《2022年随机过程习题答案A .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年随机过程习题答案A .pdf（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。解：（ a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（ a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3 、 设是 一 个 实 的 均 值 为 零 ， 二 阶 矩 存 在 的 随 机 过 程 ， 其 相 关 函 数 为，且是一个周期为T的函数，即， 试求方
2、差函数。解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - - 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。解：（ a）（b）第二讲作业：P33/2解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解： (1) 其中由题意可知，
3、的联合概率密度为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - - 利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。（2）典型样本函数是一条正弦曲线。（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。（4） 由于：所以因此当时，当时，由（ 1）中的结论，有：P36/7证明：(1) (2) 由协方差函数的定义，有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
4、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - - P37/10. 解：（ 1）当i=j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7解：（1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8解：（ 1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：（2）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
5、 - - 第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - - ，因此：P112/9解：（2）由（ 1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 41 页 - - - - - - - - - P112/12解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏
6、链，它有8个状态。记每天天晴为0，下雨为 1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。如三天晴为 000，为状态 0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态 1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为 010，为状态 2；第一天晴，后两天阴为011，为状态 3，等等。根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：第四讲作业：P113/13解：画出状态转移图，有：P113/14. 解：画出状态转移图，有：P113/16解：画出状态转移图，有：（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。（3）状态 3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态 3、4为常返态；另外状态0、名师资料总结 - - -
7、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - - 2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态 1为非常返态。（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故 3、4为非常返态。第六讲作业：P115/17解：（ 1）一步转移矩阵为：（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：解得极限分布即可。P115/18解：由第七题的结果，计算可得：，因此可计算极限分布如下：解以上方程，得极限分布：P11
8、5/19解：见课上讲稿。P116/21解：记，则有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 41 页 - - - - - - - - - （1）因为：(A) 当时，有：由（ A）可得：当且时，有：由（ A）可得：当且时，有：由（ A）可得：另外：下列等式是明显的因此我们有：即是一齐次马氏链。一步转移矩阵为：（2）画出转移矩阵图，可得：由：及，并且取，由递归可得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
9、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 41 页 - - - - - - - - - （3）由于：因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T就是零状态到零状态的首达时间。因此我们有：随机过程习题解答（二）P228/1。证明：由于ts，有ntNPknstNPksNPntNPntNksNPntNksNP)()()()()(,)()(/)(其中)()!()(!)()()(stknskeknsteksknstNPksNPtnentntNP!)()(所以knkknknkktnstknskksksknk
