2022年初二数学经典难题 .pdf

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1、初二数学经典难题一、解答题（共10 小题，满分100 分）1 （10 分）已知：如图，P是正方形ABCD 内点， PAD=PDA=15 求证： PBC 是正三角形（初二）2 （10 分）已知：如图，在四边形ABCD 中， AD=BC ，M、N 分别是 AB、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN于 E、F求证： DEN= F3 （10 分）如图，分别以ABC 的边 AC 、BC 为一边，在 ABC 外作正方形ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半4 （10 分）设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA= PDA 求证：

2、PAB=PCB5 （10 分） P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA=a， PB=2a，PC=3a，求正方形的边长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页6 （10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t 分求两根水管各自注水的速度7 （10 分） （2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（ 2， 1） ，且 P（ 1， 2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动

3、点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、 B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得 OBQ 与OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值8 （10 分） （2008?海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在线段 BC 上，且 PE=PB（1）求证： PE=PD； PEP

4、D；（2）设 AP=x，PBE 的面积为y 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值9 （10 分） （2010?河南）如图，直线y=k1x+b 与反比例函数（x0）的图象交于A（1，6） ，B（a，3）两点（1）求 k1、k2的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页（2）直接写出时 x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD 中， BC OD，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点C 作 CEOD 于点 E，CE 和反比例函数的图象交于点P，

5、当梯形OBCD 的面积为12 时，请判断PC 和 PE 的大小关系，并说明理由10 （10 分） （ 2007?福州）如图，已知直线y=x 与双曲线交于 A，B 两点，且点A 的横坐标为4（1）求 k 的值；（2）若双曲线上一点 C 的纵坐标为8，求 AOC 的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线于 P，Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点 P的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页初二数学经典难题参考答案与试题解析一、解答题（共10 小题，满分10

6、0 分）1 （10 分）已知：如图，P是正方形ABCD 内点， PAD=PDA=15 求证： PBC 是正三角形（初二）考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。专题 ： 证明题。分析：在正方形内做DGC 与ADP 全等，根据全等三角形的性质求出PDG 为等边，三角形，根据SAS 证出 DGCPGC，推出 DC=PC，推出 PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可解答：证明： 正方形 ABCD ， AB=CD ， BAD= CDA=90 ， PAD=PDA=15 ， PA=PD，PAB= PDC=75 ，在正方形内做DGC 与ADP 全等， DP

7、=DG，ADP= GDC=DAP= DCG=15 ， PDG=90 15 15 =60 ， PDG 为等边三角形（有一个角等于60 度的等腰三角形是等边三角形）， DP=DG=PG ， DGC=180 15 15 =150 ， PGC=360 150 60 =150 =DGC，在 DGC 和 PGC 中， DGCPGC， PC=AD=DC ，和 DCG=PCG=15 ，同理 PB=AB=DC=PC ， PCB=90 15 15 =60 ， PBC 是正三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页点评：本题考查了正方形的

8、性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求2 （10 分）已知：如图，在四边形ABCD 中， AD=BC ，M、N 分别是 AB、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN于 E、F求证： DEN= F考点 ： 三角形中位线定理。专题 ： 证明题。分析：连接 AC ，作 GNAD 交 AC 于 G，连接 MG ，根据中位线定理证明MGBC，且 GM=BC，根据 AD=BC证明 GM=GN ，可得 GNM= GMN ，根据平行线性质可得： GMF= F， GNM= DEN 从而得出 DEN

9、= F解答：证明：连接AC ，作 GNAD 交 AC 于 G，连接 MG N 是 CD 的中点，且NGAD ， NG=AD ，G 是 AC 的中点，又 M 是 AB 的中点， MGBC，且 MG=BC AD=BC ， NG=GM ， GNM 为等腰三角形， GNM= GMN ， GMBF， GMF= F， GNAD ， GNM= DEN ， DEN= F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明GNM 为等腰三角形3 （10 分）如图，分别以ABC 的边 AC

10、、BC 为一边，在 ABC 外作正方形ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的中点，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半考点 ： 梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。专题 ： 证明题。分析：分别过 E，F，C，P 作 AB 的垂线， 垂足依次为R，S，T，Q，则 PQ= （ER+FS） ，易证 RtAER RtCAT，则 ER=AT，FS=BT ，ER+FS=A T+BT=AB ，即可得证解答：解：分别过E，F，C，P 作 AB 的垂线，垂足依次为R，S， T，Q，则 ERPQFS， P是 EF 的中点， Q 为 RS 的中点， PQ 为梯形 EFSR 的中位线， PQ=（E

11、R+FS） ， AE=AC （正方形的边长相等） ，AER= CAT（同角的余角相等） ，R=ATC=90 ， RtAERRtCAT （AAS ） ，同理 RtBFSRt CBT ， ER=AT ，FS=BT ， ER+FS=AT+BT=AB ， PQ=AB点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键4 （10 分）设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA= PDA 求证： PAB=PCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页考点 ： 四点共圆；平行四边形的

