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1、高三数学寒假作业13一、单项选择题1已知集合Ax|x-1x-20，By|y=4-x2，则AB（）AB（，2C1，2）D0，22复数z满足|z+3+4i|2，则zz的最大值是（）A7B49C9D813加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g10m/s2，31.732）A63B69C75D814若、-2，2，且sinsin0，则下面结论正确的是（）AB+0CD225方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要
2、作用某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（）A甲B丙C戊D庚6已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q若|AB|8，则|PQ|（）A2B4C6D87洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数
3、”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是（）A13B16C172D11448已知直线yax+b（b0）与曲线yx3有且只有两个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1x2，则2x1+x2（）A1B0C1Da二、多项选择题9已知点F是抛物线y22px（p0）的焦点，AB，CD是经过点F的弦且ABCD，AB的斜率为k，且k0，C，A两点在x轴上方则下列结论中一定成立的是（）A1|AB|+1|CD|=12pB若|AF|BF|=43p2
4、，则k=33COAOB=OCODD四边形ABCD面积最小值为16p210如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点（点P不与点C，C1重合），过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CPCMCN，则下列说法正确的是（）AA1C平面B存在点P，使得AC1平面C存在点P，使得点A1到平面的距离为53D用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形11已知函数f（x）sin（cosx）cos（sinx），xR，则（）Af（x）为偶函数Bf（x）为周期函数，且最小正周期为2Cf（x）0恒成立Df（x）的最小值为-212已知二次方程的韦达定理，推广到实系
5、数三次方程Ax3+Bx2+Cx+D0也成立，即x1+x2+x3=-BAx1x2+x2x3+x3x1=CAx1x2x3=-DA若实数a、b、c满足abc，a+b+c=6ab+bc+ca=9，则（）Aa0B1b3C3c4D（b5）（c5）的最小值是154三、填空题：13已知函数y|sinx|的图象与直线ym（x+2）（m0）恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1x2x3x4，则2+x4tanx4= 14若函数f（x）ln（ex1+e1x）2与g(x)=sinx2图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则i=1m xi 15
6、已知函数f（x）ex（x+1）2，令f1（x）f（x），fn+1（x）fn（x），若fn（x）ex（anx2+bnx+cn），记数列2an2cn-bn的前n项和为Sn，求S2019的近似值有四位同学做出了4个不同答案：23，1，32，53，其中最接近S2019的近似值的是 16古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（0且1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2AD2AA16，点E在棱AB上，BE2AE，动点P满足BP=3PE若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的
7、半径为 ；若点P在长方体ABCDA1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则三棱锥MB1CF的体积的最小值为 四、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17若数列an满足an+12an2p（nN+，p为常数），则称数列an为等方差数列，p为公方差（1）已知数列cn，dn，xn，yn分别满足cn2020，dn=n+1，xn2n+1，yn3n，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）；（2）若数列an是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列an2的前n项和Sn18如图，平面四边形ABCD，点B，C，D均在半径为533的圆上，且BCD=3（1）求BD的
8、长度；（2）若AD3，ADB2ABD，求ABD的面积19如图1，平面四边形ABCD中，ABAC=2，ABAC，ACCD，E为BC的中点，将ACD沿对角线AC折起，使CDBC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥DABC（1）证明：平面ADE平面BCD；（2）已知直线DE与平面ABC所成的角为4，求二面角ABDC的余弦值高三数学寒假作业13（答案解析）一、单项选择题1已知集合Ax|x-1x-20，By|y=4-x2，则AB（）AB（，2C1，2）D0，2【解答】解：Ax|1x2，By|0y2，AB1，2）故选：C2复数z满足|z+3+4i|2，则zz的最大值是（）A7B49C9D81【解答】解：令z
9、x+yi，由|z+3+4i|2，得（x+3）2+（y+4）24，zz=x2+y2，圆（x+3）2+（y+4）24的圆心（3，4）到原点的距离为5，半径为2，zz的最大值为（2+5）249故选：B3加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g10m/s2，31.732）A63B69C75D81【解答】解：由题意知，F1=F2=400，夹角60，所以G+F1+F2=0，即G=-（F1+F2）；所以G2=(F1+F2)2=40
10、02+2400400cos60+400234002；|G|4003（N），则该学生的体重（单位：kg）约为403=401.73269（kg），故选：B4若、-2，2，且sinsin0，则下面结论正确的是（）AB+0CD22【解答】解：yxsinx是偶函数且在（0，2）上递增，、-2，2，sin，sin皆为非负数，sinsin0，sinsin|，22故选：D5方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班
11、的护士为（）A甲B丙C戊D庚【解答】解：因为己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，所以乙可能在星期一，二，三，五，六，日因为乙的夜班比庚早三天，所以乙可能在星期二，三，如果乙在星期三，则庚在周六，且丙在周五，庚比丙晚一天，但与甲的夜班比丙晚一天矛盾，则乙在周二，庚在周五，故选：D6已知抛物线y24x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A，B两点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为M，MAF的角平分线与抛物线的准线交于点P，线段AB的中点为Q若|AB|8，则|PQ|（）A2B4C6D8【解答】解：由题意，抛物线y24x的焦点为F（1，0），画出图形，可知PFAB，AMAF，设AB：yk（x1）与抛
12、物线方程联立，可得可得k2x2（2k2+4）x+k20，所以x1+x2=2k2+4k2，x1x21，线段AB的中点为Q若|AB|8，x1+x2+p8，即2k2+4k2+28，解得k1，所以中点Q的横坐标：k2+2k2=3，Q（3，2），PF：yx+1，与x1的解得P（1，2），所以PQ4故选：B7洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其
13、余位置填奇数则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是（）A13B16C172D1144【解答】解：九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数，基本事件总数n=A44A44=576，每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15；必须满足1和9对着即占或，2和8对角对着即占或，4和6 对角对着即占或，3和7对着即占或；先让1去挑位置，有4种选择，9随之确定；然后让8去挑位置，比如1挑，则8只能占或，有2种选择，其余随之确定；故符合条件的共有：428种；故所求概率为：8576=172故选：C8已知直线yax+b（b0）与曲线yx3有且只有两个公共点A（x1，
14、y1），B（x2，y2），其中x1x2，则2x1+x2（）A1B0C1Da【解答】解：直线yax+b（b0）与曲线yx3有且只有两个公共点，即为bx3ax有两个根，即函数yx3ax与yb恰有两个交点时满足题意做出两个函数图象：可知，x1是极大值点时满足题意y3x2a，3x12=a又b=x13-ax1=x23-ax2，x13-x23=a(x1-x2)，(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=a（x1x2），x1x2，a=x12+x1x2+x22=3x12，2x12-x1x2-x22=0，（2x1+x2）（x1x2）02x1+x20故选：B二、多项选择题9已知点F是抛物线y22px（p0）的焦
15、点，AB，CD是经过点F的弦且ABCD，AB的斜率为k，且k0，C，A两点在x轴上方则下列结论中一定成立的是（）A1|AB|+1|CD|=12pB若|AF|BF|=43p2，则k=33COAOB=OCODD四边形ABCD面积最小值为16p2【解答】解：AB的斜率为k，倾斜角为，则有|AB|=2psin2，|CD|=2psin2(+2)=2pcos2，所以A正确，|AF|=p1-cos，|BF|=p1+cos，|AF|BF|=p21-cos2=p2sin2，则=3，k=3，B错；OAOB=OCOD=-34p2，所以C正确；SABCD=12|AB|CD|=2p2sin2cos2=8p2sin228
16、p2，四边形ABCD面积最小值为8p2，所以D不正确；故选：AC10如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点（点P不与点C，C1重合），过点P作平面分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CPCMCN，则下列说法正确的是（）AA1C平面B存在点P，使得AC1平面C存在点P，使得点A1到平面的距离为53D用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形【解答】解：连接AD1，D1P，AMDB易得AD1PM，CC1PM，C1DPN，DBMN对于A，可得正方体中A1C面DBC1，即可得A1C平面，故A正确对于B，可得面C1DB面PMN，故AC1不可能平行面PMN
17、故错对于C，A1C平面，且A1C=353，所以存在点P，使得点A1到平面的距离为53，故正确对于D，用过P，M，D1三点的平面去截正方体，得到的截面是四边形PMAD1，PMAD1，四边形PMAD1一定是梯形，故正确故选：ACD11已知函数f（x）sin（cosx）cos（sinx），xR，则（）Af（x）为偶函数Bf（x）为周期函数，且最小正周期为2Cf（x）0恒成立Df（x）的最小值为-2【解答】解：函数f（x）sin（cosx）cos（sinx）的定义域为R，f（x）sin（cos（x）cos（sin（x）sin（cosx）cos（sinx）sin（cosx）cos（sinx）f（x），可
18、得f（x）为偶函数，故A正确；由f（x+2）sin（cos（x+2）cos（sin（x+2）sin（cosx）cos（sinx）f（x），可得f（x）为周期为2的函数，又f（x+）sin（cos（x+）cos（sin（x+）sin（cosx）cos（sinx）sin（cosx）cos（sinx）f（x），则不是f（x）的周期，同理可得 32也不是f（x）的周期，故B正确；当x（0，）时，sinx（0，1，cosx（1，0），2-sinx2-1，2），cosx+sinx=2sin（x+4）22，即cosx2-sinx，又cos（sinx）sin（2-sinx），ysinx在（-2，2）递增，可得
19、sin（cosx）sin（2-sinx）0，即f（x）0，故C正确当x时，可得f（）sin11，sin1sin4=-22sin11-2故D不正确故选：ABC12已知二次方程的韦达定理，推广到实系数三次方程Ax3+Bx2+Cx+D0也成立，即x1+x2+x3=-BAx1x2+x2x3+x3x1=CAx1x2x3=-DA若实数a、b、c满足abc，a+b+c=6ab+bc+ca=9，则（）Aa0B1b3C3c4D（b5）（c5）的最小值是154【解答】解：构造函数f（x）（xa）（xb）（xc）x36x2+9xabc，则f（x）3x212x+93（x1）（x3），易得，当x3，或x1时，f（x）0
20、，函数单调递增，当1x3时，f（x）0，函数单调递减，因为a，b，c为函数的三个零点，可得出f（x）极小值f（3）f（0）0，f（x）极大值f（1）f（4）0，由函数的零点判定定理可知，0a1，1b3，3c4，故A错误，B，C正确，由题中条件得出b+c6a，bc9a（6a）（a3）2，代入（b5）（c5）bc5（b+c）+25，（a3）25（6a）+25，a2a+4，a（0，1），当a=12时，（b5）（c5）取得最小值154，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知函数y|sinx|的图象与直线ym（x+2）（m0）恰有四个公共点A（x1，y1），B（x2，
21、y2），C（x3，y3），D（x4，y4），其中x1x2x3x4，则2+x4tanx4=1【解答】解：由题意画出图象如下：根据题意，很明显，在D点处，直线与函数y|sinx|的图象相切，D点即为切点则有，在点D处，ysinx，ycosx而cosx4m，且y4m（x4+2）sinx4，x4+2=-sinx4m=-sinx4-cosx4=tanx4x4+2tanx4=tanx4tanx4=1故答案为：114若函数f（x）ln（ex1+e1x）2与g(x)=sinx2图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则i=1m xi2【解答】解：函数f（x）ln（ex1+e1x）2关于直线
22、x1对称满足f（x）f（2x），g（x）sinx2也关于直线x1对称，当x1时，f（x）单调递增，f（1）ln22，f（4）ln（e3+e3）21，如图，两个函数图象只有两个交点，所以i=1m xi=2，故答案为：215已知函数f（x）ex（x+1）2，令f1（x）f（x），fn+1（x）fn（x），若fn（x）ex（anx2+bnx+cn），记数列2an2cn-bn的前n项和为Sn，求S2019的近似值有四位同学做出了4个不同答案：23，1，32，53，其中最接近S2019的近似值的是32【解答】解：f（x）ex（x+1）2，f1(x)=ex(x2+4x+3)，f2(x)=(x2+6x+7)