10、nkntsttsenteknsteksntNksNP1)!( !)(!)()!()(!)()(/)()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 41 页 - - - - - - - - - 证毕。P229/3. 解：（ 1）因为0),(ttN是一Poission 过程，由母函数的定义，有：)()()()()()()()()()()()()()()()(000000000)(sssjtNPsltNPslktNPsltNPslktNPsltNPslktNPsltNPs
11、lktNPltNPsktNPstNtNjjlllklkllllklklkkllklkkklkkttN（2）有上面（ 1）的结果，可得：tsstssstsststNttNtNtNtNttNttNttN1)()()()()()()(?)()(0)()()()(0)()(0)(limlimlim（3）当t充分小时，由于：2100)()()()(1)()(kkkktNststtsttsstNPs因此，当1s时，有：) 1()()(1)(20)(0limlimssttttstttskkttNt由（2）的结果，我们有：)()1()()()(sststNtNP229/4. 解：（ 1）由上面 3题的结果（
12、3），我们有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 41 页 - - - - - - - - - tstNNtNtNessssts)1()()0()()()(1)()()1()(（2） 由于)()(stN是随机过程)(tN的母函数，且tstNes)1()()(， 将函数tse)1(关于)1(ss展开成级数形式，我们可得：0)1()(!)()(kktktstNsektes由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：2, 1 ,0,!)()(kektktNPtkP230
13、/8. 解：由特征函数的定义，我们有：nYuintnYYYuintntXuintXuitXeEenteEentntNeEntNPeEun12100)(0)()(!)(!)()()()(令)(11ueEYYui，则有：1)(exp!)()(110)(utenutuYntnYtX（*）若), 2, 1(nYn的概率分布为：2122111, 1nnYPYP则uiuiYuiYeeeEunn212211)(（* ）将（* ）代入（ *），我们有：teteteetuuiuiuiuitX)(exp1)(exp)(212121221121)(P230/7. 解：先求0),(0ttN的特征函数：名师资料总结 -
14、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 41 页 - - - - - - - - - teteteeteetemeteneteemteenteEeEeEeEuuiuituituimtmuintnuimuimtmnuintntNuitNuitNtNuitNuitN)(expexpexp!)(!)(!)(!)()(2121)(210)(201)(0201)()()()()()()(212121212100由上面 8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知0),(0ttN是
15、复合Poission 过程。P231/10. 解：由于ntXtXtXPntXtXtXjtXktXPntXtXtXjtXktXP)()()()()()(,)(,)()()()()(,)(3213212132121因为)(tXi的母函数为：tssitN)1(exp)()(，由独立性，可知)()()(321tXtXtX的母函数为：31321)()(1exp)()(itXtXtsss，所以)()()()(321tXtXtXtX是参数为321的泊松过程，即tnentntXtXtXP321!)()()(321321因此我们有：njknjktntkjntjtkjknjknentekjntejtektntXt
16、XtXjtXktXP)()!( !)!(!)()()()(,)(32132132111132121321321P231/12. 解：（ 1）由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 41 页 - - - - - - - - - )( 1)(1)( 1)(, 1)( 0)(,)()(totPktXPtPktXPtXktXPtXktXPkttXPrr令0t，有)()()(1tPPtPPdttdPkrkrk解得tPkrrektPktXP!)()(（2）由（ 1）知，)
17、(tX服从参数为rP的泊松分布。P232/15. 解：（1）以)(t表示 t 时刻系统中不正常工作的信道数，则0),(tt是一马氏过程，其状态空间为：2, 1 ,0S，Q矩阵为：220)(022Q（2）令：)()()()()()()()()()(222120121110020100tptptptptptptptptptP则前进方程为：33)0()()(IPQtPtdtPd（3）令：)()(jtPtpj)0,0, 1()0(,)(),(),()(210ptptptptp写出福克普朗克方程：)0, 0, 1()0()()(pQtptdtpd即有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
18、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 41 页 - - - - - - - - - 0)0(,0)0(,1)0()(2)()()(2)()()(2)()()(2)(2102122101100ppptptptdtpdtptptptdtpdtptptdtpd做Laplace 变换，令：2, 1 ,0,)()(ntpLsnn则有：)(2)()()(2)()()(2)()()(21)(2122101100sssssssssssss由上解得：)()(2)()(22)3()(220sCsBsAssssss其中：22222)
19、(2,)(,)(CBA因此求)()(010sLtp即可。（4）tttBABAeeetTPtTPtTtTP2,P233/16. 解：（1）令)(t表示 t 时刻系统中正在用电的焊工数，则0),(tt是一马氏过程，其状态空间为：, 2, 1 ,0mS。（2）Q矩阵为：mmmmmmmmQ00000)2()2(22000) 1() 1(000（3）令：)()(jtPtpj)0,0,0, 1()0(,)(,),(),(),()(210ptptptptptpm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
20、- - 第 14 页，共 41 页 - - - - - - - - - 写出福克普朗克方程：)1(1)0 ,0, 0, 1 ()0()()(mpQtptdtpd（4）画出状态转移率图，可得t时的平衡方程：1)1()1()(2)1(011120110mnnmmnnnppmppnpnmpnnmppmpmppm由此可得：0) 1()1()(1011ppmpnpnmpnpnmnnnn即有：0)1()(1nnpnpnmmnpnnmpnn,2, 1 , 0,)1()(1由此可以求得：mnpCpmnnmnnmpnnmnn, 1 ,0,11)()1(00由10mnnp，即可确定0p，最终得到所要的结果。P23
21、3/17. 解：（ 1）由于：)0,(,anannn可以得到此过程的Q矩阵：anannaaaaaaQ)(02)22(2000)(000令：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 41 页 - - - - - - - - - )()(jtPtpj),)(,),(),(),()(210tptptptptpn写出福克普朗克方程：)()1()()()()1()()(3)()(2)()()()(2)()()()()()()(1132122101100tpntpantpan
22、tdtpdtptpatpatdtpdtptpatpatdtpdtptpatdtpdnnnn初始条件：)(0)0(,1)0(00njppjn。（2）由数学期望的定义：10)()()(?)(nnnntpntpntMtE由此，我们有：)()()()()()1()()()()1()()() 1()()()()1()()()()1()()()()1()()()(1111011111111111tMatpnatpntpntpnntpatpntpntpnntpnatpnatpntpantpanntdtpdntpntddtdtMdnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn即可得到描写)(tM的微分方程：
23、0)0()()()(nMtMatdtMd（3）解上面的微分方程，我们有：tteaentM)()(01)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 41 页 - - - - - - - - - P233/19. 解（1）根据题意得到Q矩阵为)(0)2(2000)(000nnQ由福克普朗克方程得：)1()()1()()()()()()()(11100ntpntpntpdttdptptpdttdpnnnn（2）01001111100)()()()()() 1()()()
24、()()()(),(nnnnnnnnnnnnnnnnnutpnutpnutptpntpntptptputpttuG而01)() 1(),()1(nnnutnpuutuGu因此左边=001)()(nnnnnnutputp右边=0010)()()()1(),()1(nnnnnnnnnutputputputuGu左边=右边，证毕。（3）将)1(),(uefetuGtu代入左边。右边),()1()1()1()1()1() 1()()1()1(左边tuGuuefeueuefuefeueuuefetuuttuttu（4）由1)0,(uG，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
25、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 41 页 - - - - - - - - - 1)1(ufeu即ueuf)1(进而有)1()(ueuf所以)1)(1()1(),(teutueuefetuG（5）令xet)1(，由 (4) 的结论!)1(! 2)1()1(1),(22)1(nuxuxuxetuGnnux其中nu对应的系数为xnnnnnnenxnxCnxCnx!)!2()!1(!2211所以ntenenetpt)1 (!1)()1(（6）)1()1()1(!1)1()1()!1(1)1(!1)()()1()1(0)1(1)
26、1(1)1(1tetennttenntenntenneeeeeneeeneennetnptMttttt（7）由(5) 的结论，知eetptett)1(0lim)(limP236/24解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 41 页 - - - - - - - - - (1) 根据题意得Q矩阵0)(000)(0000Q由平衡方程，有0)(0)(01121010nnnpppppppp因此有iipp1，进而),2, 1 ,0(0nppnn因为11000nnnnpp
27、所以，当1时系统平稳。),2,1 ,0(1npnn(2)1100nnnnQnppnW(3) 前)1(n次以概率 1重新排队，第n次以概率离开，所以11n即为所求。(4)1110101nnnnnnT26解(1)设系统状态为不工作机器的数量，则3,2, 1 ,0S，得Q矩阵3300)2(2002)2(0033Q列出平衡方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 41 页 - - - - - - - - - 0303)2(202)2(3033232121010pppp
28、pppppp其中：81101解得72964,729240,729300,7291253210pppp所以729972)(30nnnptM(2)7292432)72964729240(8)(832ppTP237/28. 解：（1）设泊松分布第1n个事件发生与第n个事件发生的时间间隔nX的特征函数为：)(unX，则有：)1(exp)(uiXeun由于nX是独立同分布的，根据nkknXS1以及特征函数的性质可知：)1(exp)1(exp)()(uinuinXSeneuunn因此可知nS是服从参数为 n的泊松分布，即：,2, 1 ,0,!)(keknkSPnkn（2）由：)(1tSPtSPntNPnn
29、可知：0)1(0!) 1(!)()(tknktknkekneknntNP附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：一阶拟线性方程的一般形式：),(),(),(uyxcuuyxbuuyxayx一阶线性方程的一般形式：),(),(),(),(yxduyxcuyxbuyxayx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 41 页 - - - - - - - - - 称：),(),(),(zyxcdzzyxbdyzyxadx或：),(),(),(zyxcdtdzzyxbdtd
30、yzyxadtdx为一阶拟线性方程的特征方程。由此方程确定的曲线)(),(),(tztytx为特征曲线。一阶拟线性方程的特征方程的解),(yxu为积分曲面。有以下定理：定理：若特征曲线上一点),(0000zyxP位于积分曲面),(:yxuuS上，则整个位于 S上。初值问题：给定初始曲线：)(),(),(),( :shsgsfzyx，s为参数。则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解),(yxuz，使满足)(),()(sgsfush。我们有以下定理。定理：设曲线)(),(),(),( :shsgsfzyx光滑，且022gf，在点)(),(),(),(0000000shsgsfzyxP处行列
31、式0),(),()()(00000000zyxbzyxasgsfJ又设),(),(),(zyxczyxbzyxa在附近光滑，则初始问题：)()(),(),(),(),(shsgsfuuyxcuuyxbuuyxayx在参数0ss的一邻域内存在唯一解。例：已知初始曲线10,2,:sszsysx，求初值问题：2/1suuuuyx解：由于：02/112/11),(),()()(00000000sszyxbzyxasgsfJ解常微分方程的初值问题：)2/, ,(),(1, 1,0ssszyxdtdzdtdyzdtdxt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
32、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 41 页 - - - - - - - - - 得：ssttzstystz2/2/,2/2由后两式解出ts, ，并代入第一式，解得：)2(224),(2yyxyyxuzP233/9. 解初值问题：)1 , 0,(),() 1() 1(0sztuGuGGutu由于：011) 1(01),(),()()(00000000szyxbzyxasgsfJ解常微分方程的初值问题：)1,0, ,(),()1(, 1),1(0szyxzuddzddtuddut解得：)1() 1(lnz1)1(sesseut在上面式子中消去参
33、数, s，得初值问题的解：)1)(1(exp),(teutuGP311/1. 解：（ 1）给定1212,kktt时，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 41 页 - - - - - - - - - （2）任取,0,21tt我们有：所以Poission 过程不是平稳过程。P311/2. 解：（ 1）由Poission 过程的性质，任取1212,tttt假定事件：则有：，因此有：（2）由，且),;,(2121ttxxf仅与12tt有关，可知是平稳过程。P312
34、/3. 解：（ 1）由均值的定义，我们有：（2）由相关函数的定义，任取，我们可得：P312/4. 解：为了解此题，先看下面的引理：引理：设是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：则和Y取不同符号的概率为：引理的证明：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 41 页 - - - - - - - - - 令：则有：以上式子用了变换：由：因此只要求：因此有：由于此时：我们即可得到结论。P313/5. 证明：由于：故是宽平稳过程。分别取,4/,021tt，则，)4/
35、sin()(2zt，因为具名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 41 页 - - - - - - - - - 有不同分布，所以)(t不满足一级严平稳条件。P314/10. 解：样本函数不连续。令：012tt，下面求相关函数：因为：因此该过程是均方连续的随机过程。P314/11. 证明：令：，则有由车比雪夫不等式：P315/13. 证明：（ 1）令：，由上题的结果可知：因此有（2）由相关函数的定义及（1）的结果，有P316/17. 解：（ 1）由均值函数和相关函
36、数的定义，我们有：由，可得（2）有上面的结果知是一宽平稳过程。令：，不具有相同的分布，所以不是一级严平稳过程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 41 页 - - - - - - - - - P318/22. 解：根据题目给定的条件，有：，因为：，因此有：P318/23. 解：根据为一平稳过程，则有：，因此有：P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义，有：P319/28. 解：由题意，我们有：设，则有：令：，则有：，因此有：P319/30. 解：（ 1
37、）由于：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 41 页 - - - - - - - - - 因此输入不是平稳的。（2）由计算可得：（3）计算均值函数和相关函数为：因此输出不是平稳的过程。P445/1解题中给出的是一确定性周期信号，令：，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：当时，因此有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共
