2022年信号普估计 .pdf

《2022年信号普估计 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年信号普估计 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、信号普估计1、实验题目通过不同的方法实现信号的普估计2、实验要求1)综合所学的知识，应用基于频点滤波器设计的普估计、周期图普估计、基于最小均方误差设计的普估计和MUSIC 方法的普估计的方法对已知信号进行功率谱的估计。2)通过实验，对比不同的谱估计的方法的特性。3、实验目的1)学会向量的自相关矩阵的构造；2)学习对比不同的信号的功率谱估计的方法；3)掌握运用 MATLAB 工具功率谱估计的仿真。4、实验原理4.1 周期图频谱估计设()x n为零均值平稳随机序列。定义N 点序列()1()0Nx npnpNxnelse(1)及其付氏变换为1()()()pNjnjnNNnnpXxn ex n e(2

2、)才用下式计算()x n的功率谱?()()jmxxmPRm e(3)其具体的实现过程如下?()()jmxxmPRm e名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 11 页 -*1()()jmNNmnxnm xn eN*()1()()jn m nNNmnxnm xn eN()*1()()jn mjnNNmnxnm exn eN*1()()jkjnNNknxk exn eN21?()()()1()jjxNNNPXeXeNXN用2()/NxwN 得到的功率谱称为周期图(Periodogram),记作()NI，即：21?()()()xNNPIXN(4)周期图求出的功率谱与基于自相关估

3、计方法计算的功率谱等价。若观察到x(n)的 N个值 x(p),x(p+1),x(p+N+1)，可通过 SFT直接求得()NX，然后求得?()xP，而不必先估计自相关函数，计算方便。针对周期图法的旁瓣“泄露”和分别率不高等缺点，在周期图法的基础上提出了改进的方法。主要是Welch 发，它整合了平均法和窗化发的原理。1)选择适当的窗函数直接对信号进行窗化2101()()()MiijnMnIx n w n eMU(5)其中 U 为归一化因子：1201()MnUwnM2)分段时各段之间有重叠，这里体现平均法。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页 -4.2 MUSIC

4、谱估计4.2.1 引言要估计淹没在噪声中的正弦信号的频率，ARMA 模型参数法存在难以克服的缺点。特征分解法谱估计是一类利用自相关矩阵特征值分解来估计白噪声中多正弦波频率的方法。特征分解法的基本思想：将自相关矩阵列矢量构成的空间分解成为信号子空间和噪声子空间。利用信号空间或它与噪声空间的关系，计算正弦波频率。特征分解法是一种频率估计法，而不是严格意义上的谱估计。4.2.2 白噪声中复正弦波的信号模型设 M 个复正弦信号与零均值方差2的加性复白噪声()w n构成一个平稳随机过程。其一次实现的 N 个采样为1()exp()()Mmmmmx nAjnw n1exp()(),0,1,.1MCmmmAj

5、nw nnN(6)其中：exp()CmmmAAj，,mmA为向量，m为0,2的均匀分布的随机变量。定义正弦信号矢量：1,exp(),exp(2),exp(1)Tmmmmejjj N(7)噪声矢量：(0),(1),(1)Twww Nw观测矢量：(0),(1),(1)Txxx Nx那么：1McmmmAxew自相关矩阵21MHHxmmmwswmRE xxP e eIRR(8)其中2mmPA 是第 m 个正弦波的功率。Rx可分解为有用信号自相关矩阵Rs和噪声自相关矩阵 Rw之和。Rs和 Rw均为 NN 方阵，秩分别为 M 和 N。sR包含着 M 个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3

6、页，共 11 页 -复正弦波的频率信息。若已知Rx（或其估计），可通过分解 Rx得到sR并进一步得到复正弦波的频率。4.2.3 自相关矩阵的特征值分解信号自相关阵：11NMHHsiiiiiiiiRvvvv(9)Rs秩为 M，它有 N-M 个零特征值。非零特征值对应的M 个特征矢量称为主特征矢量。噪声自相关阵：221NHwwwiiiRIv v(10)观测信号自相关阵：2211()MNHHxswiwiiwiiiiMRRRv vv v(11)主特征矢量12,Mv vv张成信号子空间，其特征值22212,wwMw主特征矢量张成的信号子空间与12,Me ee张成的信号子空间相12,MMNvvv称为噪声特

7、征矢量，它们张成噪声子空间，其特征值均为2w。信号特征矢量与噪声特征矢量相互正交。信号子空间与噪声子空间正交。4.2.4 复正弦频率估计Pisarenko谐波分解设1111(0),(1),(1)TMMMMvvvvN由 信 号 矢 量 与 噪 声 特 征 矢 量 相 互 正 交 可 得10,1,2,HmMe vmM110()exp0,1,2,NMmnvnjnmM(12)求解满足该方程的i的问题可转化为求110()()NnMnV zvn z(13)位于单位圆上的零点的问题。定义 MUSIC 谱：11?()()MUSICNHiiMPev(14)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页

8、，共 11 页 -由信号矢量与噪声特征矢量的正交关系可知，当m时，?()MUSICP。在频率轴上采样，对各频率值计算?()MUSICP即得到观测信号的伪谱。伪谱不反映信号能量(功率)在频域的分布。但它的峰值位置对应着正弦波信号的频率。4.3 基于频点滤波的普估计信号()x n通过系统()h n时，得到输出信号()y n，将这个过程写成表达式如(1)式11*00()()*()()()()()NNkky nx nh nx k hnkhk x nk(15)将上述表示成向量形式01N-1h=h,h,.,hT；X(n)=x(n),x(n-1),.,x(n-N+1)。所以将(1)式表示成向量的形式为()(

9、),()Hy nh X nh X n(16)那么，估计信号()y n的功率谱时，满足下式2|()|Py n(17)所以得到下面的推导过程2|()|()()|()()HHHHfxfxEy nEy n ynE h XX hh R ha fR a f(18)其中0()()()X ns n a fn，n 为高斯白噪声4.4 基于最小均方滤波器设计的频谱估计设0()()()()x ts t a fn t，那么可以得到0?(),()()()Hs th s ts t h a f，所以就有0?()()()HE s ts t E h a f，在满足五篇估计的条件下，0()1Hh a f，于是得到方差的表达式是2

10、22?()()|()|()|E s tE s tEs ts t=Hxh R h。为使得方差最小，等价于在0()1Hh a f的条件下，求Hxh R h的最小值01()()12HHxL xh R hh a f(19)得到满足条件的opth和()P f如下10100()()()xHxR a fhoptafR a f11()()()HxP faf R a f名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -4.5 MATLAB 函数conv(x,y)对 x 和 y 两个序列做卷积运算corrmtx 生成自相关矩阵length(x)求向量 x 的元素个数fft(x,N)对列信号

11、 x 做 N 点的 FFT awgn(signal,SNR);给信号 signal加信噪比为 SNR的噪声fftshift(x)将零频点移到频谱的中间其他主要的函数及应用在实验步骤中介绍5、实验步骤5.1 初始化各信号参数1)为 了 方 便 观 察，输 入 信 号 由1f、2f和3f组 成，写 成 表 达 式 为312222jf tjf tjf tsignaleee，其中1f=1Hz；2f=1.5Hz；3f=2Hz。2)其中 t 是由时间采样完成的，在满足奈氏定理的条件下，取一个比较小的值以方便观察信号频域的图形，所以取sf=4Hz 3)信号长度设为 1024。采样时间为sTNT。其中1/ss

