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1、矩阵的初等变换与初等矩阵第1页，共22页，编辑于2022年，星期日5.1 5.1 初等变换初等变换 交换第交换第i行与第行与第j行记为行记为rirj.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1 1-2 1 3 1-9 3 7r2r4 1 5-1-1 3 8-1 1 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.例如例如下页第2页，共22页
2、，编辑于2022年，星期日-1 1 3-1 交换第交换第i列与第列与第j列记为列记为cicj.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1c1c3 5-2-9 8-1 3 7 1 1 1 1 3例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.第3页，共22页，编辑于2022年，星期日 用数用数k乘
3、以第乘以第i行记为行记为kri.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14r2 4 4-812 1-1 5-1 1 3-9 7 3-1 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.第4页，共22页，编辑于2022年，星期日 用数用数k乘以第乘以第i列记为列记为kci.1 5-1-1
4、1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 14c3-4 412-4 1 5-1 1-2 3 1-9 7 3 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.第5页，共22页，编辑于2022年，星期日 第第i行的行的k倍加到第倍加到第j行记为行记为rj+kri.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7
5、3 8-1 1r3-3r1 1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 0-7 2 4例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.第6页，共22页，编辑于2022年，星期日 第第i列的列的k倍加到第倍加到第j列记为列记为cj+kci.1 5-1-1 1-2 1 3 1-9 3 7 3 8-1 1c3+c1
6、0 2 4 2 1 5-1 1-2 3 1-9 7 3 8 1例如例如下页5.1 5.1 初等变换初等变换 定义定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行交换矩阵的某两行(列列)；(2)以数以数k 0乘矩阵的某一行乘矩阵的某一行(列列)；(3)把矩阵的某一行把矩阵的某一行(列列)的的k倍加到另一行倍加到另一行(列列)上上.第7页，共22页，编辑于2022年，星期日定理定理3 任意一个任意一个矩阵都可以经过一系列的初等变换矩阵都可以经过一系列的初等变换化成下述形式化成下述形式它称它称为为矩矩阵阵A的的标准形标准形（1的个数可以
7、是零）的个数可以是零）.下页第8页，共22页，编辑于2022年，星期日下页2101 000041-1 6r2r12 1 011 0 0-10 0 4 6r2-2r 10 1 031 0 0-10 0 4 61/4c30040101 0030 60060101 00004c4+c 1c4-3c 2例如：例如：0000101 00001c4-6c3第9页，共22页，编辑于2022年，星期日 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k)、E
8、(j,i(k).=E(2,4)例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2r4=E(2,4)1000010000100001E=0001100000100100c2c4下页5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵第10页，共22页，编辑于2022年，星期日=E(3(4)1000010000100001E=00401000010000014 r3=E(3(4)1000010000100001E=00401000100000014 c3下页 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换
9、得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k)、E(j,i(k).5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：第11页，共22页，编辑于2022年，星期日=E(2,4(k)1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4=ET(2,4(k)1000010000100001E=10 000 001 000 1010kc2+kc4下页 定义定义2 对单位矩阵对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初
10、等方阵）初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k)、E(j,i(k).5.2 5.2 初等矩阵初等矩阵例如，下面是几个例如，下面是几个4阶初等矩阵：阶初等矩阵：第12页，共22页，编辑于2022年，星期日 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性初等矩阵的可逆性E(j,i(k)-1=E(j,i(-k).E(i(k)-1=E(i(k-1)；E(i,j)-1=E(i,j)；这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:下页|E(j,i(k)|=1
11、=1.|E(i(k)|=k(k0)；|E(i,j)|=-1；第13页，共22页，编辑于2022年，星期日E(1,2)A=与交换与交换A的第一行的第一行(列列)与第二行与第二行(列列)所得结果相同所得结果相同.AE(1,2)=例如例如，设设下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于用相应的用相应的m阶初等矩阵乘矩阵阶初等矩阵乘矩阵A；对对A施行一次初等列变换相当于施行一次初等列变换相当于用矩阵用矩阵A乘乘相应的相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵阶初等矩阵的转置矩阵.第14页，共22页，编辑于2022年，星期日=与第三行与第三行(列列)的
12、的2倍加到第一行倍加到第一行(列列)所得结果相同所得结果相同.=例如例如，设设E(1,3(2)A=AET(1,3(2)=下页 定理定理1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵，对对A施行一次初等行变换相当于施行一次初等行变换相当于用相应的用相应的m阶初等矩阵乘矩阵阶初等矩阵乘矩阵A；对对A施行一次初等列变换相当于施行一次初等列变换相当于用矩阵用矩阵A乘乘相应的相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵阶初等矩阵的转置矩阵.第15页，共22页，编辑于2022年，星期日练练 习：习：下页第16页，共22页，编辑于2022年，星期日练练 习：习：下页第17页，共22页，编辑于2022年，星期日5.3 5.3 求逆矩
13、阵的初等变换方法求逆矩阵的初等变换方法定理定理2 若若n阶矩阵阶矩阵A可逆，则可以通过可逆，则可以通过行行初等变换初等变换将将A化为单位矩阵化为单位矩阵.证证：因为因为A可逆可逆,即即|A|0，所以，所以A的第一列不全为的第一列不全为0,不妨设不妨设a11 0.将将A的第一行元素乘以的第一行元素乘以1/a11,再将变换后的第一行的再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第倍加到第i行，行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:由定理由定理1 1知，知，其中其中Fi是对应初等矩阵是对应初等矩阵.一直进行下去，最终把一直进行下去，最终把
14、A化成了化成了单位矩阵单位矩阵E.同理可得同理可得B2:下页 即即B2的第二行第二列元素化为的第二行第二列元素化为1,第二列的其它元素全化为零第二列的其它元素全化为零.第18页，共22页，编辑于2022年，星期日 推推论论 方方阵阵A可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是A可可以以表表示示为为有有限限个个初初等等矩矩阵阵的的乘积乘积.下页 证证（必必要要性性）假假设设A可可逆逆，由由定定理理2，A经经有有限限次次初初等等行行变变换换可可化化为为单单位阵位阵E,即存在初等矩阵即存在初等矩阵 使使 而而 是初等矩阵是初等矩阵.（充充分分性性）如如果果A可可表表示示为为有有限限个个初初等等矩矩阵阵
15、的的乘乘积积，因因为为初初等等矩矩阵阵都都是是可可逆逆的的，而而可可逆逆矩矩阵阵的的乘乘积积仍仍然然可可逆逆的的，所所以以A是是可可逆逆矩阵矩阵.第19页，共22页，编辑于2022年，星期日就是说，当通过初等行变换将矩阵就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成变成E时，经过同样的变换把时，经过同样的变换把E变成变成了了A-1.于是有于是有利用初等行变换求逆矩阵的方法利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握要求：熟练掌握)构造一个构造一个 n2n 矩阵矩阵(A|E)，对矩阵，对矩阵(A|E)作初等行变换，当作初等行变换，当左部左部A变成单位矩阵变成单位矩阵E时，右部单位矩阵时，右部单位矩阵E则变
16、成则变成A-1-1.即即 下页即若即若,则则而由而由,即即第20页，共22页，编辑于2022年，星期日例例1(法法2)2)求矩阵求矩阵A=的逆矩阵的逆矩阵.12-30 1210-512-30 1210-510 00 1000 1解解：1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 2-2 3 0 1r2-2r1r3+3r1 1 0 1 1 0 0 0 1-2-2 1 0 0 0 2 7-2 1r3-2r2 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 2 7-2 1r2+r3r1-0.5r3 1 0 0-2.5 1-0.5 0 1 0 5-1 1 0 0 1 3.5-1 0.5，-2.5 5 3.5 1-1-1-0.5 1 0.5A-1=.(AE)=r30.5下页第21页，共22页，编辑于2022年，星期日解：解：例例2 2下页第22页，共22页，编辑于2022年，星期日