38、 41 页 - - - - - - - - - P445/2. 解：（ 3）（4）P445/3. 解：由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/4. 解：（ 1）由于：因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 41 页 - - - - - - - - - （2）由功率谱密度和相关函数的关系，有：P446/5. 解：由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数，我们有：其均方值为：P447/7. 解：（ 1）冲激响应为：（2）由6
39、题的结果，我们有：注意到的定义，当或时，当时，当时，因此有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 41 页 - - - - - - - - - （3）由6题的结果，令：，有：P447/8. 解：由 Fourier 变换，有：因为：则有：因此有：当时，有由于：eeR4321) 1 (3，341) 1(eR，显然， 所以不关于0对称。P448/11. 证明I ：当时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
40、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 41 页 - - - - - - - - - 取：21t，2t，03t；以及，我们有：由此可得：即有：因此有：证明II ：设此随机过程的功率谱密度函数为，由题意可知)()(SS，下面用归纳法证明结论：当时，有假设当 n=k时，结论成立，即则有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页，共 41 页 - - - - - - - - - 即当n=k+1时，结论
41、成立，由归纳法可知有结论成立。P450/14. 解：由样本函数可知，假设iS为第i 个脉冲到达时刻，则有：根据：，由我们有：由于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 32 页，共 41 页 - - - - - - - - - 因此，当 t时，是平稳过程，且由Fourier 变换，可得：P452/16. 解：由，且与的独立性及它们的平稳性，有：P452/17. 证明：（ 1）由：由于：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
42、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 33 页，共 41 页 - - - - - - - - - 因此：由于：，因此输出过程)(t是平稳过程。（2）由（ 1）的结果，有：P454/19. 解：令，我们有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 34 页，共 41 页 - - - - - - - - - P454/21. 解：（ 1）取：，则有：，因此有：（2）由（ 1）的结果，有：由于：因此有：P561/1. 解：只要求矩阵 B的逆矩阵即可。我们
43、有：P562/4. 解：由求特征函数的公式：我们有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 35 页，共 41 页 - - - - - - - - - P563/7. 解：由的密度函数，我们有：因此有：计算，得：因此是独立的随机变量。由于变换的雅克比行列式为，因此变换后的分布密度为：由归一化条件可以确定。P562/6. 解：由特征函数的定义，可知三维正态随机向量的特征函数为：令：则有：（ 1）计算得：因此有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
44、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 36 页，共 41 页 - - - - - - - - - （2）计算得：对于it次数大于 1的那些项，当0it时，都会变成 0，统一记作),(321tttA，有：对于含有it的那些项，当0it时，都会变成 0，统一记作，则有：利用(0,0,0)=1，可得：（3）先求得：则有： P563/8. 解：求边缘分布密度，由于：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 37 页，共 41 页 -
45、 - - - - - - - - 即服从正态分布，同理也服从正态分布。注意到：我们可以求得随机变量的分布密度为：由全概率公式，我们有：因此，当时，我们有：即：显然，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此和的线性组合不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知不是二维正态分布。P564/11. 解：（ 1）根据维纳辛钦定理，我们有：则有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 38 页，共 41 页 - - - - - - - - - 故两两不相关，由于是高
46、斯过程，因此它们是独立的。令：则有：因此有： (的联合概率密度为：（2）由于故有：P568/18. 解：我们知道，平稳奥斯坦乌伦贝克过程是正态过程，且有：由公式（见 P466例）：我们有：即有：下面计算：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 39 页，共 41 页 - - - - - - - - - 当时，有：由于此时当 T时，有，因此：当时，我们有：因此有：同理可以讨论当和的情形，同样有。由相关函数各态历经性定理可知，平稳奥斯坦乌伦贝克过程具有相关函数各态历经性。P569
47、/23. 解：随机微分方程的解为：P569/24. 解：将微分方程化成标准形式，有：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 40 页，共 41 页 - - - - - - - - - 利用上题的结果，有：由于0X为常数，因此我们有：由于X(t) 是正态分布，因此可以写出其一维分布密度为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 41 页，共 41 页 - - - - - - - - -