23、ex，f3(x)=(x2+8x+13)ex，fn(x)=exx2+2(n+1)x+n(n+1)+1，fn（x）ex（anx2+bnx+cn），an1，bn2（n+1），cnn（n+l）+12an2cn-bn=22n2+2n+2-2n-2=1n21n(n-1)=1n-1-1n，则S201912+1-12+12-13+1n-1-1n=32-1n32与S2019的值最接近的是3216古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A，B距离之比为常数（0且1）的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆简称为阿氏圆根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2AD2AA16
24、，点E在棱AB上，BE2AE，动点P满足BP=3PE若点P在平面ABCD内运动，则点P所形成的阿氏圆的半径为23；若点P在长方体ABCDA1B1C1D1内部运动，F为棱C1D1的中点，M为CP的中点，则三棱锥MB1CF的体积的最小值为94【解答】解：若点P在平面ABCD内运动时，如图以A为原点距离平面直角坐标系，可得E（2，0），B（6，0）设P（x，y），由BP=3PE可得BP23PE2即3（x2）2+3y2（x6）2+y2，x2+y212则点P所形成的阿氏圆的半径为23，圆心为A，若点P在长方体ABCDA1B1C1D1内部运动，由可得点P在半径为23，球心为A球上如图建立空间直角坐标系，可
25、得A（3，0，0），F（0，3，3），C（0，6，0），B1（3，6，3）则FC=(0，3，-3)，FB1=(3，3，0)，AC=(-3，6，0)设面FB1C的法向量为m=(x，y，z)，mFC=3y-3z=0mFB1=3x+3y=0，可得m=(1，-1，-1)A到面FCB1的距离为d=|mAC|m|=93=33则P到面FCB1的距离的最小值为33-23=3，M为CP的中点，M到面FCB1的距离的最小值为32则三棱锥MB1CF的体积的最小值为13SFCB132=1334(32)232=94故答案为：23，94四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17
26、（10分）若数列an满足an+12an2p（nN+，p为常数），则称数列an为等方差数列，p为公方差（1）已知数列cn，dn，xn，yn分别满足cn2020，dn=n+1，xn2n+1，yn3n，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）；（2）若数列an是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列an2的前n项和Sn【解答】解：（1）由等方差数的定义可得：cn，dn为等方差数列（2）数列an是首项为1，公方差为2的等方差数列，an2=1+2（n1）2n1数列an2的前n项和Sn=n(1+2n-1)2=n218（12分）如图，平面四边形ABCD，点B，C，D均在半径为533的圆上，且BCD
27、=3（1）求BD的长度；（2）若AD3，ADB2ABD，求ABD的面积【解答】解：（1）由题意可知BCD的外接圆半径R为533，且BCD=3由正弦定理可得BDsinBCD=2R=5332，解得BD5（2）在ABD中，ADB2ABD，sinADBsin2ABD2sinABDcosABD，AB2ADcosABD2ADAB2+BD2-AD22ABBD，BD5，AD3AB26，cosABD=63，sinABD=33，SABD=12ABBDsinABD=1226533=5219（12分）如图1，平面四边形ABCD中，ABAC=2，ABAC，ACCD，E为BC的中点，将ACD沿对角线AC折起，使CDBC，
28、连接BD，得到如图2所示的三棱锥DABC（1）证明：平面ADE平面BCD；（2）已知直线DE与平面ABC所成的角为4，求二面角ABDC的余弦值【解答】解：（1）证明：在三棱锥DABC中，CDBC，CDAC，ACBCC，CD平面ABC，AE平面ABC，AECD，ABAC，E为BC中点，AEBC，BCCDC，AE平面BCD，AE平面ADE，平面ADE平面BCD（2）解：由（1）知DEC是直线DE与平面ABC所成角，DEC=4，CDCE1，作EFCD，交BD于点F，由（1）知EA，EB，EF两两垂直，以E为原点，EA，EB，EF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，1，1），由题意得平面BCD的法向量n=（1，0，0），AB=（1，1，0），AD=（1，1，1），设平面ABD的法向量m=（x，y，z），则mAB=-x+y=0mAD=-x-y+z=0，令x1，解得n=（1，1，2），cosn，m=nm|n|m|=66，由图可知该二面角为锐角，二面角ABDC的余弦值为66