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1、A P C D B P C G F B Q A D E 初二数学经典题型1已知：如图，P是正方形 ABCD内点，PAD PDA 150求证：PBC是正三角形证明如下。首先，PA=PD，PAD=PDA=（180-150）2=15，PAB=90 -15=75。在正方形ABCD 之外以 AD为底边作正三角形ADQ，连接 PQ，则PDQ=60+15=75，同样PAQ=75，又 AQ=DQ,，PA=PD，所以 PAQ PDQ，那么 PQA=PQD=60 2=30，在PQA中，APQ=180 -30-75=75=PAQ=PAB，于是 PQ=AQ=AB，显然 PAQ PAB，得 PBA=PQA=30，PB=
2、PQ=AB=BC，PBC=90 -30=60，所以 ABC是正三角形。2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC，M、N分别是 AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于 E、F求证：DEN F证明:连接 AC,并取 AC的中点 G,连接 GF,GM.又点 N为 CD的中点,则 GN=AD/2;GN AD,GNM=DEM;(1)同理:GM=BC/2;GM BC,GMN=CFN;(2)又 AD=BC,则:GN=GM,GNM=GMN.故:DEM=CFN.3、如图，分别以ABC的 AC和 BC为一边，在 ABC的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG，点 P是 EF的中点求证：点P到边 A
3、B的距离等于AB的一半证明：分别过E、C、F作直线 AB的垂线，垂足分别为M、O、N，在梯形 MEFN 中，WE 平行 NF 因为 P为 EF中点，PQ平行于两底所以 PQ为梯形 MEFN 中位线，所以 PQ（ME NF）/2 又因为，角0CB 角 OBC 90角 NBF 角 CBO 所以角 OCB=角 NBF 而角 C0B 角 Rt角 BNF CB=BF 所以 OCB全等于 NBF MEA 全等于 OAC（同理）所以 EM AO，0BNF 所以 PQ=AB/2.4、设 P是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证：PAB PCB 过点 P作 DA的平行线，过点A作 DP的平行线
4、，两者相交于点E；连接 BE A N F E C D M B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -因为 DP/AE，AD/PE 所以，四边形AEPD为平行四边形所以，PDA=AEP 已知，PDA=PBA 所以，PBA=AEP 所以，A、E、B、P四点共圆所以，PAB=PEB 因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE/AD，且 PE=AD 而，四边形ABCD 为平行四边形，所以：AD/BC，且 AD=BC 所以，PE/BC，且 PE=BC 即，四边形EBCP也是平行四边形所以，PEB=PCB 所以，PAB=PCB 5.P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA
5、 a，PB 2a，PC=3a正方形的边长解：将 BAP绕 B点旋转 90使 BA与 BC重合，P点旋转后到Q点，连接 PQ 因为 BAP BCQ 所以 AP CQ，BP BQ，ABP CBQ，BPA BQC 因为四边形DCBA 是正方形所以 CBA 90，所以 ABP CBP 90，所以 CBQ CBP 90即 PBQ 90，所以 BPQ是等腰直角三角形所以 PQ 2*BP，BQP 45 因为 PA=a，PB=2a，PC=3a 所以 PQ 22a，CQ a，所以 CP29a2，PQ2CQ2 8a2 a29a2 所以 CP2 PQ2 CQ2，所以 CPQ是直角三角形且CQA 90所以 BQC 9
6、045135，所以BPA BQC 135作 BM PQ 则 BPM 是等腰直角三角形所以 PM BM PB/22a/22a所以根据勾股定理得：AB2AM2BM2(2a a)2(2a)25 22a2所以 AB (522)a6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t 分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。由题意得：txvxv82ACBPDP A D C B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -解之得：t
7、vx85经检验得：tvx85是原方程解。小口径水管速度为tv85，大口径水管速度为tv25。7如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（2，1），且P（1，2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值解：（1）设正比例函数解析式
8、为ykx，将点M（2，1）坐标代入得12k，所以正比例函数解析式为12yx同样可得，反比例函数解析式为2yx（2）当点Q在直线DO上运动时，设点Q的坐标为1()2Q mm，于是211112224OBQSOBBQmmm，而1(1)(2)12OAPS，所以有，2114m，解得2m所以点Q的坐标为1(2 1)Q，和2(21)Q，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OPCQ，OQPC，图xyBAOMQP图xyBCAOMPQ名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -而点P（1，2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值
9、因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为2()Q nn，由勾股定理可得222242()4OQnnnn，所以当22()0nn即20nn时，2OQ有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与2OQ同时取得最小值，所以OQ有最小值 2由勾股定理得OP5，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8.如图，P是边长为1 的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：PE=PD；PEPD；（2）设AP=x,PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解：（1）证法一：四边形ABCD是正
10、方形，AC为对角线，BC=DC,BCP=DCP=45.PC=PC，PBCPDC（SAS）.PB=PD，PBC=PDC.又PB=PE，PE=PD.（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，PB=PE，PBE=PEB，PEB=PDC，PEB+PEC=PDC+PEC=180，DPE=360-(BCD+PDC+PEC)=90，PEPD.）（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.PEC=PDC，1=2，DPE=DCE=90，PEPD.综合（i）（ii）（iii）,PEPD.（2）过点P作PFBC，垂足为F，则BF=FE.A P D
11、 A B C D P E 1 2 H 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -AP=x，AC=2，PC=2-x，PF=FC=xx221)2(22.BF=FE=1-FC=1-(x221)=x22.SPBE=BFPF=x22(x221)xx22212.即xxy22212 (0 x2).41)22(21222122xxxy.21a0，当22x时，y最大值41.（1）证法二：过点P作GFAB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.四边形ABCD是正方形，四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形.GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=P
12、FE=90.又PB=PE，BF=FE，GP=FE，EFPPGD（SAS）.PE=PD.1=2.1+3=2+3=90.DPE=90.PEPD.（2）AP=x，BF=PG=x22，PF=1-x22.SPBE=BFPF=x22(x221)xx22212.即xxy22212 (0 x2).41)22(21222122xxxy.21a0，当22x时，y最大值41.A B C P D E F G 1 2 3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -9、如图，直线y=k1x+b 与反比例函数 y=k2x 的图象交于A（1，6），B（a，3）两点（1）求 k1、k2的值（2）直
13、接写出 k1x+b-k2x0 时 x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC OD，OB=CD，OD边在 x 轴上，过点 C作 CE OD于点 E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形 OBCD 的面积为 12时，请判断PC和 PE的大小关系，并说明理由10、如图 12，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点，且点A的横坐标为4（1）求k的值；（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ，两点（P点在第一象限），若由点ABPQ，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标图 12 OxAyB名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -