinACB=23；tan(BAC+6)=3；2BCcosACB2AC-3AB（）求DAC的大小；（）求ADC面积的最大值【解答】（I）解：若选在ABC，由正弦定理可得：ABsinACB=BCsinBAC，又3AB=4BC，sinACB=23可得：sinBAC=12，BAC=6，又ABAD所以BAD=2，所以DAC=3；（II）在ACD中，DC2，由余弦定理可得：DC24AC2+AD2ACADACAD，即ACAD4，SADC=12ACADsinDAC12432=3，当且仅当ACAD时取“”若选择（I）由tan(BAC+6)=3可得：BAC=6，又ABAD所以BAD=2，所以D
23、AC=3；（II）在ACD中，DC2，由余弦定理可得：DC24AC2+AD2ACADACAD，即ACAD4，SADC=12ACADsinDAC12432=3，当且仅当ACAD时取“”若选（I）2BCcosACB=2AC-3AB，由正弦定理得：2sinBACcosACB=2sinABC-3sinACB，2sinBACcosACB=2sin(ABC+BAC)-3sinACB 可得：cosBAC=32，所以BAC=6，又ABAD，所以BAD=2，所以DAC=3；（II）在ACD中，DC2，由余弦定理可得：DC24AC2+AD2ACADACAD，即ACAD4，SADC=12ACADsinDAC1243
24、2=3，当且仅当ACAD时取“”18如图1，四边形ABCD为矩形，BC2AB，E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面ABE平面BCE，平面DCE平面BCE（）求证：平面ABE平面DCE；（）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值【解答】（）证明：在图1中，BC2AB，且E为AB的中点，AEAB，得AEB45，同理DEC45，则CEB90，得BECE，又平面ABE平面BCE，平面ABE平面BCEBE，CE平面ABE，又CE平面DCE，平面ABE平面DCE；（）解：由题意，以E为坐标原点，EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，设A
25、B1，则E（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（22，0，22），D（0，22，22），F（22，22，0）向量EA=(22，0，22)，ED=(0，22，22)，设平面ADE的法向量为n=（x，y，z）由nEA=22x+22z=0nED=22y+22z=0，取z1，得n=（1，1，1），又FA=(0，-22，22)，设直线FA与平面ADE所成角为，则sin|cosFA，n|=|FAn|FA|n|=213=63故直线FA与平面ADE所成角的正弦值为6319已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn=an(an+1)2，nN*（）求数列an的通项公式an；（）设bn=log2a
26、n+2an+1；若称使数列bn的前n项和为整数的正整数n为“优化数”，试求区间（0，2020）内所有“优化数”的和S【解答】解：（I）由数列an的前n项和Sn=an(an+1)2，nN*知：当n1时，有S1=a1(a1+1)2=a1，又a10，a11；当n1时，an=Sn-Sn-1=an(an+1)2-an-1(an-1+1)2，整理得：（an+an1）（anan11）0，因为an+an10，所以有anan11，所以数列an是首项a11，公差d1的等差数列，ana1+（n1）dn（II）由ann知：bn=log2an+2an+1=log2n+2n+1，所以数列bn的前n项和为b1+b2+b3+bn=log232+log243+log254+log2n+2n+1=log2(324354n+2n+1)=log2(n+2)-1令b1+b2+b3+bnk（kZ），则有log2(n+2)-1=k，n=2k+1-2，由n（0，2020），kZ知：k10且kN*所以区间（0，2020）内所有“优化数”的和为S（222）+（232）+（242）+（2102）=(22+23+24+210)-18=22(1-29)1-2-18=211-22=2026