12、性质。专题 ： 证明题。分析：根据已知作过P 点平行于 AD 的直线，并选一点E，使 PE=AD=BC ，利用 AD EP，AD BC，进而得出 ABP= ADP= AEP，得出 AEBP 共圆，即可得出答案解答：证明：作过P 点平行于AD 的直线，并选一点E，使 PE=AD=BC ， AD EP，AD BC 四边形 AEPD 是平行四边形，四边形PEBC 是平行四边形， AEDP，BEPC， ABP= ADP= AEP， AEBP 共圆（一边所对两角相等） BAP= BEP= BCP， PAB= PCB点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关

13、键5 （10 分） P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA=a， PB=2a，PC=3a，求正方形的边长考点 ： 正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。专题 ： 综合题。分析：把 ABP 顺时针旋转90 得到 BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明PEC 是直角三角形，从而得到BEC=135 ，过点 C 作 CFBE 于点 F，CEF 是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC 的长度，即可得到正方形的边长解答：解：如图所示，把ABP 顺时针旋转90 得到 BEC， APBCEB， BE=PB=2a， PE=2a，在 PEC 中， PC2=PE2+CE2

14、=9a2， PEC 是直角三角形， PEC=90 ， BEC=45 +90 =135 ，过点 C 作 CFBE 于点 F，则 CEF 是等腰直角三角形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页 CF=EF=CE=a，在 RtBFC 中， BC=a，即正方形的边长为a点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键6 （10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管

15、2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t 分求两根水管各自注水的速度考点 ： 分式方程的应用。分析：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t 分可列方程求解解答：解：设小水管进水速度为x 立方米 /分，则大水管进水速度为4x 立方米 /分由题意得：解之得：经检验得：是原方程解 小口径水管速度为立方米 /分，大口径水管速度为立方米 /分点评：本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解7 （10 分） （

16、2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（ 2， 1） ，且 P（ 1， 2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、 B（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得 OBQ 与OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页（3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边

17、的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值考点 ： 反比例函数综合题。专题 ： 压轴题。分析：（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（ 2， 1） ，设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；（ 2）因为 P（ 1， 2）为双曲线Y=上的一点，所以OBQ 、OAP 面积为 1，依据反比例函数的图象和性质，点Q 在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；（ 3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点 P（ 1， 2）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求O

18、Q 的最小值解答：解： （1）设正比例函数解析式为y=kx ，将点 M（ 2， 1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x，同样可得，反比例函数解析式为；（ 2）当点 Q 在直线 OM 上运动时，设点 Q 的坐标为Q（m，m） ，于是 SOBQ=|OB BQ|= m m=m2，而 SOAP=|（ 1） （ 2）|=1，所以有，m2=1，解得 m= 2，所以点 Q 的坐标为Q1（ 2，1）和 Q2（ 2， 1） ；（ 3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点 P（1， 2）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的

19、最小值，（8 分）因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为Q（n，） ，由勾股定理可得OQ2=n2+=（n）2+4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页所以当（ n）2=0 即 n=0 时， OQ2有最小值4，又因为 OQ 为正值，所以OQ 与 OQ2同时取得最小值，所以 OQ 有最小值2，由勾股定理得OP=，所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4 （10 分）点评：此题难度稍大，考查一次函数反比例函数二次函数的图形和性质，综合性比较强要注意对各个知识点的灵活应用8

20、 （10 分） （2008?海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在线段 BC 上，且 PE=PB（1）求证： PE=PD； PEPD；（2）设 AP=x，PBE 的面积为y 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值考点 ： 二次函数综合题。专题 ： 动点型。分析：（1）可通过构建全等三角形来求解过点P作 GFAB，分别交AD 、BC 于 G、F，那么可通过证三角形GPD 和 EFP 全等来求PD=PE 以及 PEPD在直角三角形AGP 中，由于 CAD=45

21、 ，因此三角形AGP 是等腰直角三角形，那么AG=PG ，而 PB=PE，PFBE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG ，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等可得出 PD=PE，GDP= EPF，而 GDP+GPD=90 ， 那么可得出 GPD+EPF=90 ，由此可得出PDPE（ 2）求三角形PBE 的面积，就要知道底边BE 和高 PF 的长，（1）中已得出BF=FE=AG ，那么可用AP 在等腰直角三角形AGP 中求出 AG ，GP 即 BF， FE 的长，那么就知道了底边BE 的长，而高PF=CD GP，也就可求出PF 的长

22、，可根据三角形的面积公式得出x，y 的函数关系式然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y 的最大值以及对应的x 的取值解答：（1）证明： 过点 P 作 GFAB，分别交AD 、BC 于 G、F如图所示 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形， AGP 和PFC 都是等腰直角三角形 GD=FC=FP，GP=AG=BF ，PGD= PFE=90 度又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD（SAS） PE=PD 1= 2 1+3=2+3=90 度 DPE=90 度 PEPD（ 2）解： 过 P作 PMAB，可得 AMP 为等腰直角三角形，精