12、Tf。所以 T=256s。5.2 实现周期图的普估计在 MATLAB 的 help 文件中，有关于周期图实现普估计的例子，并且MATLAB 工具箱有能够实现周期图普估计的方法和函数。可以直接调用。这里主要实现对传统的周期图的功率谱估计的结果和改进的welch 法进行比较。其主要的实现语句如下：Hs=spectrum.periodogram(Hamming);psd(Hs,signal,Fs,fs,NFFT,1024,SpectrumType,twosided);信号在加海明窗之后的周期图法实现普估计，其中，signal 是输入信号，fs 是采样频率，1024是 FFT 的点数。法是在对周期图法

13、的基础上改进的算法，其主要的实现语句为：Hs=spectrum.welch(rectangular,150,50);psd(Hs,signal,Fs,fs,NFFT,512);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -5.3 实现 MUSIC 普估计在 MATLAB 的信号处理工具箱中，有丰富的关于功率谱估计的各种方法的原理和相应的函数。例如周期图法、Welch 法、ARMA 模型法、MUSIC 法等。在本实验中，周期图和 MUSIC 法主要用于对比，所以借鉴工具箱已有的函数直接进行仿真。在 MATLAB 中，实现 MUSIC 法刚率谱估计的函数是pmusic.

14、其调用的格式是：S,f=pmusic(x,p,nfft,fs,nwin,noverlop)在格式中，返回值 S 为伪谱的估计值；w 和 f 分别是单位幅度和Hz 的返回频率值；x 为输入信号向量；p 用来指定信号的子空间中特征向量的数目；nfft 为 FFT 的点数，默认为 256；nwin 用于指定矩形窗的长度，信号向量x 被分割成长度为 nwin 的各段，默认值为 2*p；noverlap 是每段之间的重叠的长度，默认值是nwin-1。5.4 实现基于频点滤波器设计的普估计1)构造输入信号的相关函数在本试验中运用 corrmtx(x,m)（其中 x 是信号，m 是常数）函数来实现的，该函数

15、是产生(n+m)*(m+1)的特氏矩阵。那么，选择m=N-1(N 为信号长度)。将两个特氏矩阵转置相乘就可以得到我们所需的自相关矩阵。2)构造频率向量频率向量的遍历是在fs 的范围内，把频率向量的时间控制在输入信号相同的时间范围呢，即可。遍历的过程通过for 循环实现。3)根据式(18)，循环遍历频率向量的取值。画出图形显示估计结果。5.4 实现基于最小均方滤波器设计的普估计最小均方滤波器设计的普估计的表达式不同于频点滤波器，但是其所需的自相关矩阵和频率向量与频点滤波器相同。所以可以直接通过循环对频率遍历求出功率谱的值，并画出图形显示其特性。5.5 改变参数对比结果1)相同的估计方法的比较；2

16、)不同的估计方法的比较；3)总体对比和总结名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -6、实验结果根据设定的输入信号的参数进行数据仿真，得到周期图法和改进的周期图法(welch)法的普估计如图 1 所示00.511.522.533.5-40-30-20-100102030Frequency(Hz)Power/frequency(dB/Hz)Periodogram Power Spectral Density Estimate00.511.522.533.5-15-10-505101520Frequency(Hz)Power/frequency(dB/Hz)Welc

17、h Power Spectral Density Estimate图 1 周期图法的普估计MUSIC 算法与特征向量的数目的选择有关，设特征向量的个数分别是3,8 和 24 的MUSIC 普估计的结果如图2 所示00.511.5-20020406080100120Normalized Frequency (rad/sample)Power(dB)Pseudospectrum Estimate via MUSIC00.511.5-40-20020406080100Normalized Frequency (rad/sample)Power(dB)Pseudospectrum Estimate v

18、ia MUSIC00.511.5-40-20020406080100Normalized Frequency (rad/sample)Power(dB)Pseudospectrum Estimate via MUSIC图 2 MUSIC 普估计名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -频点滤波器的普估计方法的结果如图3 所示00.511.522.533.5480100120140160180200220240260280频 率 Hz能量dB基 于 频 点 滤 波 器 设 计 的 普 估 计图 3 基于频点滤波的普估计基于最小均方滤波器设计的普估计结论如图4 所示

19、00.511.522.533.54-250-200-150-100-500频 率 Hz能量dB基 于 最 小 均 方 滤 波 器 设 计 的 普 估 计图 4 基于最小均方滤波器设计普估计名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -7、实验结论及分析1)从图 1 显示的结果可以看出，welch 法在周期图的基础上进行改进方法具有比周期图法更好的估计性能。由于窗函数的选择和数据分段的原因，使得welch 法的谱估计有更好的平滑。2)MUSIC 法的估计结果与特征向量的维数的数量有很大的关系，当维数选择比较准确时，估计的结果被平滑较好，而且没有其他的频率分量出现。当特

20、征向量的维数选择较大时，将在谱峰的附近出现频谱，但是不影响主要的能量分布。如果选择维数小于信号空间的维数时，得不到全部的信号特征。3)从图 3 和图 4 显示的结果看来，基于滤波器设计的两种方法的估计性能差不多，而且都没有能够对功率谱进行平滑，噪声都比较大。4)综合几种方法，可以看出，传统的经典普估计方法是最为简单的方法，但是其估计的结果不尽人意，而且其得到的估计结果是真是谱与三角窗谱卷积的结果，还有旁瓣泄露等。在周期图法的基础上提出的welch 法具有比较好的性能。基于滤波器设计的普估计的方法也比较简单，其难点在于构造自相关函数以及自相关函数的计算的强度，特别是基于最小均方滤波器设计的估计方

21、法还需要求解自相关矩阵的逆矩阵，计算量比较大的。但是其估计的结果比较好。从各种方法对比来说，MUSIC 方法是最好的估计方法，但是其原理和实现都是比较复杂的过程。8 实验程序%频点滤波器的设计实现close all clear all clc%构建输入信号的模型%输入信号的频率由三个频率分量构成，分别是f1=1Hz，f2=1.5Hz，f3=2Hz%将输入信号构建为频率向量的形式%采样频率设为4Hz f1=1;f2=1.5;f3=2;N=1024;fs=4;Ts=1/fs;t=0:1/fs:N/fs-1/fs;A=1;B=1;C=1;%信号的幅度n=0:N-1;signal=A*exp(j*2*

22、pi*f1*t)+B*exp(j*2*pi*f2*t)+C*exp(j*2*pi*f3*t);signal=awgn(signal,5);%周 期 图 法 实 现 频 谱 估计%图 1 给出经典的周期图法%图 2 给出的 welch 法的周期图法figure(1)subplot(121);Hs=spectrum.periodogram(Hamming);psd(Hs,signal,Fs,fs,NFFT,1024,SpectrumType,twosided);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -subplot(122);Hs=spectrum.welch(

23、rectangular,150,50);psd(Hs,signal,Fs,fs,NFFT,512);%MUSIC法普估计%figure(2);subplot(131);pmusic(signal,3);subplot(132);pmusic(signal,8);subplot(133);pmusic(signal,24);%基于频点滤波器的普估计法%m=N-1;rx=corrmtx(signal,m);Rx=rx*rx;ii=1;for fi=0:0.01:fs af=exp(i*2*pi*fi*t);p(ii)=af*Rx*af;ii=ii+1;end figure(3)f=0:0.01:f

24、s;plot(f,20*log(abs(p);hold on grid;xlabel(频率 Hz);ylabel(能量dB);title(基于频点滤波器设计的普估计);%基 于 最 小 均 方 误 差 频 谱 估计%ii=1;R=inv(Rx);for fi=0:0.01:fs af=exp(i*2*pi*fi*t);p(ii)=1/(af*R*af);ii=ii+1;end figure(4)f=0:0.01:fs;plot(f,20*log(abs(p)hold on grid;xlabel(频率 Hz);ylabel(能量dB);title(基于最小均方滤波器设计的普估计);名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -