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1、3、（10 分）某商店顾客的到来服从强度为4 人每小时的Poisson过程，已知商店9：00 开门，试求：（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率；（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。3、解：设顾客到来过程为N(t),t=0，依题意N(t)是参数为的 Poisson过程。（1）在开门半小时中，无顾客到来的概率为：1422102P Nee（2）在开门半小时中无顾客到来可表示为102N，在未来半小时仍无顾客到来可表示为1102NN，从而所求概率为：1412211(1)0|02211(1)0|00221(1)02P NNNP NNNNP NNee4、（15 分）
2、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1 表示）、正常（用 2 表示）、畅销（用3 表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为pij（pij表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态 j 的概率），一步转移矩阵为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -61326195913102121P试对经过长时间后的销售状况进行分析。4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且pii0，从而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为=1，2，3，求解方程组：=P,1+2+
3、3=1 即：1619532912161312132133223211321得：236,239,238321即极限分布为：236,239,238由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。3 简述 Poisson 过程的随机分流定理答：设tN 为强度为的 poisson 过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把他归入第二类。对i=1,2,记()itN为 t 前到达的第 i 类顾客数，那么(1)(2):0,:0ttNtNt分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页
4、，共 10 页 -别为强度为 p与（1-p）的 poisson 过程，而且这两个过程相互独立。4 简述 Markov链与 Markov 性质的概念答：如果随机变量是离散的，而且对于0n及任意状态01111001,(|,)(|)nnnnnnni j iipjiiipji都有，该随机序列为 Markov 链，该对应的性质为Markov 性质。5.简述 Markov 状态分解定理答：(1)Markov链 的 状 态 空 间S可 惟 一 分 解 为12STHH，其中 T为暂态的全体，而iH 为等价常返类。（2）若 Markov 链的初分布集中在某个常返类kH上，则此 Markov 链概率为 1 地永远
5、在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为kH的不可约 Markov 链。7 什么是随机过程，随机序列？答：设 T 为0，+）或（-，+），依赖于 t(tT)的一族随机变量（或随机向量）t 通称为随机过程，t 称为时间。当 T为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。8.什么是时齐的独立增量过程？答：称随机过程 t：t0为独立增量过程，如果对于01,0,nnttt起始随机变量及其后的增量s ts是相互独立的随机变量组；如果s ts的分布不依赖于 s,则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -4设随机过程()cos2,
6、(,),X tXt tX是标准正态分布的随机变量。试求数学期望()tE X，方差()tD X，相关函数12(,)XRt t，协方差12(,)XCt t。解：因为2()coXtXt，（1）所以()(tEXEX（2）22()(cos2)cos 2()cos 2,tD XD XttD Xt（2）21212(,)()()cos2cos2 cos 2,XRt tE X t X tE XtXtt（2）212121212(,)(,)()()(,)cos 2.XxxCt tR t tE t E tR t tt2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2 分钟内到达的顾客不超过3 人的概率。解：设N
7、(t),t0是 顾 客 到 达 数 的 泊 松 过 程，2，故k-4(4)P N(2)=kek!，则-3PN(2833、（10 分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180 人，即180；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -布的性质可知：21)(,1)(sYDsYE，故222)(sYE，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(YEmX；一天内商场营业额的
8、方差)(1808)8(22YEX。6、（15 分）设(),0N t t是参数为的泊松过程，计算()()E N t N ts。【解答】222()()()()()()()()()()()()()()()(1)E N t N tsE N tN tsN tN tE N tN tsN tEN tE N tE N tsN tEN ttstttts2.1 设随机过程btbVttX),0(,)(为常数，)1,0(NV，求)(tX的一维概率密度、均值和相关函数。解 因)1,0(NV，所以1,0 DVEV，bVttX)(也服从正态分布，bbtEVbVtEtXE)(22)(tDVtbVtDtXD所以),()(2tb
9、NtX，)(tX的一维概率密度为),(,21);(222)(xettxftbx，),0(t均值函数btXEtmX)()(名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -相关函数)()()(),(bVtbVsEtXsXEtsRX22bbtVbsVstVE2bst2.4 设有随机过程)sin()cos()(tBtAtX，其中为常数，BA,是相互独立且服从正态分布),0(2N的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。解 因BA,独立，),0(2NA，),0(2NB所以，2,0BDADBEAE均值)sin()cos()()(tBtAEtXEtmX0)sin()cos(BEtAE
10、t相关函数)sin()cos()(sin()cos()()(),(22112121tBtAtBtAEtXtXEttRX1221212212sincossincossinsincoscosttABttABttBttAEsinsincoscos221221BEttAEtt)sinsincos(cos21212tttt)(cos212tt2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p，对于2n，令32,1,0或nX，这些值分别对应于第n-1 次和第 n 次抛掷的结果为（正，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -正），（正，反），（反，正），（反，反），求马
11、尔可夫链,2,1,0,nXn的一步和二步转移概率矩阵。解 对应状态为正，正）(0，1（正，反），2（反，正），3（反，反）pPp(00（正，正）正，正），qPp(01（正，正）正，反）0(20（正，正）反，正）Pp（不可能事件）0(30（正，正）反，反）Pp（不可能事件）同理可得下面概率0(10（正，反）正，正）Pp，0(11（正，反）正，反）PppPp(12（正，反）反，正），qPp(13（正，反）反，反）pPp(20（反，正）正，正），qPp(21（反，正）正，反）0(22（反，正）反，正）Pp，0(23（反，正）反，反）Pp0(30（反，反）正，正）Pp，0(31（反，反）正，反）Ppp
12、Pp(32（反，反）反，正），qPp(33（反，反）反，反）一步转移概率矩阵为qpqpqpqp00000000P二步转移概率矩阵为qpqpqpqp00000000P(2)qpqpqpqp0000000022222222qpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqp名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -8 某商品六年共24 个季度销售记录如下表（状态 1畅销，状态 2滞销）季节1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售状态1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 季节13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
13、 销售状态1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。解 状态 1 的个数为15 个，状态2 的个数为 9 个（1）所以，销售状态的初始分布为2492415)0(PT275.0625.0（2）求一步转移概率状态11共有 7 个，状态21共有 7 个，状态12共有 7 个，状态22共有 2 个，所以，21147,211471211pp，92,972221pp一步转移概率矩阵为92972121P，92972121P(2)9297212116271162913613362392922197979221
14、979221212197212121名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -三步转移概率矩阵为92972121162711629136133623P(3)38.062.04.06.029161103291618136482596483899162271324919162771324919362672239367137223三步转移后的销售状态分布为0.390.610.380.620.40.60.3750.625P)0(P)3(P3TT）（6.1 设有随机过程)cos()(ttX，其中0为常数，是在区间)2,0(上服从均匀分布的随机变量，问)(tX是否为平稳过程。解)cos()(tEtXE021)cos(20dt)cos()cos()()(),(ttEtXtXEttRX2021)cos()cos(dtt20)22cos(cos41dtcos21，与 t 无关21)0()(2XRtXE所以)(tX是平稳过程。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -