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1、关于点的坐标与向量关于点的坐标与向量坐标坐标第一页，讲稿共二十四页哦x横轴y纵轴z竖轴 定点o空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的建立第二页，讲稿共二十四页哦 笛卡儿（1596-1690）-著名的法国哲学家、数学家、物理学家，解析几何学奠基人之一。黑格尔称他为“现代哲学之父”。1637年，笛卡儿发表了几何学。几何学一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生。解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来。此后，人类进入变量数学阶段。笛卡儿的这一天才创见，更为微积分
2、的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。第三页，讲稿共二十四页哦xyozxoy面yoz面zox面空间直角坐标系共有八个卦限第四页，讲稿共二十四页哦空间的点有序数组),(zyx11),(zyxM xyzo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR2.点的表示第五页，讲稿共二十四页哦xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd,222212NMPNPMd 3.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式第六页，讲稿共二十四页哦,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式xyzo 1MPNQR 2M第
3、七页，讲稿共二十四页哦0000(1)(,)Mxy z求求到到定定点点的的距距离离为为定定长长的的点点的的 轨轨迹迹。00001111(2)(,)(,)Mxy zMxy z求求到到、两两点点距距离离 相相等等的的点点的的轨轨迹迹。问题：(3)写出点),(cba关于各坐标面、坐标轴及坐标 原点的对称点的坐标。第八页，讲稿共二十四页哦二、向量及其线性运算的坐标表示二、向量及其线性运算的坐标表示1.向量的坐标表示a 0M M设设0000,(,),(,)Mxy zM x y z起起点点终终点点000-,-,-x xy y z z将将分分别别称称为为0M M,xy在在 轴轴轴轴z轴轴上上的的投投影影。00
4、0-,-,-xyzx xayyaz za 记记 (,),xyzxyzaaaaaaaa 称称为为向向量量 的的坐坐标标表表达达式式,称称为为向向量量 的的坐坐标标（或或分分量量）第九页，讲稿共二十四页哦xyzo 1MPNQR 2MPNQR 1M 2Mxyzo第十页，讲稿共二十四页哦xyzaa ia ja k x轴轴y轴轴z轴轴 上上的的分分向向量量a 在在.,kajaiaaazyxkjizyx 的的坐坐标标分分解解式式则则有有向向量量称称为为直直角角坐坐标标系系下下的的轴轴正正向向同同向向的的单单位位向向量量表表示示与与通通常常以以标准单位向量，标准单位向量，（标准分解式）000(-,-,-)x
5、 xy yz z 0M M),(zyxaaaa 记第十一页，讲稿共二十四页哦:),(),(则则可可得得若若zyxzyxbbbbaaaa ),(.1zzyyxxbabababa ),(.2zyxaaaa zzyyxxzyxzyxabababaaabbbababa ),(),(,/,0.3或或即即相相当当于于时时当当 2.向量线性运算的坐标表示第十二页，讲稿共二十四页哦例4、.,1),(),(222111MBAMMABzyxBzyxA 使使上上求求点点在在直直线线以以及及实实数数和和已已知知两两点点xozyAMB例5、.)4,2,0(),5,4,3(),1,0,1(:共共线线三三点点证证明明 CB
6、A第十三页，讲稿共二十四页哦1、向量的模 模为1的向量称为单位向量，),(aaaaaaaaezyxa 即有 三.向量的模、方向角与投影的模：的模：向量向量),(zyxaaaa 222 zyxaaaa PNQR 1M 2Mxyzo第十四页，讲稿共二十四页哦例6、.)3,2,5(),2,1,7(),1,3,4(321个等腰三角形个等腰三角形点为顶点的三角形是一点为顶点的三角形是一三三求证以求证以MMM例7、.)2,5,3()7,1,4(距距离离相相等等的的点点和和轴轴上上求求与与两两点点在在 BAz例8、.),3,1,7()5,0,4(eABBA方方向向相相同同的的单单位位向向量量求求与与和和已已
7、知知两两点点第十五页，讲稿共二十四页哦非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角，,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 分别记为cos,cos,方方向向角角的的余余弦弦cosa 叫叫做做 的的方方向向余余弦弦。2、向量的方向角与方向余弦 第十六页，讲稿共二十四页哦xyzo 1M 2M 则则cos,|xaa cos,|yaa cos.|zaa 1coscoscos222 且且第十七页，讲稿共二十四页哦(,),xyzaaaa 若若则则(,)|yzxaaaaaa 1 (,)axyzaeaaaaa (cos,cos,cos)aa以以 的的方方向向余余弦弦作作为为坐坐标标的的向向量量是是与与同同向向的
8、的单单位位向向量量。任任何何非非零零向向量量可可以以表表示示为为它它的的模模与与同同向向单单位位向向结结论论：量量的的数数乘乘。第十八页，讲稿共二十四页哦aaaaaazyx cos ,cos ,cos1coscoscos222 )cos,cos,(cos ae第十九页，讲稿共二十四页哦例9、.,),0,3,1()2,2,2(和方向余弦和方向余弦方向角方向角的模的模计算向量计算向量和和已知两点已知两点MNNM例10、.,6,43,)(,的坐标的坐标求点求点且且和和轴的夹角依次为轴的夹角依次为轴轴与与起点在原点的向量起点在原点的向量向径向径卦限卦限位于第位于第设点设点AOAyxOAA 0cosco
9、s)3(;1cos)2(;0cos)1(:,11 其方向余弦分别满足其方向余弦分别满足标面有何关系时标面有何关系时、当向量与坐标轴或坐、当向量与坐标轴或坐例例第二十页，讲稿共二十四页哦3、向量的投影(projection).,),(,0,上的投影向量上的投影向量在在为为则称则称点点上的投影上的投影在在为为夹角夹角其其向量向量如右图如右图baMObMMbaONbOMa oMNabM bbeaeOMMO)cos()cos(则则.jPr,cosabaab记记为为上上的的投投影影在在为为向向量量称称数数 cosjPraab 第二十一页，讲稿共二十四页哦uabc.,jPr也也可可为为零零可可正正可可负负是是一一个个数数ab注：第二十二页，讲稿共二十四页哦向量线性运算的坐标表示式向量的表示形式：几何形式，坐标形式，分解表达式向量的模与方向余弦四、小结四、小结向量的投影第二十三页，讲稿共二十四页哦感谢大家观看第二十四页，讲稿共二十四页哦