23、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页四边形 PMBF 为矩形，可得PM=BF ， AP=x，PM=x， BF=PM=， PF=1 SPBE=BE PF=BF?PF=x （1x）=x2+x即 y=x2+x （ 0 x） y=x2+x=（x）2+ a=0， 当 x=时， y最大值=点评：本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定以及二次函数的综合应用等知识点，通过构建全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的关键9 （10 分） （2010?河南）如图，直线y=k1x+b 与反比例函数（x0）的图象交于A（1，6）

24、 ，B（a，3）两点（1）求 k1、k2的值（2）直接写出时 x 的取值范围；（3）如图，等腰梯形OBCD 中， BC OD，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点C 作 CEOD 于点 E，CE 和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD 的面积为12 时，请判断PC 和 PE 的大小关系，并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页考点 ： 反比例函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数k 的几何意义。专题 ： 综合题。分析：（1）先把点 A 代入反比例函数求得反比例函数的解析式，再把点 B 代入反比例函

25、数解析式求得a的值， 再把点 A，B 代入一次函数解析式利用待定系数法求得k1的值（ 2）当 y1y2时，直线在双曲线上方，即x 的范围是在A，B 之间，故可直接写出范围（ 3）设点 P 的坐标为（ m， n） ，易得 C（m，3） ，CE=3，BC=m 2，OD=m+2 ，利用梯形的面积是12 列方程，可求得m 的值，从而求得点P 的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE解答：解： （1）由题意知k2=1 6=6 反比例函数的解析式为y=（ x0） x0， 反比例函数的图象只在第一象限，又 B（a，3）在 y=的图象上， a=2， B（2，3） 直线 y=k1x+b 过 A（1，6） ，B（

26、2， 3）两点故 k1的值为 3，k2的值为 6；（ 2）由（ 1）得出 3x+90，即直线的函数值大于反比例函数值，由图象可知，此时1 x2，则 x 的取值范围为1 x2；（ 3）当 S梯形OBCD=12 时， PC=PE设点 P 的坐标为（ m，n） ，过 B 作 BFx 轴， BCOD，CEOD，BO=CD ，B（2，3） ， C（m，3） ，CE=3， BC=m2， OD=OE+ED=OE+BF=m+2 S梯形OBCD=，即 12= m=4，又 mn=6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页 n=，即 PE

27、=CE PC=PE点评：此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解题的关键10 （10 分） （ 2007?福州）如图，已知直线y=x 与双曲线交于 A，B 两点，且点A 的横坐标为4（1）求 k 的值；（2）若双曲线上一点 C 的纵坐标为8，求 AOC 的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线于 P，Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点 A，B，P，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点 P的坐标考点 ： 反比例函数综合

28、题。专题 ： 综合题；压轴题。分析：（1）先根据直线的解析式求出A 点的坐标，然后将A 点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k 的值；（ 2）由（ 1）得出的双曲线的解析式，可求出C 点的坐标，由于AOC 的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得（解法不唯一） ；（ 3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q 为顶点的四边形应该是平行四边形，那么 POA 的面积就应该是四边形面积的四分之一即6可根据双曲线的解析式设出P 点的坐标，然后参照（ 2）的三角形面积的求法表示出POA 的面积， 由于 POA 的面积为6，由此可得出关于P 点横坐标的方程，

29、即可求出P 点的坐标解答：解： （1）点 A 横坐标为4，把 x=4 代入 y=x 中得 y=2， A（4，2） ， 点 A 是直线 y=x 与双曲线（k0）的交点， k=4 2=8；（ 2）解法一：如图， 点 C 在双曲线上，当 y=8 时， x=1， 点 C 的坐标为（ 1， 8） 过点 A、C 分别做 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON S矩形ONDM=32，SONC=4，SCDA=9，SOAM=4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页 SAOC=S矩形ONDMSONCSCDASOAM=324

30、94=15；解法二：如图，过点 C、A 分别做 x 轴的垂线，垂足为E、F， 点 C 在双曲线上，当 y=8 时， x=1， 点 C 的坐标为（ 1， 8） 点 C、A 都在双曲线上， SCOE=SAOF=4， SCOE+S梯形CEFA=SCOA+SAOF SCOA=S梯形CEFA S梯形CEFA= （2+8） 3=15， SCOA=15；（ 3）反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形， OP=OQ，OA=OB ， 四边形 APBQ 是平行四边形， SPOA=S平行四边形APBQ= 24=6，设点 P 的横坐标为m（m0 且 m 4） ，得 P（ m，） ，过点 P、A 分别做 x 轴的垂

31、线，垂足为E、F， 点 P、A 在双曲线上， SPOE=SAOF=4，若 0 m 4，如图， SPOE+S梯形PEFA=SPOA+SAOF， S梯形PEFA=SPOA=6（2+）?（4m）=6 m1=2，m2=8（舍去）， P（2，4） ；若 m4，如图， SAOF+S梯形AFEP=SAOP+SPOE， S梯形PEFA=SPOA=6（2+）?（m4）=6，解得 m1=8，m2=2（舍去）， P（8，1） 点 P 的坐标是 P（ 2，4）或 P（8，1） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页点评：本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页